A csomópontok elméletének és a grafikonok elméletének kapcsolatai vannak. A bonyolult megjelenésű nyomjeleket síkbeli gráffal kódolhatjuk
A csomót vagy átlapolás az űrben vetíthető az euklideszi síkban ; akkor kapjuk meg ennek a csomópontnak vagy az átlapolásnak a diagramját , ha ez a vetület általában szabályos, azaz szinte mindenütt injektív , kivéve a véges számú egyszerű kereszteződési pontot, ahol a vetület csak 2 pontot küld l 'nyomkövetésnek ugyanazon a ponton. Ezenkívül a szálak irányai ebben a két pontban nem lehetnek egyenesek, így a vetített szálak a sík két különböző irányába mutatnak. Végül meg kell jelölnünk, hogy melyik szál van fent és melyik alatta, a nyom megszakításával vagy kódolással. Egy ilyen ábra jellemzi az átlapolás izotóp osztályát .
A gráfelmélet szempontjából a csomópont vagy az összekapcsolási diagram egyszerűen egy síkbeli gráf, amelynek minden csúcsa 4 fokos, ezeket a csúcsokat az alatta lévő információk jelölik.
Az átlapoló diagramhoz kapcsolódó konstrukció megkönnyíti annak manipulálását. Valójában az előző vetület több összekapcsolt komponensre bontja a síkot : maga az 1. dimenzió diagramja , valamint egy korlátlan zóna és a lemezekre homeomorf komponensek , a 2. dimenzió.
Ezután mindegyik területhez szürke vagy fehér színt rendelhetünk az alábbiak szerint: színezzük a korlátlan területet szürkére, és minden keresztezésnél szürke színnel színezzük az átkeléssel szemközti területet . A Jordan tétel azt sugallja, hogy ez a folyamat jól meghatározott.
Ezután határozzon meg egy síkbeli gráfot, amelynek csúcsai az egyes fehér területek "középpontjában" vannak, és amelynek élei átmennek az egyes kereszteződéseken, az átlapolás két szála között. A fenti információkat egy + vagy - jel kódolja, az egyes éleket jelölve. Az éle + jelzéssel van ellátva, ha a balról érkező szál átmegy rajta, és fel van tüntetve - egyébként.
Ezt a jelet ábrázolhatja egy folytonos vonal egy + jel és egy pontozott vonal egyezménye a - jel számára. A jelek globálisan megválaszthatók, ennek a választásnak a változása megfelel a tükör tükrözésének . Ha a csomót vagy az összefonódást váltogatják (váltakozó járatok fent és lent), akkor az összes élnek ugyanaz a jele.
A csomópontdiagram ekkor az éppen definiált grafikon mediális gráfja.
Az alábbi animáció megmutatja, hogyan lehet a grafikonról az átlapolásra váltani.
Ez a megfeleltetési diagramok és a talpi grafikonok közötti megfelelés lehetővé teszi a gyönyörű átlapolások rajzolását, könnyebb kezelhető módon történő kódolást vagy torzítást, összehasonlítást vagy memorizálást.
A Reidemeister mozgások az átlapoló diagram helyi módosításai, amelyek megőrzik az izotóp osztályt, és lehetővé teszik a váltást bármelyik diagramról a másikra. Ezeket a mozgásokat átírjuk a kapcsolódó grafikonra, az alábbi ábrák szerint.
I. típus: hurok vagy szabad él eltávolítása / hozzáadása
II. Típus: dupla él törlése / hozzáadása ellentétes jelekkel
III. Típus (és tükörképe)
Ami az ábrákat illeti, két, síkbeli, előjelezett élű grafikon társul ugyanahhoz az átlapoláshoz csak akkor, ha az egyik a Reidemeister-mozdulatok sorozatával haladhat át a másikba.
A Gauss kódex egy fonás.