Cohn irreducibilitási kritériuma

A polinom aritmetikai , Cohn-féle irreducibilitás kritérium egy elégséges feltétele egy polinom az egész együtthatók lehetnek irreducibilis .

Államok

Ha a $p$ prímszámot a tízes alapba írjuk formában

p = a_ {m} 10 ^ {m} + a _ {{m-1}} 10 ^ {{m-1}} + \ pont + a_ {1} 10 + a_ {0} {\ text {with} } 0 \ leq a_ {k} \ leq 9

akkor a polinom

a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0}

irreducibilis benne . $\ mathbb {Z} [X]$

Ez a tétel más alapokra is általánosít : Bármely $b$ ≥ 2 egész szám esetén a forma polinomja $P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a _ {{m-1}} X ^ {{m-1}} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} {\ text {with}} 0 \ leq a_ {k} \ leq b-1$ redukálhatatlan, amint $P$ $($ $b$ $)$ elsődleges. $\ mathbb {Z} [X]$

Történelmi jegyzetek

Az alap 10 változat tulajdonított Arthur Cohn - hallgatója Issai Schur - a Pólya és Szegő és általánosítás bármely alapon $b$ ≥ 2 köszönhető Brillhart , Filaseta és Odlyzko .

2002-ben Ram Murty (in) egyszerűsített bizonyítékot és történelmi részleteket nyújtott be a tételről, bemutatva a következő változatot is: Bármelyik és . ${\ displaystyle P (X) = a_ {m} X ^ {m} + a_ {m-1} X ^ {m-1} + \ ldots + a_ {1} X + a_ {0} \ in \ mathbb { Z} _ {m} [X]}$ ${\ displaystyle H = \ max _ {0 \ leq i <m} | a_ {i} / a_ {m} |}$ Ha létezik olyan $b \geq H + 2$ egész szám , hogy $P ( b )$ prím, akkor $P$ nem redukálható a on-n.

Demonstráció

Ok a szembeállítása , feltételezzük $P, hogy$ redukálható, és azt mutatja, hogy akkor, bármely egész szám $b \geq H + 2$ , $P ( b )$ van áll .

Legyen tehát olyan , hogy $P = QR$ . ${\ displaystyle Q, R \ in \ mathbb {Z} [X] \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Ha $Q$ nem állandó, akkor a -val, mivel mindegyik $P$ gyökere , (vö. Valódi vagy komplex # A első becslés polinom gyöke ) ezért . ${\ displaystyle Q = c \ prod _ {i} (X- \ alpha _ {i})}$ $\ alpha_i$ ${\ displaystyle | \ alpha _ {i} | <H + 1}$ ${\ displaystyle | Q (b) | \ geq \ prod _ {i} (b- | \ alpha _ {i} |)> \ prod _ {i} (H + 2-H-1) = 1}$
Ha $Q$ akkor állandó, és nyilvánvalóan még mindig van $|$ $Q$ $($ $b$ $) |$ $> 1$ . ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {Z} \ setminus \ {- 1,0,1 \}}$

Ugyanezen érvelés az $R$ , így $P ( b ) = Q ( b ) R ( b )$ a $| Q ( b ) |, | R ( b ) | > 1$ .

Megjegyzések és hivatkozások

( Fr ) Ez a cikk részben vagy teljes egészében kivett angol Wikipedia cikket „ Cohn visszavezethetetlensége kritérium ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Ne keverje össze Paul Cohnnal .
(in) " Arthur Cohn " , a Matematika Genealógiai Projekt honlapján .
(De) Pólya George és Szegő Gábor, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. II, Springer ,1971, 4 th ed. ( 1 st szerk. 1925) ( olvasott sort ) , p. 351- fordítás: (en) Pólya George és Szegő Gábor, Problems and Theorems in Analysis , vol. II, Springer,1976( online olvasható ) , p. 330.
(in) John Brillhart, Michael és Andrew Odlyzko Filaseta, " A. Cohn irreducibilitási tételéről " , CJM , vol. 33, n o 5,tizenkilenc nyolcvan egy, P. 1055-1059 ( online olvasás ).
(a) M. Ram Murty, " Prime számok és irreducibilis polinomok " , Amer. Math. Hónap. , vol. 109, N o 5,2002, P. 452-458 ( olvassa el online [dvi]).

Kapcsolódó cikkek