Feltétel nélküli konvergencia

Legyen X egy topológiai csoport abél - például egy vektor által normált tér - és $( x n ) n \inℕ$ az X elemek eredménye . Azt mondjuk, hogy a sorozat $Σ$ $x$ $n$ konvergens feltétel nélkül , vagy commutatively konvergens , ha bármely permutáció $σ$ : ℕ → ℕ, a sorozat konvergál az X . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Bármely abszolút konvergens sorozat egy Banach X térben feltétel nélkül konvergens. Az ellenkezője igaz akkor, ha X jelentése véges dimenzióban .

A Schauder alapján az X nevezzük feltétlen , ha minden x ∈ X , a képviselő-sorozat x konvergál feltétel nélkül.

Kapcsolat az összeszerelhető családokkal

Tétel - egy sor általános kifejezés $X n$ jelentése commutatively konvergens, ha, és csak akkor, ha a szekvenciát $( x n ) n \inℕ$ egy summable család , és az összes összegek vannak ezután egyenlő $Σ$ $n$ $\inℕ$ $x$ $n$ . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Ha a szekvencia összefoglalható, akkor az összes permutált sorozat konvergál (összege felé). Ezzel szemben - ha az összes permutált sorozat összefog , akkor a szekvencia összegezhető, anélkül, hogy a priori feltételeznénk , hogy a sorozat összegei egyenlőek - két lemmán alapul:

1. Lemma - Ha az összes sorozat megfelel a sorozat Cauchy-kritériumának , akkor az $($ $x$ $n$ $)$ $n$ $sequence sorozat$ megfelel a családok Cauchy-kritériumának : ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

{\ displaystyle \ forall V {\ text {szomszédsága}} 0 \ quad \ létezik J_ {V} {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ forall K {\ text {finite}} \ \ mathbb {N} \ quad \ left részhalmaz (K \ cap J_ {V} = \ lakkozás \ Rightarrow \ sum _ {k \ K} x_ {k} \ V \ right).}

Demonstráció

By contraposed , tegyük fel, hogy a Cauchy kritériuma családok nem ellenőrzött, vagyis azt, hogy létezik egy szomszédságában V a semleges eleme 0 csoport X olyan, hogy:

{\ displaystyle \ összes J {\ text {véges}} \ részhalmaz \ mathbb {N} \ quad \ létezik K (J) {\ text {véges}} \ subset \ mathbb {N} \ quad K (J) \ cap J = \ lakkozás {\ text {et}} \ sum _ {k \ K (J)} x_ {k} \ notin V.}

A J 0 = ∅ és bármely természetes n szám esetén J n +1 = J n ∪ K ( J n ) beállításával ℕ partícióját kapjuk meg K ( J n ) -vel. Van egy olyan permutációja, amelyben az egyes K ( J n ) elemek egymást követővé válnak. A megfelelő sorozat nem felel meg a Cauchy-kritériumnak.

2. Lemma - Ha $( x n ) n \inℕ$ megfelel a családok Cauchy-kritériumának, és ha az egyik sorozat konvergál, akkor $($ $x$ $n$ $)$ $n$ $\inℕ$ összegezhető család. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x _ {\ sigma (n)}}$

Demonstráció

Tegyük fel, hogy $( x n ) n \inℕ$ megfelel a családokra vonatkozó Cauchy-kritériumnak, és - az általánosság elvesztése nélkül - hogy a sorozat konvergens az S összegből , vagyis: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} x_ {n}}$

{\ displaystyle \ forall V {\ text {környéke}} 0 \ quad \ létezik N_ {V} \ quad \ forall n \ geq N_ {V} \ quad S- \ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} \ az V.}

Legyen J V egy sor kapcsolódó V a Cauchy kritérium családok, J véges egész számok tartalmú természetes J V , és n egész szám felső kötődik mind J és N V . A készlet {0, ..., n } \ J ezután diszjunkt a J V , így

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {n} x_ {k} \ right) - \ sum _ {k \ J} x_ {k} \ -ban V.}

Erre következtetünk

{\ displaystyle \ forall V {\ text {szomszédsága}} 0 \ quad \ létezik J_ {V} {\ text {finite}} \ subset \ mathbb {N} \ quad \ forall J {\ text {finite}} \ \ mathbb {N} \ quad \ left részhalmaz (J \ szett J_ {V} \ Rightarrow S- \ sum _ {k \ J} x_ {k} \ -ban V + V \ jobb),}

annak bizonyítása, hogy a szekvencia összegezhető S összegével .

Egyéb jellemzések

Tétel - egy sor általános kifejezés $X n$ jelentése commutatively konvergens, ha, és csak akkor, ha bármilyen szekvencia $( ε n ) n \inℕ$ a $ε n$ = ± 1, a sorozat konvergál, vagy ha bármilyen subseries ( $n$ $0$ $<$ $n$ $1$ $<$ $n$ $2$ $<\dots$ ) Konvergál. ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon _ {n} x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {m = 0} ^ {\ infty} x_ {n_ {m}}}$

Ez a tétel a fenti 2. Lemma és a következő Lemma következménye, amely 1. Lemma néven bizonyítható:

Lemma 3 - Ha az összes alsor megfelel a sorozat Cauchy-kritériumának, akkor a sorozat megfelel a családok Cauchy-kritériumának.

Megjegyzések és hivatkozások

Bourbaki , TG , III.44 .
Vö. Dvoretzky-Rogers tétel .
Gustave Choquet , elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , p. 228-229.
.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant és Václav Zizler, Funkcionális elemzés és végtelen dimenziós geometria , 2000 ( ISBN 978-0-387-95219-2 )