Összegezhető család

Az összegezhető család fogalmának célja az összegek kiszámításának kiterjesztése végtelen számú kifejezés esetére. A sorozat fogalmával ellentétben nem feltételezzük, hogy a kifejezéseket rendezett szekvencia formájában adjuk meg, hanem bármely halmaz által indexelt család formájában . Ezért kérdés, hogy képes-e globálisan meghatározni annak összegét, anélkül, hogy meghatároznánk a továbbhaladás sorrendjét. Ezért az összegezhetőség igényesebb, mint a sorozatkonvergencia , és további tulajdonságokkal rendelkezik.

Különösen az összegezhetőség nyújt hasznos keretet a kettős sorozatok tanulmányozásához .

Előzetes példa

A váltakozó harmonikus sor , az általános kifejezés (-1) n / n az n szigorúan pozitív egész szám, konvergál a $-ln (2)$ , míg a kapott átrendezésével a feltételeket a szekvenciát úgy, hogy összegezzük a kifejezéseket kétszer olyan gyorsan, még, hogy a páratlanok $-ln (2) / 2-re$ konvergálnak .

Bevezetni szeretnénk az összeg olyan definícióját, amely kizárja ezt a fajta helyzetet, és amely biztosítja, hogy az összegzés ugyanazt az eredményt adja a választott sorrendtől függetlenül.

Meghatározás

Összefoglaló családról már van szükség összegre, vagyis kommutatív csoportos műveletre . Ezután, mivel a családban a kifejezések száma végtelen, az összeget a véges összegek határaként határozzuk meg ; ezért szükség van egy topológiára, hogy a korlátról beszéljünk. Az összegezhető családok legáltalánosabb kerete tehát egy kommutatív topológiai csoport . A cikk további részében a ℝ - normalizált vektortér szokásosabb keretére szorítkozunk .

Definíció - E ∙ ║ normával felruházott valós E vektortérnek tekintjük . Hagyja $($ $u$ $i$ $)$ $i$ $\in$ $I$ egy család vektorok az E . Ez a család azt mondta, hogy summable ha létezik olyan vektor S az E olyan, hogy

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ létezik J _ {\ varepsilon} {\ text {finite}} \ I részhalmaz \ quad \ forall J {\ text {véges}} \ I részhalmaz \ quad \ left (J \ supset J _ {\ varepsilon} \ Rightarrow \ left \ | \ sum _ {i \ in J} u_ {i} -S \ right \ | \ leq \ varepsilon \ right).}

Az S vektort a család

(

u

i

)

i

\in

I

mennyiségének nevezzük . Csak a fenti tulajdonság határozza meg, és megjegyzi

{\ displaystyle S = \ sum _ {i \ I} u_ {i} -ban.}

Más szavakkal, J ε már tartalmazza az összes fontos kifejezést az S vektor összegében ; tetszőleges számú kifejezés hozzáadása J ε-hoz már nem módosítja az összeg értékét, legfeljebb ε-ig. A vektorcsaládok összegezhetősége az egyre nagyobb véges halmazok határának átjárására hasonlít. (Ez valójában egy szűrőt követő korlát , vagy egy általánosított sorrend határa .)

Tulajdonságok

Természetesen, ha a család csak véges számú nem nulla értéket ismer be ( majdnem nulla család ), akkor összegezhető és megtaláljuk az összeg szokásos értékét.
Az összegezhetőség meghatározásában nincs sorrend az indexeken. Tehát, ha σ az I halmaz permutációja , akkor az $($ $u$ $i$ $)$ $i$ $\in$ $I$ és $($ $u$ $σ ($ $i$ $)$ $)$ $i$ $\in$ $I$ családok azonos természetűek, és ha összegezhetők, akkor azonos összegűek. Ez a tulajdonság a véges összegek kommutativitásának általánosítása .
Ha a család összegezhető, akkor az összes ε> 0 esetén véges, mert benne van J ε-ban . Ebből következik, hogy a nem nulla vektorok indexkészlete legfeljebb megszámlálható , mint a véges halmazok megszámlálható uniója: ${\ displaystyle \ left \ {i \ in I \ middle \ Vert u_ {i} \ Vert> 2 \ varepsilon \ right \}}$ ${\ displaystyle \ {i \ in I \ mid u_ {i} \ neq 0 \} = \ bigcup _ {n \ in \ mathbb {N} ^ {*}} \ left \ {i \ in I \ left | \ Zöld u_ {i} \ Zöld> {\ frac {1} {n}} \ right. \ Right \}.}$ Az összegezhető családok elmélete tehát a sorozatokra redukálódik. Pontosabban :

Tétel - A vektorok családja akkor és csak akkor összegezhető, ha a nulla nem tagjai indexeinek halmaza legfeljebb megszámolható, és ha a megfelelő tagok kommutatívan konvergens sorozatot alkotnak . A sorozat bármely permeátumának összege ekkor megegyezik a családéval.

Ha egy család $( u i ) i \in I$ összegezhető, akkor véges összegének halmaza korlátozott . ${\ displaystyle \ left \ {\ left. \ sum _ {i \ in J} u_ {i} \ right | J {\ text {kész}} \ I részhalmaz \ jobb \}}$
A készlet summable családok E indexelt ugyanazon I minősül vektor altér az E I és a térkép, amely összekapcsolja a összeget a család lineáris .
A normált vektortérek véges szorzatában szereplő értékekkel rendelkező család akkor és csak akkor összegezhető, ha minden egyes összetevője összegezhető, és az összeg összetevői ekkor az összetevők összegei.

Példák

Pozitív valósok esete

A pozitív valóságok családja akkor összegezhető, ha (és csak akkor), ha véges összegének halmazát megnöveljük, és akkor a család összege egyszerűen ennek a halmaznak a felső határa in-ben.

Ebből kifolyólag :

a pozitív realok családja akkor és csak akkor összegezhető, ha nem nulla tagjai indexeinek halmaza legfeljebb megszámolható, és ha a „megfelelő” sorozat konvergál;
két pozitív valós család (ugyanazon I halmaz által indexelt ) összege akkor és csak akkor összegezhető, ha mindegyik igen.

Case n esete

Bármilyen családi $u$ A valós számok, akkor társítani pozitív $u +$ és negatív $u - alkatrészek$ : a abszolút értéke $| u |$ ennek a két valós valós családnak az összege és $u$ a különbségük. Így ha $| u |$ összegezhető, akkor $u +$ és $u -$ összegezhetők , tehát - linearitás szerint - $u$ összegezhető.

Ez fordítva is igaz, Riemann átrendeződési tétele szerint , amely biztosítja, hogy a kommutatívan konvergens valóságsorok abszolút konvergensek legyenek . Ez az egyenértékűség végtermékenként ℝ n- ig terjed . Mi ezért csökkenti a tanulmány egy család vektorok ℝ n tetszőleges norma az, hogy az n családok valós számok, vagy egy család pozitív valós számok:

Tétel - Az n vektorok családja $( u i ) i \in I$ akkor és csak akkor összegezhető, ha n komponense van, ami egyenértékű a standardcsalád $(║$ $u$ $i$ $║)$ $i$ $\in$ $I$ összegezhetőségével .

Ráadásul, akárcsak a in + , még mindig van ℝ-ben (tehát ℝ n-ben is ): a család akkor és csak akkor összegezhető, ha véges összegének halmaza be van kötve.

Komplexumok speciális esete

A ℂ ≃ ℝ 2- ben az összetevők a valós és a képzeletbeli részek, és az előnyben részesített norma a modulus .

Legyen α valós. Az (1 / ( p 2 + q 2 ) α ) család , ahol ( p , q ) a relatív egész számok nem nulla párok halmazát írja le , csak akkor összegezhető, ha α> 1.
Általánosságban elmondható, hogy bármely szigorúan pozitív egész N szám esetén a család (1 / ( p 1 2 +… + p N 2 ) α ), ahol ( p 1 ,…, p N ) a nulla N- nél több d 'relatív egész számok, akkor és csak akkor összegezhetők, ha α> N / 2 ( sorozat-integrál összehasonlítással ). Ha α komplex, az összegezhetőség feltétele tehát Re (α) > N / 2.
Legyen n egész szám, és z 1 ,…, z n komplexek szigorúan 1-nél kisebb modulusokkal, akkor a család ( z 1 k 1 ,…, z n k n ), ahol az összes k i kitevő, amelyet ent leírtunk, összegezhető ( mint a geometriai sorok szorzata ).

Asszociativitás

A fenti linearitás elismeri speciális esetként az alábbi általánosítása asszociatív véges összegek: ha két család $v$ és $w$ is summable akkor a diszjunkt egyesítését $u$ is summable , és az összeg $u$ hozzáadásával kapott azok $v$ és $w$ .

Egy nem teljes normált vektortérben fordítva hamis. Sőt, tudjuk, hogy egy ilyen helyet, létezik -szekvenciák $( v n ) n \inℕ$ oly módon, hogy az összeg a szabványok $║ v n ║$ véges, de a vektor sorozat nem konvergál. A család $u$ alkotja egy ilyen sorozat $v$ és az ellentétes ezután summable (zéró összegű), de az alcsalád $v$ az $u$ nem.

Ezért hozzá kell adnunk az alcsaládok összegezhetőségi hipotézisét. Ennek eredményeként még általánosabb reciprokunk is van, mivel ez egy végtelen partícióra is vonatkozik :

Legyen ( I t ) t ∈ T a I pont . Ha az ( u i ) i ∈ I család összegezhető az S összegből, és ha az egyes ( u i ) i ∈ I t alcsaládok összeadódnak az S t összegből , akkor a család ( S t ) t ∈ T összegezhető az S összegből .

A analóg általánosítása közvetlen értelemben triviális hamis ℝ, de igaz a ℝ + , vagyis ha minden egyes ( u i ) i ∈ I t egy család pozitív valós számok véges összege S t , és ha ( S t ) t ∈ T IS összegezhető akkor ( u i ) i ∈ I is.

Összegezhető családok egy Banach térben

Cauchy-kritérium a Banach-terekben

A Cauchy-kritérium általában az összegezhetőség szükséges feltétele, de a Banach-terek keretein belül szükséges és elégséges feltételt biztosít, amelyből az összegezhetőséggel kapcsolatos figyelemre méltó tulajdonságok adódnak.

Egy család $( u i ) i \in I akkor$ teljesíti a Cauchy-kritériumot

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ létezik J _ {\ varepsilon} {\ text {véges}} \ I részhalmaz \ quad \ forall K {\ text {véges}} \ I részhalmaz \ quad \ bal (K \ cap J _ {\ varepsilon} = \ lakkozás \ Rightarrow \ left \ | \ sum _ {k \ in K} u_ {k} \ right \ | <\ varepsilon \ right).}

Képi szempontból J ε szinte az egész összeget tartalmazza, mivel a máshol találhatóval nem haladhatjuk meg az ε értéket.

Egy család akkor és csak akkor Cauchy-féle, ha a nullától eltérő tagjai indexeinek halmaza legfeljebb megszámolható, és ha a „megfelelő” sorozat, valamint annak összes permutációja megfelel a szokásos Cauchy-kritériumnak .

Következésképpen bármelyik összegezhető család megfelel a Cauchy-kritériumnak, és ha E teljes, akkor ez fordítva igaz. (Ez azt mutatja, hogy egy Banach-térben az összesíthető család bármely alcsaládja felszámolható.)

Példa : a ℓ p ( I ) térben, ahol én tetszőleges halmaz, bármelyik (λ i ) i ∈ I skalár családnak (λ i ) i ∈ I ,ahol p- edik összegezhetőerő van, a (λ i δ i ) i ∈ I családösszegezhető, mivel ellenőrzi a Cauchy-kritériumot, és a hely teljes.

Abszolút összegezhetőség

A család ( u i ) i ∈ I mondják, hogy abszolút summable - vagy normál summable - ha a család pozitív valós számok (║ u i ) ║ i ∈ I jelentése summable, más szóval, ha a készlet indexek i az nem nulla u i legfeljebb megszámolható, és ha a „megfelelő” sorozat abszolút konvergens .

A következő következményre a Cauchy-kritériumból, vagy egyszerűen a sorozatok analóg következményéből következtethetünk:

Következmény - Egy Banach-térben minden abszolút összegződő család összegezhető és kielégíti a kiterjesztett háromszög-egyenlőtlenséget

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {i \ in I} u_ {i} \ right \ | \ leq \ sum _ {i \ in I} \ | u_ {i} \ |.}

ℝ n- ben már láttuk, hogy fordítva, bármelyik összegző család abszolút nyárias. Az olyan normált tér végtelen dimenzióban, ez fordítottja igaz.

Ellenpélda : a kanonikus Hilbert-alapú (δ n ) n ∈ℕ * Hilbert-térben ℓ 2 ( ℕ * ) a (δ n / n ) n ∈ℕ * szekvenciaösszegezhető (a Cauchy-kritérium szerint, mivel ( 1 / n ) n ∈ℕ * egy summable négyzet ), de nem feltétlenül (mivel a sorozat a normák a harmonikus sor ).

Összegezhetőség és lineáris forma

Hagyja F második vektor normált tér és $: X-$ egy folytonos lineáris leképezés az E a F . Bármely summable család $( u i ) i \in I$ vektorok E , a család $(λ ( u i )) i \in I$ van summable az F , a sum ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ lambda (u_ {i}) = \ lambda \ left (\ sum _ {i \ I} u_ {i} \ right).}$

Ebből a tulajdonságból kialakíthatjuk a gyenge összegezhetőség fogalmát . Egy család a vektorok $( u i ) i \in I$ azt mondják, hogy gyengén summable ha bármely folytonos lineáris formában $λ$ a E , a család skaláris $(λ ( u i )) i \in I$ jelentése summable. Az előző tulajdonság azt jelenti, hogy bármelyik összegezhető család gyengén összegezhető. Pontosabban, a Cauchy kritérium teljesül egy család $( u i ) i \in I$ vektorok E akkor és csak akkor, ha elégedett a családok skalár $(λ ( u i )) i \in I$ , egyenletesen tekintetében a $λ$ böngészi a készülék labdát a topológiai kettős E ' az E .

Ott nem mindig létezik, egy gyengén summable család, vektor S az E oly módon, hogy a $λ ( S )$ az összegeket $(λ ( u i )) i \in I$ , de ha van egy akkor egyedülálló (mert E ' elválasztja pontok E ).

Termék Banach algebrákban

Egy Banach-algebrában , ha $( u i ) i \in I$ és $( v j ) j \in J$ két összegezhető család, akkor a termékcsalád $( u i v j ) ( i, j ) J I \times J$ összegezhető és l ' nekünk van :

{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i \ in I} u_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j \ in J} v_ {j} \ right) = \ sum _ {(i, j ) \ I-szer J} u_ {i} v_ {j}.}

Ez a tulajdonság kettős sorozatokkal újraértelmezhető .

Megjegyzések és hivatkozások

Gustave Choquet , elemző tanfolyam, II . Kötet: Topológia , p. 212.
Choquet , p. 228-229.
Choquet , p. 217-218.
Choquet , p. 221.
Choquet , p. 222.
Nawfal El Hage Hassan , általános topológia és szabványosított terek , Dunod ,2018, 2 nd ed. ( online olvasható ) , p. 348, fenntartja az "abszolút összegezhető" nevet a skalárcsaládok számára.
El Hage Hassan 2018 , p. 349.
Vö . Dvoretzky-Rogers és Choquet tétele , p. 292.
.

Bibliográfia

Jean Dieudonné , Az elemzés elemei , t. I: A modern elemzés alapjai [ a kiadások részlete ]
Walter Rudin , Valós és komplex elemzés [ a kiadások részlete ]
Laurent Schwartz , Matematikai módszerek a fizikai tudományok , Párizs, Hermann, 1965 2 nd edition, 1. fejezet