Schur-konvex függvény

A matematika, a Schur-konvex (vagy konvex abban az értelemben, Schur) függvény, más néven S-konvex , izotóniás funkció vagy érdekében-megőrzése funkció egy függvény olyan, hogy megőrzi a sorrendben kapcsolatok: az összes olyan, hogy $x$ van határolt által $y$ , $f$ kielégíti $f$ $($ $x$ $) \leq$ $f$ $($ $y$ $)$ $-t$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {d} \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$

Az Issai Schur nevet viselő Schur-konvex függvényeket alkalmazzák a majorizáció tanulmányozásában . Bármely konvex és szimmetrikus függvény szintén Schur-konvex, de a fordított implikáció nem mindig igaz. Másrészt minden Schur-konvex függvény szimmetrikus (az argumentumainak permutációi tekintetében).

Schur-konkáv függvény

Az $f$ függvényről azt mondjuk, hogy Schur-konkáv, ha ellentéte, - $f$ , Schur-domború.

Schur-Ostrowski kritérium

Ha $f$ szimmetrikus és részleges származékai vannak, akkor $f$ akkor és csak akkor Schur-konvex, ha az összes 1 ≤ i ≠ j ≤ d, és a következők bármely pontján : $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle (x_ {i} -x_ {j}) \ bal ({\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {i}}} - {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x_ {j} }} \ jobbra \ geq 0}

Példák

${\ displaystyle f (x) = \ min (x)}$ Schur-konkáv és Schur-konvex (ezt gyorsan le lehet vezetni a függvények meghatározásából). ${\ displaystyle f (x) = \ max (x)}$
Shannon entrópia funkciója van Schur-konkáv. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {P_ {i} \ cdot \ log _ {2} {\ frac {1} {P_ {i}}}}}$
A Rényi entrópia függvény szintén Schur-konkáv.
Természetesen a függvények mindegyike Schur-konvex $k$ $\geq 1 esetén$ . ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {d} {x_ {i} ^ {k}}}$
A függvény Schur-konkáv, a tartományban . Hasonlóképpen, az elemi szimmetrikus függvények Schur-konkávok . ${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {d}}$
A természetes értelmezése a majorizációs , hogy ha majd $x$ nagyobb elterjedése, mint $y$ . Ezért természetes azt kérdezni, hogy a változékonyság statisztikai mérőszámai Schur-konvexek-e. A szórás és a szórás egyaránt Schur-konvex függvény, de az eltérések abszolút értéke nem az. ${\ displaystyle x \ succ y}$
Ha $g$ konvex függvény, amelyet valós intervallumon definiálunk, akkor Schur-konvex. ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} g (x_ {i})}$
Példa a valószínűségre: ha cserélhető véletlen változók vannak, akkor az elvárási függvény Schur-konvex a multi-index függvényében , feltéve, hogy az elvárás fennáll. ${\ displaystyle X_ {1}, \ pontok, X_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ balra (\ prod _ {j = 1} ^ {n} X_ {j} ^ {a_ {j}} \ jobbra)}$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, \ pontok, a_ {n})}$
A Gini-együttható szigorúan Schur-konkáv.

Hivatkozások

(a) A. Wayne Roberts és Dale E. Varberg , konvex függvények , New York, Academic Press ,1973, 299 p. ( ISBN 978-0-08-087372-5 , online olvasás ) , p. 258.
(a) Josip E. Peajcariaac és Y. L. Tong , konvex függvények, Részleges megrendeléseknek, és statisztikai alkalmazások , Academic Press,1992, 467 o. ( ISBN 978-0-08-092522-6 , online olvasás ) , p. 333.

Lásd is

Kvázi konvex függvény