Schauder bázis

A funkcionális ( matematikai ) analízis , Schauder féle fogalma bázis általánosítása, hogy a bázis (algebrai). A különbség abból adódik, hogy algebrai alapon az elemek véges lineáris kombinációit vesszük figyelembe , míg a Schauder-bázisoknál végtelenek lehetnek. Ez alkalmassá teszi a végtelen dimenziójú topológiai vektorterek , különösen a Banach-terek elemzésére .

A Schauder-alapokat 1927-ben vezette be Juliusz Schauder , aki példát fejtett ki a C-re ([0, 1]).

Meghatározás

Legyen X egy Banach szóköz a ℝ vagy a ℂ . Egy szekvencia elemeinek X jelentése Schauder alapján X ha minden $X$ ∈ X , ott létezik egy egyedi szekvencia a skalár olyan, hogy $(e_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(a_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

{\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} e_ {n},}

az X standard konvergenciájának értelmében . A skaláris ezután úgynevezett koordinátáit az $x$ . $év$

Példák és tulajdonságok

A véges dimenziós vektortér Schauder-alapjai egy teljesen értékes, nem diszkrét topológiai mezőn , felruházva az egyedi topológiával, amely külön topológiai vektortérré teszi, algebrai értelemben.
A végtelen dimenziójú Banach-tér algebrai alapja soha nem számolható meg - ez Baire-tétel következménye - ezért nem Schauder-alap.
Ha X = c 0 vagy X = ℓ p , 1 ≤ p < $+ \infty$ , a kanonikus szekvencia ( δ n ) n ∈ℕ által meghatározott ${\ displaystyle \ delta _ {n} = (0, ..., 0, {\ stackrel {n} {1}}, 0, ...)}$ Schauder bázis.
Különösen ( p = 2 eset ) az elkülöníthető Hilbert- tér Hilbert-alapja Schauder-alap.
A Haar-rendszer képezi az $L p$ ([0, 1]) , 1 ≤ p < $+$ Sch Schauder-alapot .
A trigonometrikus rendszer $L p ([0, 2π])$ , 1 < p < $+ \infty$ Schauder-bázist alkot . Mert p = 2, ez annak a következménye, a Riesz-Fischer-tétel .
A [0, 1] folyamatos függvényeinek C ([0, 1]) térének, az egységes konvergencia normájával felruházva Schauder alapú.
Ha az X térnek Schauder-alapja van, akkor elválasztható és korlátozott közelítés tulajdonsága van (a Banach-Steinhaus-tétel szerint a koordinátafüggvények a folytonos lineáris formák egyenletesen behatárolt sorozatát alkotják ). Per Enflo egy szétválasztható reflexív Banach- teret épített, amelynek nincs közelítési tulajdonsága, ezért Schauder-alap nélkül.
Egy Stanisław Mazur- tétel biztosítja, hogy a végtelen dimenziójú Banach-térnek mindig van egy Schauder-alapú végtelen dimenziós altere.

Feltétel nélküli alap

A Schauder alapján az X nevezzük feltétlen , ha minden x ∈ X , a sorozat képviselő x konvergál feltétel nélkül , vagyis ha tudjuk idézni a feltételeket, függetlenül érdekében. $(e_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$

A c 0 vagy ℓ p , 1 ≤ p < $+ \infty$ kanonikus Schauder-alapjai , valamint az elkülöníthető Hilbert-tér Hilbert-alapjai feltétel nélküliek.

1 < p < $+ \infty$ esetén a trigonometrikus rendszer nem feltétel nélküli alapja az $L p ([0, 2π]) -nek$ , kivéve p = 2.

1 < p < $+ \infty$ esetén a Haar-rendszer feltétel nélküli alapot képez az $L p-re$ ([0, 1]).

A Tsirelson (en) térnek feltétel nélküli alapja van.

A Daugavet tulajdonsággal rendelkező tereknek - például $L 1$ ([0, 1]) és C ([0,1]) - nincs feltétel nélküli alapja; még a feltétel nélküli alapú térbe sem merülhetnek el.

Természetes kérdés, hogy a végtelen dimenziós Banach térnek mindig van-e végtelen dimenziós altere, amelynek feltétel nélküli alapja van. Ezt a kérdést Timothy Gowers és Bernard Maurey (innen) nemleges módon oldotta meg .

Megjegyzések és hivatkozások

(fr) Ez a cikk részben vagy teljesen kivenni a Wikipedia cikket angolul című „ Schauder alapján ” ( lásd a szerzők listáját ) .

(De) J. Schauder , " Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalräumen " , Mathematische Zeitschrift , vol. 26,1927, P. 47–65 ( online olvasás ).
(De) J. Schauder , " Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems " , Mathematische Zeitschrift , vol. 28,1928, P. 317-320 ( online olvasás ).
(a) BI Golubov , "Faber-Schauder rendszer" a Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , online olvasás ).
(in) Per Enflo , " Ellenpélda a közelítési problémára a Banach-terekben " , Acta Math. , vol. 130,1973, P. 309-317 ( online olvasás ).
(in) V. Kadets , R. Shvidkoy G. Sirotkin és D. Werner (de) , " Banach-terek a Daugavet-birtokkal " , ford . Keserű. Math. Soc. , vol. 352,2000, P. 855-873.
(in) WT Gowers és B. Maurey , " A feltétel nélküli alap szekvencia probléma " , J. Amer. Math. Soc. , vol. 6,1993, P. 851-874 ( online olvasás ).

Lásd is

Bibliográfia

(en) Joseph Diestel, Sequences and Series in Banach Spaces , 1984 ( ISBN 978-0-387-90859-5 )
(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek (en) , Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant és Václav Zizler, Funkcionális elemzés és végtelen dimenziós geometria , 2000 ( ISBN 978-0-387-95219-2 ) [ online olvasás ]

Kapcsolódó cikk

Auerbach-bázis