Máltai kereszt (mechanizmus)

A máltai kereszt egy olyan mechanikus eszköz, amely a folyamatos forgásmozgást rángatózóvá alakítja. Neve a máltai kereszthez (✠, a Jeruzsálemi Szent János Rend vagy a Máltai Szuverén Rend szimbóluma) való hasonlóságból ered, de kör alakú oldalakkal. Angolul és spanyolul ez a mechanizmus Genf városáról kapta a nevét ( Geneva drive , Rueda de Ginebra ) - de angolul a máltai kereszt kifejezést is használják.

A mechanikus eszköz egy bütyökből áll, amelyet egy "követő" hajt meg, lehetővé téve az indexelést .

Történelmi

A francia Jules Carpentier feltaláló , aki a Lumière testvérekkel dolgozott együtt , és Oskar Messter , a német mozi egyik úttörője, már 1896-ban szabadalmaztatták a máltai keresztszerkezeteket. De ez négy máltai kereszt. Pierre-Victor Continsouza ágai amelyet akkoriban a legszélesebb körben használtak a filmalkotásokban.

Használ

Különösen filmeknél (nem digitális) használják vetítőkben, és ritkán kamerákban , a film előrehaladásához: a filmnek le kell állnia az egyes képeknél a redőny (felvétel) előtt vagy a lámpa előtt (kivetítés).

Ez a mechanizmus megtalálható a mechanikus számlálókban (autó futásteljesítménye, víz- vagy gázfogyasztása stb.), Ahol garantálja az ábrák egybeesését és megdöntését minden visszatartáskor. Olyan gépekben is használják, amelyek termékátadást hajtanak végre, és várakozási időre van szükség a bevezetéskor (amit a hajtórúd-hajtókar rendszer nem enged meg). Például a csomagológépeken alkalmazott mozgások tövénél található: a termékeket egy előre meghatározott mennyiség szerint (stop fázis) viszik be az élelmiszerboltba, majd az átadási mozgás (fázis a mozgás) során becsomagolják.

Művelet

A máltai keresztszerkezet működése a következő: forgattyúnak vagy hajtókeréknek nevezett henger folyamatosan, szabályos sebességgel forog, és ujját viseli. Az ujj belép a horvátba a máltai keresztben (a meghajtott kerék), ami 1 / n fordulatot okoz , ahol n a keresztben lévő barázdák száma ( n = 4 a szemközti ábrán, 6 a fenti l animációban).

Ezután az ujj kijön a horonyból, a motorhenger folytatja pályáját, miközben a máltai kereszt mozdulatlan marad. A részben kiürített központi henger kiegészíti a máltai kereszt lekerekítését; ez az eszköz helyzetének stabilizálására szolgál, amikor az ujj nincs befogva egy horonyba.

A barázdák száma páros vagy páratlan értékeket vehet fel, általában 4 és 10 között.

Változatok

Belső Máltai Kereszt.
Belső máltai kereszt működtetése.
Gömb alakú máltai kereszt.

Kétféle változat létezik: a belső máltai kereszt és a gömb alakú máltai kereszt "tulipánban" (egyidejű tengellyel rendelkező rendszer).

A belső máltai kereszt esetében a motor tengelye (a hajtókereket szállító) konzolos tengelyre van felszerelve ( konzolos , csak az egyik oldalon van tartva). A tengely ezért érzékenyebb a hajlításra, ami nehéz lehet, ha a terhelés nagy.

Ezenkívül a vezetési idő meghaladja a fél periódust: a hajtott kerék több mint fele fordulata szükséges ahhoz, hogy a meghajtott kerék egy lépéssel megforduljon. Az edzés időtartama (motoros idő) tehát meghaladja a pihenés időtartamát, ellentétben egy külső máltai keresztezéssel. Következésképpen a maximális gyorsulás alacsonyabb, de továbbra is megszakításokat mutat a mozgás kezdetén és végén.

A gömb alakú máltai kereszt esetében a fát is konzolosra kell állítani. A képzési idő fél időszak; az edzés időtartama megegyezik a pihenés időtartamával.

Tributes

Néhány filmkészítő tisztelgett ennek a mechanizmusnak, amely alapvető a forgatáshoz és a filmre vetítéshez:

Wim Wenders , Az amerikai barát (1977): egy gyermek, Jonathan és Marianne Zimmermann fia, fából készült máltai kereszttel játszik; az Au fil du temps (1976) című cikkben Bruno Winter, a főszereplő, a projektorjavító szerint „a mozi nem létezne a találmány nélkül”.
Martin Scorsese a Hugo Cabret (2011): amikor Georges Méliès befejezi automata, az utolsó darab is bevezet egy máltai kereszt.

A Máltai Kereszt volt a Cinemeccanica (it) projektor márka logója . A jelenlegi logó, valamint a CineCloud márka logója stilizált máltai kereszt (lásd a logót a hivatalos oldalon ).

Mechanikai vizsgálat

Geometriai korlátok

A működés kritikus pontja az, amikor az ujj belép a horonyba. Ez összefüggést ír elő az R forgattyú sugara, vagyis az ujj középpontja és a meghajtó kerék középpontja közötti távolság, valamint az E középső távolság, vagyis a középpont közötti távolság között. a hajtókerék és a máltai kereszt közepe. Annak érdekében, hogy ne legyen sokk, a sebességvektornak a horony tengelyében kell lennie.

A meghajtott kerék forgási szögének felét hívjuk a hajtókerék fordulatszámánként

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {\ pi} {n}}}

radiánban

négy horonynál legyen $α = π / 4 = 45 °$ , hat barázdánál $α = π / 6 = 30 °$ . Ekkor a következő összefüggések vannak az E középtávolság, az R 1 hajtókerék sugara és az R 2 hajtott kerék sugara között :

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa}

0 és $π / 4$ (0 és 90 °) között növekszik a szinuszfüggvény és csökken a koszinuszfunkció α-ban. Azt következtetni, hogy egy adott távolság, a több horony van (a nagyobb n jelentése), a kisebb α ezért a kisebb R 1 , és a nagyobb R 2 .

Demonstráció

Képviseljük a rendszert, amikor az ujj belép a horonyba. Helyezzük a kerekek középpontját a vízszinteshez összekötő vonalat. A horony ezért α szöget zár be a vízszintessel.A sebességvektor merőleges a pályára; amint az ujj egy kört ír le, a sebességvektort hordozó egyenes ezért érintője a körnek, vagyis merőleges a sugárra ebben a pontban. Ezért van egy derékszögű háromszögünk az E hipotenuszból , amelynek egyik szöge $π / n,$ és amelynek a szöggel ellentétes oldala R 1 hosszú . Tehát van:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {E} \ sin \ alpha}

A máltai keresztre körülírt kör sugara egyben a derékszögű háromszög szomszédos oldalának hossza, azaz

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} = \ mathrm {E} \ cos \ alfa.}

Ezenkívül a horony névleges szélességének meg kell egyeznie az ujj 2 r névleges átmérőjével : kisebb, az ujj nem tudott belépni, túl nagy, sokk keletkezne. A gyakorlatban van egy játék: a horonynak kissé szélesebbnek kell lennie, mint az ujj, hogy lehetővé tegye a mozgást. Lehetséges egy úgynevezett „csúszás játék nélkül” beállítás, vagy pontosabban a „pontos irányítás”, amelyet H7 / g6-nak jelölünk, a sokkok korlátozására, de ennek elérése drága.

Az ágak végének nem nulla szélességűnek kell lennie. Valójában minimális e 1 szélességet kell előírni , amely a kívánt ellenállástól függ. Ez előírja az indításgátló henger maximális sugarát. Ezenkívül az érintkezésnek hatékonynak kell lennie, ezért van egy minimális sugár, nevezetesen:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} \ balra ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ jobbra) <\ mathrm {R } _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

az e 1 méret azt a vastagságot jelenti, amelyet az ág végén meg akarunk tartani a megfelelő szilárdság érdekében.

Demonstráció

Névleges esélyeink vannak (feltételezve a nulla hézagot):

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {1} = \ mathrm {R} _ {3} + r + e_ {1}}

van

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} = \ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

A szükséges távolság miatt valójában szükséges

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3} <\ mathrm {R} _ {1} -r-e_ {1}}

a különbség (R 1 - r - e 1 ) - R 3 a játék.

A kapcsolattartásnak hatékonynak kell lennie, ezért szükségszerűen rendelkezünk:

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {2}}

van

{\ displaystyle \ mathrm {R} _ {3}> \ mathrm {R} _ {1} \ balra ({\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha }} \ jobbra = = mathrm {R} _ {1} {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}}}

Az L horony minimális hosszát annak a helyzetnek a figyelembevételével kapjuk meg, amelynél az ujj a legjobban kapcsolódik. Ezután a hosszúságot balra orientáljuk:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ min} = \ mathrm {R} _ {1} - \ mathrm {E} + \ mathrm {R} _ {2} = \ mathrm {R} _ {1} \ balra (1 - {\ frac {1} {\ sin \ alpha}} + {\ frac {1} {\ tan \ alpha}} \ jobbra) = \ mathrm {R} _ {1} {\ frac {\ cos \ alpha + \ sin \ alpha -1} {\ sin \ alpha}}.}

A maximális hossz annyi, hogy elegendő anyag maradjon a máltai kereszt számára, hogy ellenálljon a stressznek. Ha r a a máltai kereszt tengelyének sugarát és e 2-t a kívánt minimális anyagvastagságnak nevezzük , akkor:

{\ displaystyle \ mathrm {L} _ {\ max} = \ mathrm {R} _ {2} -r_ {a} -e_ {2} = {\ frac {\ mathrm {R} _ {1}} {\ tan \ alpha}} - r_ {a} -e_ {2}.}

Kinematikai vizsgálat

Feltételezzük, hogy a hajtókerék (forgattyú) állandó ω szögsebességgel forog (egyenletes forgási mozgás). A szemközti ábra a működő mechanizmust ábrázolja. Ha megjegyezzük, mint korábban

n a máltai keresztben (meghajtott kerék) lévő hornyok száma;
α = 2π / n a két horony közötti szög

és hogy bemutassuk a jelentést

{\ displaystyle k = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ mathrm {R} _ {1}}} = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}}}

akkor megjegyezzük, hogy:

a meghajtott kerék legnagyobb szögsebessége :
${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}$
a maximális szöggyorsulás a barázdák számától függ:
- n = 4: α 0 ≃ 3,82 × ω 2 ,
- n = 6: α 0 ≃ 0,375 × ω 2 ,
- n = 8: a 0 ≃ 0,268 × ω 2 ;
A kezdeti és a végső szöggyorsulás nem nulla, ami azt jelenti, hogy a hajtott kerék van kitéve zökkenések végtelenig szögletes ( diracs ) a gyakorlatban korlátozott rugalmassága és a súrlódási a rendszer.

Ezek a bunkócsúcsok nem jelentenek problémát, amíg az alacsony sebességgel és tehetetlenséggel megmarad. Másrészt tiltóvá válnak a nagy sebességű és nagy terhelésű rendszerek számára.

Demonstráció

Hívjuk a belépési szöget, és θ e-vel jelöljük azt a szöget, amelyet a sugár az ujján áthalad az x tengellyel , és amely a hajtókerék tájolását jellemzi. Hívjuk kilépési szög, és jelölje θ s , a szög által tengelyének barázda tekintetében a x tengely , és amely jellemzi a tájékozódás a hajtott kerék.

Az időszakosság vizsgálata

A belépési szög θ e változások egyenletesen

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {e}} = \ omega}

az ω szögsebesség negatív a rajzon. A belépési szög óránkénti egyenletét tehát felírjuk

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {e}} = \ omega t + \ varphi}

ahol $φ$ a tetszőlegesen választott szög t = 0-nál. A grafikus ábrázolása, úgy döntünk, $φ$ úgy, hogy az ujj belép a horony t = 0, azaz a

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha}

A képzés időtartama $τ$ megfelel egy forgása a hajtókerék a szöget $φ$ a szimmetrikus szög - $φ$ , azaz a

{\ displaystyle \ omega \ tau = (- \ varphi) - \ varphi = -2 \ varphi = 2 \ alfa - \ pi.}

van

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {2 \ alpha - \ pi} {\ omega}}.}

A teljes időszak megegyezik $T = -2π / ω-val$ , tehát a képzési szakasz a teljes időszak töredéke

{\ displaystyle {\ frac {\ tau} {T}} = {\ frac {- (2 \ alpha - \ pi)} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {n}}.}

Ezt követően, az egyszerűség kedvéért, úgy ítéljük meg, θ s függvényében θ e helyett t .

Szögkapcsolatok vizsgálata

A belépési szöget a kilépési szöghöz kapcsolja az a tény, hogy a két derékszögű háromszögnek ugyanaz az ellentétes h oldala :

{\ displaystyle h = \ mathrm {R} _ {1} \ sin \ theta _ {e} = \ mathrm {R} _ {3} \ tan \ theta _ {s}.}

Így van

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {3}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {E} - \ mathrm {R} _ {1} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} = {\ frac {h} {\ mathrm {R} _ {1}}} \ szor {\ frac {1} {\ mathrm {E} / \ mathrm {R} _ {1} - \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}}}

van

{\ displaystyle \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} }

{\ displaystyle \ theta _ {\ mathrm {s}} = \ operátornév {arctan} \ balra ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ jobbra)}

A mozgás törvényei

Előzetesen számítsuk ki a következő származékokat:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ cos (\ omega t )} {\ mathrm {d} t}} = - \ omega \ sin (\ omega t) = - \ omega \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}}

és ugyanúgy

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}

A meghajtott kerék szögsebességét megkerüléssel kapják meg. Vegyük ismét a kifejezés tan θ s . Ha levezetjük a bal végtagot, akkor megvan

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ left (1+ \ tan ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {s}} \ right) = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} \ left (1 + {\ frac {\ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} \ jobbra}}

van

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ tan \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t}} = {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s} } \ balra ({\ frac {k ^ {2} -2 \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2 }}} \ jobb)}

és levezetve a jobb oldalt:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ balra ({\ frac {\ sin \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}}} \ right) = {\ frac {\ omega \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} (k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) - \ omega \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {(k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega} {( k- \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}}) ^ {2}}} (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)}

A két tag egyenlőségének megírásával megkapjuk

{\ displaystyle {\ dot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega (k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -1)} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}}}

Származtatással meghatározzuk a szöggyorsulást:

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ theta _ {\ mathrm {e} }} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}}}

Megjegyezzük, hogy ez a gyorsulás eltűnik θ e = 0 esetén, így a sebesség ekkor a maximális, és

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {\ omega (k-1)} {k ^ {2} -2k + 1}}}

Az eredetnél θ e = φ van és ezért

{\ displaystyle {\ ddot {\ theta}} _ {\ mathrm {s}} (0) = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ sin \ varphi} {(k ^ {2} -2k \ cos \ varphi +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2 } -2k \ sin \ alpha +1) ^ {2}}} = {\ frac {\ omega ^ {2} (k ^ {2} -1) \ cos \ alpha} {(k ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \ neq 0}

ezért az eredetnél végtelen bunkó van. Szimmetria szerint egy végtelen bunkó van a mozgás végén.

A gyorsulás levezetésével megkapjuk a bunkót mozgás közben:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ theta _ {\ mathrm {s}}} {\ mathrm {d} t ^ {3}}} \ & = { \ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {2}}} \ balra (\ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} - {\ frac {4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}} {k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1}} \ jobbra \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1)} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (- 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k \ sin ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}}) \\ & = {\ frac {\ omega ^ {3} (k ^ {2} -1 )} {(k ^ {2} -2k \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} +1) ^ {3}}} (2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k) \ end {igazítva}}}

A gyorsulás a bunkó törlésekor maximális, ami megoldást jelent:

{\ displaystyle 2k \ cos ^ {2} \ theta _ {\ mathrm {e}} + (k ^ {2} +1) \ cos \ theta _ {\ mathrm {e}} -4k = 0}

vagyis x = cos θ e beállításával

{\ displaystyle 2kx ^ {2} + (k ^ {2} +1) x-4k = 0 {\ text {; }} \ sin \ alpha \ leqslant | x | \ leqslant 1}

ami a szigorúan pozitív diszkrimináns másodfokú egyenlete

{\ displaystyle \ Delta = (k ^ {2} +1) ^ {2} + 32k ^ {2} = k ^ {4} + 34k ^ {2} +1> 0}

Az egyenlet tehát két valós megoldást ismer fel

{\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {- (k ^ {2} +1) \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} {4k}}}

Megkapjuk n értékének néhány értékét :

nem	k	x 1	x 2	θ e	Acc. max.
4	√2	0,980	1.33	-0.200 rad (-11.5 °)	3,82 × ω 2
6.	2	0,921	1.17	-0,400 rad (-22,9 °)	0,675 × ω 2
8.	2.61	0,851	1.04	-0,552 rad (-31,6 °)	0,268 × ω 2

Digitális alkalmazás

Vegyünk egy mozivetítőt egy négyhoronyos máltai kereszttel. Tehát:

az N = 24 Hz (24 képkocka / másodperc) vagy ω = 2π N ≃ 151 rad / s forgási frekvenciájú hajtókerék ;
$k = 1 / sin (π / 4) = \sqrt 2 ≃ 1,41$ arány ;

és aztán

ω 0 ≃ 364 rad / s ; N 0 = 57,9 fordulat / perc ;
α 0 ≃ 8,69 × 104 4 rad / s 2 .

Megjegyzések és hivatkozások

" Máltai kereszt " , a projector.mip.free.fr oldalon (megtekintve : 2016. június 30. )

Lásd is

Bibliográfia

(en) John H. Bickford , szakaszos mozgás mechanizmusai , New York, Industrial Press inc.,1972, 264 p. ( ISBN 0-8311-1091-0 , online olvasható ) , fejezet. 9. („genfi mechanizmusok”) , p. 127-138

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

A máltai kereszt a Nantesi Egyetem helyén ( Java gyerekanimáció )
A Máltai Kereszt : a mozitörténet kezdeteivel foglalkozó oldal a korabeli könyvek révén