Alternatív sorozat

A matematika , különösen az elemzés , a váltakozó sorozat egy konkrét esetben egy sorozat a valódi értelemben , a sajátos formája, amely lehetővé teszi, hogy figyelemre méltó konvergencia eredményeit .

Azt mondják, hogy egy valódi kifejezéssel rendelkező sorozat váltakozik, ha a feltételeinek váltakozó jelei vannak, vagyis ha formájúak:

{\ displaystyle \ pm \ sum _ {i = 0} ^ {+ \ infty} (- 1) ^ {i} a_ {i}}

A $egy i$ pozitív valós számok.

A váltakozó sorozatokra vonatkozó fő konvergencia-kritérium lehetővé teszi annak bemutatását, hogy egyes váltakozó sorok, amelyek nem teljesen konvergensek , konvergensek, különösen a váltakozó harmonikus sorok ; vagyis sikeres, ahol nem sikerül az összes numerikus sorozatra érvényes általánosabb kritérium. Ilyen példák a félkonvergens sorozatok általánosabb családjába tartoznak . Ebben az esetben egy Riemann-tétel biztosítja, hogy mindig átrendezhessük a sorozat feltételeit annak érdekében, hogy a valódi felé közeledjünk, sőt eltérjünk.

Példák

A váltakozó sorozat klasszikus példája a sorozat: ${\ displaystyle \ ln (2) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}}.}$ Megjegyezhetjük, hogy ez a sorozat nem konvergál abszolút módon, mert a harmonikus sorozat nem konvergál.
Ugyanezen típusú példa Leibniz képlete ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}}.}$

A váltakozó sorozatok konvergencia kritériuma

Van egy konvergencia kritérium, amely a váltakozó sorozatokra vonatkozik. Ezt a kritériumot néha Leibniz szabályának nevezik , Gottfried Wilhelm Leibniz matematikus és filozófus az első bemutatót tartotta .

Ehhez a kritériumhoz tartozik a sorozat többi részének abszolút értékének növekedése, amely lehetővé teszi például a sorozat összegének előjelének tanulmányozását, vagy ennek az összegnek a hozzávetőleges számítási algoritmusát.

Államok

A váltakozó sorozat olyan valós számok sorozata , amelyek állandó előjelűek, vagyis olyanok, hogy a páros index összes feltétele pozitív, a páratlan indexe pedig negatív, vagy fordított. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum u_ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n} u_ {n}}$

Ha a sorozat a következő két hipotézist is kielégíti:

${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ left | u_ {n + 1} \ right | \ leq \ left | u_ {n} \ right |}$ (általános kifejezések abszolút értékének csökkenése);
${\ displaystyle u_ {n} \ to 0}$ (az általános kifejezés 0 felé hajlik ),

akkor konvergens sorozat, és ennek a sorozatnak az összegét mindig az egymást követő részösszegek keretezik .

Ezen feltevések mellett ráadásul mindegyik megmarad : ${\ displaystyle R_ {n} = \ sum _ {k = n + 1} ^ {+ \ infty} u_ {k}}$

abszolút értéke megnőtt az első ciklusával :; ${\ displaystyle | R_ {n} | \ leq | u_ {n + 1} |}$
a jele az első ciklus: . ${\ displaystyle R_ {n} u_ {n + 1} \ geq 0}$

Demonstráció

Ez a Dirichlet-teszt speciális esete , amelyet az Abel-transzformáció segítségével mutatnak be . Adjunk azonban egy konkrét demonstrációt.

A kritérium igazolásához U n-vel jelöljük a sorozat n rendjének részösszegét . Az általános feltételekkel végzett feltételezések egymás után adják meg, ha például a (–1) n u n pozitív:

0 \ leq U_ {0} \ qquad 0 \ leq U_ {1} \ leq U_ {0} \ qquad 0 \ leq U_ {1} \ leq U_ {2} \ leq U_ {0}

és általánosabban

0 \ leq U_ {1} \ leq U_ {3} \ leq \ dots \ leq U _ {{2n + 1}} \ leq U _ {{2n + 3}} \ leq \ dots \ leq U _ {{2n + 2}} \ leq U _ {{2n}} \ leq \ dots \ leq U_ {2} \ leq U_ {0}

Így az ( U 2 n ) és ( U 2 n +1 ) szekvenciák egyikük csökken, a másik növekszik. A különbség hajlamos, a hipotézis, felé 0 (a hipotézisek a sorozat valójában megegyezik a szomszédsági a ( U 2 n ) és ( U 2 n +1 ).) A szomszédos szekvenciák tétel vonatkozik, és azt mutatja, hogy ez a két lépéssor egyesítésével egy közös határ felé, más szavakkal: hogy a sorozat részösszegeinek szekvenciája ( U n ) összefogjon.

Jelölje U határértékét. Az előző egyenlőtlenségek szerint R n = U - U n előjele (–1) n +1, tehát u n +1 , és | U - U n | ≤ | U n +1 - U n | = | u n +1 |.

Példák

A váltakozó harmonikus sorozat az általános kifejezéssor ${\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}.}$ Igazolja a tétel összes hipotézisét, amely megmutatja a sorozat konvergenciáját, miközben nem teljesen konvergens.
Általánosságban elmondható, hogy a váltakozó Riemann-sorozat a Riemann-sorozat analógja , de váltakozó előjellel. Van egy általános kifejezésük $u_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {\ alpha}}}$ valódi kitevővel α.
- ha α ≤ 0, akkor az általános kifejezés nem hajlik 0-ra, és a sorok nagyjából eltérnek
- ha α> 0, akkor a kritérium hipotézisei igazolódnak, és a sorok konvergálnak.
  Így az általános kifejezéssorok konvergensek, bár nem teljesen konvergensek. ${\ frac {(-1) ^ {n}} {{\ sqrt {n}}}}$
Példa egy váltakozó sorozatra, amelyre a kritérium nem vonatkozik, mert az általános kifejezés abszolút értékeinek sorrendje nem csökken: az a sorozat, amelyre az általános kifejezés megegyezik $1 + 3 (-1) n / 4 n$ , vagyis $1 / nem$ mert n páros és $-1 / 2 n$ mert páratlan n . Ráadásul nem konvergens, bár általános kifejezése 0 felé hajlik.

A kritérium alkalmazása

A sorozat jellegének meghatározása

Leibniz szabályának egyik hipotézise, a csökkenés nehezen igazolható. Sok konkrét példa esetében ritkán alkalmazzák közvetlenül Leibniz szabályát. Gyakran előfordul, hogy egy numerikus sorozat általános kifejezésének aszimptotikus kiterjesztésének első feltételeinek kezelésére használják .

Vegyük például az általános kifejezések sorozatát ( n ≥ 2 esetén). Összeáll? ${\ frac {(-1) ^ {n}} {nn ^ {{1/2}}}}$

{\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {nn ^ {1/2}}} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} + O \ bal ({ \ frac {1} {n ^ {3/2}}} \ jobbra).}

Leibniz kritériuma az első kifejezésre vonatkozik. A második kifejezés egy abszolút konvergens sorozat általános fogalma. Tehát a sorozat konvergál. Ne feledje, hogy egy egyszerű megfelelő nem lett volna elegendő: a maradék pontos becslésére van szükségünk, néha az aszimptotikus fejlődést több sorrendre kell tolni. Ennél a példánál azonban a függvény variációinak egyszerű tanulmányozása lehetővé tette volna a kritérium közvetlen alkalmazását. $x \ mapsto x - {\ sqrt x}$

Algoritmus az összeg hozzávetőleges kiszámításához

Ha Leibniz szabálya érvényes, a fennmaradó rész növekedésének ténye lehetővé teszi a sorozat összegének hozzávetőleges számítási algoritmusának elkészítését. Valójában, mivel a fennmaradó rész felső határát önmagában ε növeli, megerősíthetjük, hogy a részösszegek sorozata a sorozat összegének hozzávetőleges értéke ε-ig. $\ balra | u _ {{n + 1}} \ jobbra |$

Az algoritmus tehát felírható

Bemeneti érték: a kívánt pontosság ε
Inicializálás $S \ leftarrow u_ {0}, n \ leftarrow 0$
Míg adjon hozzá egy kifejezést: és adjon 1-et n-hez . $\ balra | u _ {{n + 1}} \ jobbra | \ geq \ varepsilon$ $S \ balra nyíl S + u _ {{n + 1}}$
S kimeneti érték

Példákon, például a váltakozó harmonikus sorokon , a konvergencia nagyon lassú, mivel a fennmaradó rész növekedése több mint 1 / ε kifejezés kiszámításához vezet az ε pontosságának eléréséhez. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}}}$

Hivatkozások

"Ha odafigyel rá, könnyen észreveheti, hogy amikor egy sorozat feltételei folyamatosan csökkennek, és felváltva pozitívak és negatívak, akkor az általa kifejezett érték konvergál és ezért véges. », Marc Parmentier fordítása, Leibniz, differenciálszámítás születése , Vrin , 1989, p. 439., 15. jegyzet.
(the) Leibnizens Matematische Schriften , Gerhardt, 1856, vol. III, p. 926., 1714. január 10-i levél Leibniztől Jean Bernoullihoz , olvasható a Google Könyvekben .
Bernard Joppin, PSI elemzés , Bréal ,2004( online olvasható ) , p. 57.

Kapcsolódó cikkek

Ez a cikk részben vagy teljes egészében vett „című cikk konvergenciavizsgálat alternáló sorozatával ” (lásd a listát a szerzők ) .