Riemann átrendeződési tétel
A matematika , a Riemann átrendeződés tétel egy tétel , tiszteletére nevezték el a matematikus Bernhard Riemann , amely szerint, ha a valós idejű sorozat is félig konvergens , akkor annak feltételeit is átrendeződik úgy, hogy konvergál bármely valós vagy hajlamos többé-kevésbé végtelen.
Ebből következik, hogy a ℝ , minden feltétel nélkül konvergens sorozat az abszolút konvergens (más szóval: minden summable család teljesen summable).
Államok
Legyen ( u n ) n ∈ℕ lehet egy valós-idejű szekvenciát , amelynek kapcsolódó sorozat félig konvergens, azaz
∑k=0nemuk⟶nem→∞ℓ∈RDe∑k=0+∞|uk|=+∞{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u_ {k} {\ aláhúzza az {n \ értéket \ infty} {\ longrightarrow}} \ ell \ in \ mathbb {R} \ quad {\ text {de }} \ quad \ quad \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} | u_ {k} | = + \ infty}.
Ezután bármely olyan pár esetében , amelynél σ permutáció létezik , a sorozat általános összegű részösszegeinek szekvenciája megfelel:
(λ,μ){\ displaystyle (\ lambda, \ mu)}-∞≤λ≤μ≤+∞{\ displaystyle - \ infty \ leq \ lambda \ leq \ mu \ leq + \ infty} (Snem′){\ displaystyle (S '_ {n})}unem′=uσ(nem){\ displaystyle u '_ {n} = u _ {\ sigma (n)}}
lim infSnem′=λéslim supSnem′=μ{\ displaystyle \ liminf S '_ {n} = \ lambda \ quad {\ text {és}} \ quad \ limsup S' _ {n} = \ mu}.
Különösen mindenre létezik olyan σ permutáció , amely
α∈R∪{-∞,+∞}{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R} \ cup \ {- \ infty, + \ infty \}}
∑k=0nemuσ(k)⟶nem→∞α{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} u _ {\ sigma (k)} {\ aláhúzás {n \ to \ infty} {\ longrightarrow}} \ alpha}.
Példa
Vegyük a váltakozó harmonikus sorozat példáját . Ezért határozza meg a szekvencia ( u n ) n ∈ℕ által
∀nem∈NEM, unem=(-1)nemnem+1,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ u_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {n + 1}},}
amelynek sorozata a váltakozó sorozatok konvergenciakritériuma szerint konvergál , de nem konvergál abszolút módon, mert a harmonikus sorozatok eltérnek. Ne jelölje az összegét ( amely egyenlő: ℓ = ln (2) ).
A feltételek átrendezésével a sorozat:
(1-12-14)+(13-16.-18.)+(15.-110.-112.)+...+(12k-1-14k-2-14k)+...{\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} \ jobbra) + \ balra ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} \ right) + \ ldots + \ bal ({\ frac {1} {2k-1}} - {\ frac {1} {4k-2}} - {\ frac {1} { 4k}} \ jobbra) + \ ldots}
=(12-14)+(16.-18.)+(110.-112.)+...+(14k-2-14k)+...{\ displaystyle = \ left ({\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {6}} - {\ frac { 1} {8}} \ jobbra) + \ balra ({\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} \ jobbra) + \ ldots + \ balra ({\ frac {1} {4k-2}} - {\ frac {1} {4k}} \ jobbra) + \ ldots}
=12(1-12+13-14+...)=ℓ2.{\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} \ bal (1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4} } + \ ldots \ right) = {\ frac {\ ell} {2}}.}
Következtetés: a választott permutáció olyan, hogy az új sorozat (amely már nem váltakozó harmonikus sorozat) a kezdő sorozat összegének fele felé konvergál.
A folyamat általánosításával a sorozat átrendezése bármely valós α számra konvergálhat :
Például egy pozitív és b negatív tag felváltva (sorrendben) összegezve ( maga a váltakozó sorozat a = b = 1-nek felel meg, az előző eset pedig a = 1-nek és b = 2-nek felel meg ), kapunk egy sort, amely konvergál hogy ln (2 √ a / b ), az alábbiak szerint tágulási, ha n tart végtelenbe, a összege p = egy pozitív értelemben, és q = bn vagy b ( n - 1) kifejezéseket negatív, mely egy aszimptotikus sor a harmonikus sorozat részösszegének H n szekvenciája :
∑k=1o12k-1-∑k=1q12k=(H2o-Ho2)-Hq2=ln(2o)+γ-ln(o)+γ2-ln(q)+γ2+o(1)=ln(2o/q)+o(1)⟶nem→∞ln(2nál nél/b).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {k = 1} ^ {p} {\ frac {1} {2k-1}} - \ sum _ {k = 1} ^ {q} {\ frac { 1} {2k}} & = \ balra (H_ {2p} - {\ frac {H_ {p}} {2}} \ jobbra) - {\ frac {H_ {q}} {2}} \\ & = \ ln (2p) + \ gamma - {\ frac {\ ln (p) + \ gamma} {2}} - {\ frac {\ ln (q) + \ gamma} {2}} + o (1) \ \ & = \ ln (2 {\ sqrt {p / q}}) + o (1) \\ & {\ aláhúzza az {n \ értéket \ infty} {\ longrightarrow}} \ ln (2 {\ sqrt {a / b}}). \ end {igazítva}}}
Általánosabban elmondható, hogy az átrendeződés összegének értéke α = ln (2 √ r ) lesz, ha felváltva választunk p n pozitív tagokat és q n negatív kifejezéseket úgy, hogy p n / q n → r = e 2α / 4.
A permutáció felépítése
A következőképpen szerkesztjük a σ permutációját . Elkezdjük összegezni a pozitív vagy nulla tagokat (anélkül, hogy bármelyiket kihagynánk) az α túllépéséig , majd az összes szigorúan negatív tagot, amíg a részösszeg szigorúan kisebb lesz, mint α . Ezután iteráljuk a folyamatot, hozzáadva a pozitív kifejezéseket onnan, ahol abbahagytuk, majd a negatív kifejezéseket stb.
Általánosítás
Ernst Steinitz igazolták, hogy bármely fél-konvergens távú sorozatot valós vektortér véges dimenzióban , a beállított összegeket konvergáló „átrendeződés” képez affin altér a nullától dimenzió .
Megjegyzések és hivatkozások
-
Bemutatóhoz kövesse például az alábbi linket a sorozatokat bemutató leckéhez, a Wikegyetemről .
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">