Bilinski dodekaéderje

A geometriában, a Bilinski dodekaéder vagy rombododekaéder a második fajta egy konvex poliéder , amelynek arcok tizenkét azonosak gyémánt . Ugyanaz a topológiája, de eltérő geometriájú, mint az első fajta (vagy Kepler , vagy izohéder ) rombikus dodekaéder , egy másik tizenkét azonos gyémántból álló dodekaéder , amelynek további tulajdonsága, hogy izohéder: minden arca azonos és ugyanazon a pályán a szimmetriacsoport hatása alatt .

Történelem

Ez a szilárd anyag először John Lodge Cowley 1752-es könyvében jelenik meg , Dodecarhombe néven . A neve Stanko Bilinski matematikusra utal , aki az 1960-as években fedezte fel újra, maga Bilinski pedig a második fajta rombikus dodekaédernek nevezte . Bilinsky felfedezése kijavítja egy 75 éves kihagyást Evgraf Fedorov konvex poliéderek azonos rombikus arcú osztályozásában .

Tulajdonságok

Bilinsky dodekaéderének arca arany gyémánt, más szóval olyan gyémánt, amelynek két átlójának hosszaránya az arany szám . Összehasonlításképpen: az első fajta rombikus dodekaéderek rombuszok, amelyek megfelelő aránya a 2 négyzetgyöke .

Ez a szilárd anyag egy zonohedron és egy paraleléder , vagyis az első fajta rombikus dodekaéderhez hasonlóan fordítással is kikövezheti a háromdimenziós teret.

Kapcsolatok az első fajta rombikus dodekaéderrel

A Bilinski dodekaéder és az első fajta rombikus dodekaéder topológiája megegyezik: csúcsaik, éleik és arcuk egyenként, ugyanazokkal a szomszédsági viszonyokkal felelnek meg. Geometriájuk azonban más. A HSM Coxeter 1962-es cikkében tévesen állította, hogy Bilinski dodekaéderje affin transzformációval nyerhető az első fajta rombikus dodekaéderből . Valójában Bilinsky dodekaéderében a nagy belső átló párhuzamos két arc kis átlójával és két másik oldal nagy átlójával (az első ábra vízszintes és függőleges felülete), míg az első fajta rombikus dodekaéderben, a megfelelő belső átló párhuzamos négy kis arcátlóval, de az első típusú rombikus dodekaéder bármilyen affin transzformációja megőrzi ennek a belső átlónak és négy azonos hosszúságú arcátlónak a párhuzamosságát.

Egy másik különbség a két dodekaéder között az, hogy az első fajta rombikus dodekaéderben az összes belső átló, amely összeköti a 4 fokú ellentétes csúcsokat, párhuzamosak az arc átlóval, míg Bilinski dodekaéderében az ilyen típusú rövidebb belső átlóak nem párhuzamosak a az eleje.

Kapcsolatok más zonohedrákkal

Megszerezhetjük Bilinski dodekaéderét a rombikus triacontahedronból (egy másik zonohedronból, amelynek arca harminc egyforma arany gyémánt), ha két párhuzamos élű arc "övét" összehúzza. E két "öv" közül csak az egyik megkötése állítja elő a rombikus ikozaédert . A három szerződés megkötése az arany rombohedront eredményezi . Bilinski dodekaédere négy arany rombohéderre bontható , mindegyikből kettő.

Ezeknek a zonohédereknek a csúcsait három-hat vektor lineáris kombinációjával lehet megkapni. Az „ övszám ” m n azt jelenti, hogy a zoonedron élei n különböző irányban haladnak, és mindegyik m azonos éleket egymással párhuzamosan csoportosít . Például Bilinsky dodekaéderje hat élből álló négy övet enged be egymással párhuzamosan.

Konvex poliéder, amelynek minden arca arany gyémánt

"Övszám"	10 6	8 5	6 4	4 3
Arcok	Triacontahedron 30	Icosahedron 20 (−10)	Dodecahedron 12 (−8)	Hexahedron 6 (−6)
Élek	60	40 (−20)	24 (−16)	12 (−12)
Csúcspontok	32	22 (−10)	14 (−8)	8 (−6)
Képek
Szimmetria csoport	I h rendeljen 120-at	D 5d 20. parancs	D 2h 8. parancs	D 3d rend 12

Hivatkozások

1. George W. Hart , „  A rombikus enneacontahedron színillesztése  ”, Symmetry: Culture and Science , vol.  11, n csont  1-42000, P.  183–199 ( Math Reviews  2001417 , online olvasás ).
2. John Lodge Cowley , Geometry Made Easy; A geometria elemeinek új és módszeres magyarázata azonban Londonban1752, 5. tábla, ábra. 16..
3. S. Bilinski , „  Über die Rhombenisoeder  ”, Glasnik Mat. Fiz. Astr. , vol.  15,1960, P.  251–263 ( zbMATH  0099.15506 )
4. (in) Peter R. Cromwell , Polyhedra: Az egyik legszebb fejezetei geometria , Cambridge, Cambridge University Press ,1997, 451  p. ( ISBN  0-521-55432-2 , Math Reviews  1458063 , online olvasás ) , p.  156.
5. Egy új rombikus dodekaéder , Matt Parker standupmaths
6. HSM Coxeter , „  A zonohedra osztályozása projektív diagramok segítségével  ”, Journal of Pure and Applied Mathematics , Vol.  41,1962, P.  137–156 ( matematikai vélemények  0141004 ).
7. Branko Grünbaum , „  A Bilinski dodekaéder és a vegyes párhuzamok, a zonohéderek, a monohedrák, az izozonohédrák és az egyébhedrák  ”, The Mathematical Intelligencer , vol.  32, n o  4,2010, P.  5–15 ( DOI  10.1007 / s00283-010-9138-7 , Math Reviews  2747698 , olvassa el online ).
8. "  Golden Rhombohedra  " , a CutOutFoldUp oldalon (hozzáférés : 2016. május 26. )

Külső hivatkozás

• VRML modell, George W. Hart: [1]
• (en) Branko Grünbaum, „  A Bilinski dodekaéder és a vegyes parallelohedra, zonohedra, monohedra, izozonohedra és máshedra  ” (hozzáférés : 2017. július 13. )