Tömegfüggvény (valószínűségek)

A valószínűségelméletben a tömegfüggvény az a függvény, amely megadja a kísérlet elemi eredményének valószínűségét. Abban különbözik a valószínűségi sűrűségtől , hogy a valószínűségi sűrűségeket csak az abszolút folytonos véletlenszerű változókra definiálják , és hogy valószínűségi értékkel rendelkezik (és nem maguk az értékek) egy tartomány feletti integráljuk.

Matematikai leírás

Legyen valószínűsített tér. (Ω,NÁL NÉL,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}

Felhívjuk a tömeg függvényében a , és jelölje a funkciója a következők határozzák meg: P{\ displaystyle \ mathbb {P}}o{\ displaystyle p}Ω{\ displaystyle \ Omega}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

∀ω∈Ω, o(ω)={P({ω})ha {ω}∈NÁL NÉL0ha {ω}∉NÁL NÉL.{\ displaystyle \ forall \ omega \ in Omega, \ p (\ omega) = {\ begin {cases} \ mathbb {P} (\ {\ omega \}) & {\ text {si}} \ \ {\ omega \} \ in {\ mathcal {A}} \\ 0 és {\ text {si}} \ \ {\ omega \} \ notin {\ mathcal {A}}. \ end {esetek}}}

Amikor a diszkrét , mindenre  : P{\ displaystyle \ mathbb {P}}NÁL NÉL∈NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {A}}}

P(NÁL NÉL)=∑ω∈NÁL NÉL∩Ωnál nélo(ω)=∑ω∈Ωnál nélo(ω)δω(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ sum _ {\ omega \ in A \ cap \ Omega _ {a}} p (\ omega) = \ sum _ {\ omega \ in \ Omega _ {a} } p (\ omega) \ delta _ {\ omega} (A)}

ahol a készlet atomok a és a intézkedés a Dirac a ponton . Ωnál nél⊂Ω{\ displaystyle \ Omega _ {a} \ subset \ Omega}P{\ displaystyle \ mathbb {P}}δω{\ displaystyle \ delta _ {\ omega}}ω{\ displaystyle \ omega}

Legyen egy valószínűségi tér, egy valószínűségi tér és egy véletlen változó. (Ω,NÁL NÉL,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}(Y,B){\ displaystyle (Y, {\ mathcal {B}})}x:Ω⟶Y{\ displaystyle X: \ Omega \ longrightarrow Y}

Felhívjuk a tömeg függvényében a , és jelölje a funkciója a következők határozzák meg: Px{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}ox{\ displaystyle p_ {X}}Y{\ displaystyle Y}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}

∀x∈Y, ox(x)={Px({x})ha {x}∈B0ha {x}∉B={Px({x})ha x∈x(Ω)0ha x∉x(Ω).{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ forall x \ in Y, \ p_ {X} (x) & = {\ begin {cases} \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) & { \ text {si}} \ \ {x \} \ in {\ mathcal {B}} \\ 0 és {\ text {si}} \ \ {x \} \ notin {\ mathcal {B}} \ end { esetek}} \\ & = {\ kezdődik {esetek} \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) és {\ text {si}} \ x \ X-ben (\ Omega) \\ 0 & {\ text {si}} \ x \ notin X (\ Omega). \ end {esetek}} \ end {igazított}}}

Amikor a diszkrét , mindenre  : x{\ displaystyle X}B∈B{\ displaystyle B \ in {\ mathcal {B}}}

Px(B)=∑x∈B∩Ynál nélox(x)=∑x∈Ynál nélox(x)δx(NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (B) = \ sum _ {x \ in B \ cap Y_ {a}} p_ {X} (x) = \ sum _ {x \ Y_ {a} } p_ {X} (x) \ delta _ {x} (A)}

ahol a készlet atomok a és az intézkedés a Dirac a ponton . Ynál nél⊂Y{\ displaystyle Y_ {a} \ Y részhalmazx{\ displaystyle X}δx{\ displaystyle \ delta _ {x}}x{\ displaystyle \ scriptstyle x}

Az átviteltétel minden funkcióhoz a következőket adja  : φ:Y⟶R{\ displaystyle \ varphi: Y \ longrightarrow \ mathbb {R}}

E(φ(x))=∑x∈Ynál nélφ(x)ox(x).{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left (\ varphi (X) \ right) = \ sum _ {x \ in Y_ {a}} \ varphi (x) p_ {X} (x).}

Folyamatos törvény esetén a tömegfüggvény a null függvény, tehát nem releváns. Ha egy folytonos törvény nem egyes (vagyis ha abszolút folytonos ), akkor annak valószínűségi sűrűségét használjuk .

Példa

Vegyünk egy véletlenszerű változót, amely azonosítja a dobás vagy a farok eredményét 0-val a faroknál és 1-nél a faroknál. Nekünk van : x{\ displaystyle X}

• Ω={oénle,fnál nélvs.e}{\ displaystyle \ Omega = \ {\ mathrm {stack}, \ mathrm {face} \}},
• Y=R{\ displaystyle Y = \ mathbb {R}}(például az a fontos, hogy mivel ),Y⊃x(Ω)={0,1}{\ displaystyle Y \ supset X (\ Omega) = \ {0,1 \}}x:Ω⟶Y{\ displaystyle X: \ Omega \ longrightarrow Y}
• NÁL NÉL=P(Ω){\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (\ Omega)}(például az a fontos, hogy bármelyik törzs , amely legalább az élmény fizikailag lehetséges eseményeit tartalmazza),NÁL NÉL{\ displaystyle {\ mathcal {A}}}Ω{\ displaystyle \ Omega}
• B=P(Y){\ displaystyle {\ mathcal {B}} = {\ mathcal {P}} (Y)}(például, a lényeg az, hogy vagy egy törzs , amely legalább a közvetlen kép a fizikailag lehetséges események).B{\ displaystyle {\ mathcal {B}}}Y{\ displaystyle Y}x{\ displaystyle X}

Ha azt feltételezzük, hogy az események és ugyanaz a valószínűségük, akkor (char ) és ezért mindenre . {oénle}{\ displaystyle \ {\ mathrm {verem} \}}{fnál nélvs.e}{\ displaystyle \ {\ mathrm {face} \}}P({oénle})=P({fnál nélvs.e})=0,5.{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ {\ mathrm {pile} \}) = \ mathbb {P} (\ {\ mathrm {face} \}) = 0,5}P(Ω)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ Omega) = 1}Px({x})=0,5.{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X} (\ {x \}) = 0,5}x∈x(Ω){\ displaystyle x \ in X (\ Omega)}

Így a tömegfüggvény értéke: x{\ displaystyle X}

∀x∈Y, ox(x)={0,5.ha x∈x(Ω),0ha x∉x(Ω).{\ displaystyle \ forall x \ Y-ben, \ p_ {X} (x) = {\ begin {esetben} 0,5 & {\ text {si}} \ x \ X-ben (\ Omega), \\ 0 & {\ szöveg {si}} \ x \ notin X (\ Omega). \ end {esetek}}}

x{\ displaystyle X}egy diszkrét véletlen változó, a társított valószínűségi törvény a Bernoulli- paraméter 0,5. Px{\ displaystyle \ mathbb {P} _ {X}}

Bibliográfia

• Johnson, NL, Kotz, S., Kemp A. (1993), Egyváltozós diszkrét eloszlások (2. kiadás) . Wiley. ( ISBN  0-471-54897-9 ) (36. o.)

Megjegyzések és hivatkozások

1. Ez a szó szerinti fordítás az angol kifejezés súlyfüggvény .

Kapcsolódó cikk

• Folyamatosság korrekció

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">