BBP formula
A BBP képlet (vagy Bailey-Borwein-Plouffe képlet ) lehetővé teszi, hogy kiszámítja a n -edik számjegy a tizedesvessző után a számot π a bázis 2 (vagy 16 ), anélkül, hogy kiszámítja a korábbiak, és hogy nagyon kevés memóriát és idő. -Én kapták meg 1995. szeptember 19a Simon Plouffe együttműködve David H. Bailey és Peter Borwein .
A képlet
Eredeti formájában a BBP képletet a
π=∑k=0∞116.k(48.k+1-28.k+4-18.k+5.-18.k+6.){\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ bal ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ jobbra)}.
Demonstráció
Jegyezze fel és igazolja az általánosított Plouffe képletet:
Snem=∑k=0∞116.k(8.k+nem){\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k} (8k + n)}}}
(0)∀r∈VSπ = (4+8.r)S1-8.rS2-4rS3-(2+8.r)S4-(1+2r)S5.-(1+2r)S6.+rS7{\ displaystyle (0) \ quad \ forall r \ in \ mathbb {C} \ qquad \ pi \ = \ (4 + 8r) S_ {1} -8rS_ {2} -4rS_ {3} - (2 + 8r) S_ {4} - (1 + 2r) S_ {5} - (1 + 2r) S_ {6} + rS_ {7}}(az r = 0 eset az eredeti képlete; az r = –1/4 eset részletesebb formában Adamchick és Wagoné).
Tegyük fel, hogy kétféle módon számoljuk ki a következő integrált:
α=1-én=2e-énπ/4{\ displaystyle \ alpha = 1-i = {\ sqrt {2}} \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ pi / 4}}
én=∫01dyα-y.{\ displaystyle I = \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ alpha -y}}.}
Egyrészt, ez kapcsolódik a S N által
én=1α∫01dy1-y/α=1α∫01∑m=0∞ymαmdy=∑m=0∞eén(m+1)π/4(m+1)2m+1=1+én2S1+én2S2+-1+én4S3-14S4-1+én8.S5.-én8.S6.+1-én16.S7+116.S8.,{\ displaystyle {\ begin {aligned} I & = {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} y} {1-y / \ alpha}} = {\ frac {1} {\ alpha}} \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {m}} {\ alfa ^ {m}}} \ mathrm {d} y = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (m + 1) \ pi / 4}} {(m + 1) {\ sqrt {2}} ^ {m + 1}}} \\ & = {\ frac {1+ \ mathrm {i}} {2}} S_ {1} + {\ frac {\ mathrm {i}} {2}} S_ {2} + {\ frac {-1+ \ mathrm {i}} {4}} S_ {3} - {\ frac {1} {4} } S_ {4} - {\ frac {1+ \ mathrm {i}} {8}} S_ {5} - {\ frac {\ mathrm {i}} {8}} S_ {6} + {\ frac { 1 - \ mathrm {i}} {16}} S_ {7} + {\ frac {1} {16}} S_ {8}, \ end {igazítva}}}másrészt elemi módszerekkel (külön számítva a valós részét és a képzeletbeli részét), vagy szintetikusabban a komplex logaritmuson keresztül :
én=-[ln(α-y)]01=ln(αα-1)=ln(1+én)=ln(2eénπ/4)=ln22+énπ4.{\ displaystyle {\ begin {aligned} I & = - \ left [\ ln (\ alpha -y) \ right] _ {0} ^ {1} = \ ln \ left ({\ frac {\ alpha} {\ alfa -1}} \ jobb) = \ ln (1+ \ mathrm {i}) = \ ln ({\ sqrt {2}} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi / 4}) = {\ frac {\ ln 2} {2}} + \ mathrm {i} {\ frac {\ pi} {4}}. \ end {igazítva}}}Az I ezen két kifejezése közötti egyenlőség egyenértékű:
(1)π=4énm(én)=2S1+2S2+S3-12S5.-12S6.-14S7,{\ displaystyle (1) \ qquad \ pi = 4 \ mathrm {Im} (I) = 2S_ {1} + 2S_ {2} + S_ {3} - {\ frac {1} {2}} S_ {5} - {\ frac {1} {2}} S_ {6} - {\ frac {1} {4}} S_ {7},}
(2)ln2=2Re(én)=S1-12S3-12S4-14S5.+18.S7+18.S8..{\ displaystyle (2) \ qquad \ ln 2 = 2 \ mathrm {Re} (I) = S_ {1} - {\ frac {1} {2}} S_ {3} - {\ frac {1} {2 }} S_ {4} - {\ frac {1} {4}} S_ {5} + {\ frac {1} {8}} S_ {7} + {\ frac {1} {8}} S_ {8 }.}
De az ln 2 közvetlenebbül kifejeződik az S n függvényében :
(3)ln2=[-ln(2-y2)]01=∫01y1-y2/2dy=∑k≥01(2k+2)2k=S2+12S4+14S6.+18.S8..{\ displaystyle {\ begin {aligned} (3) \ quad \ ln 2 & = [- \ ln (2-y ^ {2})] _ {0} ^ {1} = \ int _ {0} ^ { 1} {\ frac {y} {1-y ^ {2} / 2}} \ mathrm {d} y = \ sum _ {k \ geq 0} {\ frac {1} {(2k + 2) 2 ^ {k}}} \\ & = S_ {2} + {\ frac {1} {2}} S_ {4} + {\ frac {1} {4}} S_ {6} + {\ frac {1} {8}} S_ {8}. \ Vége {igazítva}}}A (2) és (3) pontok tehát a jobb oldali tagok kivonásával adnak összefüggést az S n között :
(4)0=2S1-2S2-S3-2S4-12S5.-12S6.+14S7.{\ displaystyle (4) \ qquad 0 = 2S_ {1} -2S_ {2} -S_ {3} -2S_ {4} - {\ frac {1} {2}} S_ {5} - {\ frac {1 } {2}} S_ {6} + {\ frac {1} {4}} S_ {7}.}Ha a (4) jobb oldalát megszorozzuk 1 + 4 r-vel, és ezt a terméket hozzáadjuk az (1) jobb oldalához, megkapjuk a megadott egyenlőséget (0).
A képlet segítségével kiszámíthatja a számjegyeket a π tizedespontja után
A cél az, hogy kiszámítja a N -edik számjegy a tizedesvessző után a π a 16 alap .
Már, meg kell jegyezni, hogy a ( N + 1) -edik számjegy a tizedespont után a π 16 alap ugyanaz, mint az 1 st decimális 16 N π . Valójában, mint a 10. bázisban, a 16-os szám számának 16-zal való szorzása lehetővé teszi a tizedespont eltolását egy sorral jobbra. Ha egy számot megszorozunk 16 N-vel , akkor a tizedespontot N sorral jobbra toljuk el . Így elegendő kiszámítani a 16 N π első számjegyét , amely megegyezik a BBP képlettel:
16.NEMπ=∑k=0∞16.NEM-k(48.k+1-28.k+4-18.k+5.-18.k+6.){\ displaystyle 16 ^ {N} \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 16 ^ {Nk} \ balra ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ frac {2 } {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ jobbra}}.
De a szám tizedespontja mögötti első számjegyek kiszámítása nem ilyen egyszerű, két okból:
- először is, mivel ez a szám nagyon nagy, nagyon nagy számokra van szükség számítások elvégzésére;
- akkor, mert ez az összeg végtelen.
Pózoljunk . Az S N ( a ) első számjegyeinek kiszámítása lehetővé teszi a 16 N π számainak megszerzését a következő összefüggés alapján:
SNEM(nál nél)=∑k=0∞16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle S_ {N} (a) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
16.NEMπ=4 SNEM(1)-2SNEM(4)-SNEM(5.)-SNEM(6.){\ displaystyle 16 ^ {N} \ pi = 4 \ S_ {N} (1) -2S_ {N} (4) -S_ {N} (5) -S_ {N} (6)}.
Vágjuk ketté az S N ( a ) összeget :
SNEM(nál nél)=∑k=0∞16.NEM-k8.k+nál nél=∑k=0NEM-116.NEM-k8.k+nál nél+∑k=NEM∞16.NEM-k8.k+nál nél=NÁL NÉLNEM(nál nél)+BNEM(nál nél){\ displaystyle S_ {N} (a) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}} = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}} + \ sum _ {k = N} ^ {\ infty} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a} } = A_ {N} (a) + B_ {N} (a)}
és függetlenül számítsa ki az A N ( a ) és a B N ( a ) értékeket .
A B N ( a ) kiszámítása
BNEM(nál nél)=∑k=NEM∞16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle B_ {N} (a) = \ sum _ {k = N} ^ {\ infty} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
Bár ez végtelen összeg, ezt a kifejezést nagyon egyszerű kiszámítani, mert észrevesszük, hogy a kifejezései hamar nagyon kicsik, és csak az első számjegyeket keressük.
- Valóban, az első félévben az összeg: . Mivel az N- edik számjegyet keressük a π tizedespontja mögött ( például N = 1 000 000 000), az első b N tag jóval kevesebb, mint 1.bNEM=18.NEM+nál nél{\ displaystyle b_ {N} = {\ frac {1} {8N + a}}}
- Ezenkívül minden egyes következő tagnak még egy nullája van a tizedespont mögött, mint az előző, mert k ≥ N esetén b k > 16 b k +1 :
bkbk+1=16.NEM-k16.NEM-(k+1)8.(k+1)+nál nél8.k+nál nél=16.(1+8.8.k+nál nél)⟶16.+{\ displaystyle {\ frac {b_ {k}} {b_ {k + 1}}} = {\ frac {16 ^ {Nk}} {16 ^ {N- (k + 1)}}}} {\ frac { 8 (k + 1) + a} {8k + a}} = 16 \ bal (1 + {\ frac {8} {8k + a}} \ jobb) \ longrightarrow 16 ^ {+}}.
Végül a B N ( a ) összeg formája (legrosszabb esetben is):
BNEM = 0,∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗. . . . {\ displaystyle B_ {N} \ = \ \ 0, **********. \. \. \. \}
+ 0,0∗∗∗∗∗∗∗∗∗. . . {\ displaystyle + \ 0,0 *********. \. \. \}+ 0,00∗∗∗∗∗∗∗∗. . . {\ displaystyle + \ 0.00 ********. \. \. \}+ 0,000∗∗∗∗∗∗∗∗. . . {\ displaystyle + \ 0,000 ********. \. \. \}Tehát a B N ( a ) pontosságának P számjegy pontossággal a tizedespont mögötti megszerzéséhez elegendő kiszámítani az összeg első P tagját, plusz a következő néhányat, hogy elkerüljük az esetlegesen megjelenő átvitel problémákat.
Ezért elegendő kiszámítani: BNEM′(nál nél)=∑k=NEMNEM+P+10.16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle B_ {N} '(a) = \ sum _ {k = N} ^ {N + P + 10} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
Mivel ez az összeg csak kis számú (állandó számú) kifejezésből áll, a számítási ideje egy számítógép számára elhanyagolható .
A N ( a ) kiszámítása
NÁL NÉLNEM(nál nél)=∑k=0NEM-116.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle A_ {N} (a) = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
Az A N ( a ) kiszámításával az a probléma, hogy az első tagok rendkívül nagyok ( N számjegy a 16-os alapban a tizedespont előtt). Mivel azonban csak az első számjegyeket keressük a tizedesjegy mögött, az egész rész nem számít, bármilyen nagy is. Ezért a moduláris számtan alkalmazásával "megszabadulhatunk" tőle .
Ezért minden nehézség a rész törtrészének megtalálásához csökken .
16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
Ehhez elvégezzük a 16 N-k euklideszi osztását 8 k + a-val :
∃q∈Z,∃r<8.k+nál nél, 16.NEM-k=q(8.k+nál nél)+r{\ displaystyle \ létezik q \ in \ mathbb {Z}, \ létezik r <8k + a, \ 16 ^ {Nk} = q (8k + a) + r}Ebből kifolyólag 16.NEM-k8.k+nál nél=q+r8.k+nál nél{\ displaystyle {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}} = q + {\ frac {r} {8k + a}}}
r8.k+nál nél{\ displaystyle {\ frac {r} {8k + a}}}kisebb, mint 1, tehát a tört része .
16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}És r8.k+nál nél=16.NEM-kmod(8.k+nál nél)8.k+nál nél{\ displaystyle {\ frac {r} {8k + a}} = {\ frac {16 ^ {Nk} {\ bmod {(}} 8k + a)} {8k + a}}}
Tehát csak számítani: .
NÁL NÉLNEM′(nál nél)=∑k=0NEM-116.NEM-kmod(8.k+nál nél)8.k+nál nél{\ displaystyle A_ {N} '(a) = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {16 ^ {Nk} {\ bmod {(}} 8k + a)} {8k + nál nél}}}
A gyors hatványozási módszerrel gyorsan kiszámítják a 16 N - k mod (8 k + a ) értéket (a végrehajtási idő O-ban (log 2 ( N - k )).
Következtetés
Végül, hogy megkapjuk az π első számjegyeit a 16. (vagy 2.) bázisban, ki kell számolnunk az első számjegyeket:
πNEM=4 SNEM′(1)-2 SNEM′(4)-SNEM′(5.)-SNEM′(6.){\ displaystyle \ pi _ {N} = 4 \ S_ {N} '(1) -2 \ S_ {N}' (4) -S_ {N} '(5) -S_ {N}' (6)}
a .
SNEM′(nál nél)=∑k=0NEM-116.NEM-kmod(8.k+nál nél)8.k+nál nél+∑k=NEMNEM+P+10.16.NEM-k8.k+nál nél{\ displaystyle S_ {N} '(a) = \ sum _ {k = 0} ^ {N-1} {\ frac {16 ^ {Nk} {\ bmod {(}} 8k + a)} {8k + a}} + \ sum _ {k = N} ^ {N + P + 10} {\ frac {16 ^ {Nk}} {8k + a}}}
A módszer összetettsége
Az n- edik számjegy kiszámításához a 16. bázis π tizedespontja után (és ezért a 4. n- edik számjegy a 2. bázisban):
Az idő összetettsége
-
B N '( a ) értékét állandó időben számoljuk ( O (1)). Az S N ' kiszámításának bonyolultságatehát megegyezik az A N ' ( a ) kiszámításának bonyolultságával.
-
A N „( a ) : a gyors hatványozás módszer, annak feltételei kiszámítása O (log 2 ( N )) szorzásait egészeken méretű log 2 ( N ). Azáltal, hogy M ( k ) két k méretű egész szám szorzatának összetettségét jelöljük , a komplexitás tehát O (log ( n ) M (log ( n ))). Végül az n kifejezésösszegét, A N '( a ) , kiszámítjuk az O ( n log ( n ) M (log ( n )))időben. Még a naiv szorzási algoritmus, nem pedig a Karatsuba algoritmus vagy a gyors Fourier-transzformáció használatával kapunk O ( n log ( n ) 3 )kvázi-lineáris komplexitást.
Térbeli összetettség
A B N '( a ) számítását állandó térben végezzük (fix számú kifejezés összege, rögzített számú jelentős számjeggyel). Az A ' N ' ( a ) kiszámításához modulo 8 k + a számításokat kell végrehajtani , vagyis a log ( k ) méretszámokat k ≤ N- vel kell kezelni . Az algoritmus minden egyes lépésében állandó számmal kezelünk ilyen számokat: A N '( a ) kiszámításának térbonyolultsága tehát O (log ( n )). A teljes algoritmus ezért logaritmikus teret használ.
Származtatott képletek
Simon plouffe
Eredeti képlet: π = ∑k=0∞116.k(48.k+1-28.k+4-18.k+5.-18.k+6.){\ displaystyle \ pi \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ bal ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ jobbra)}
∀r∈VS π = ∑k=0∞116.k(4+8.r8.k+1-8.r8.k+2-4r8.k+3-2+8.r8.k+4-1+2r8.k+5.-1+2r8.k+6.+r8.k+7){\ displaystyle \ forall r \ in \ mathbb {C} \ \ \ \ pi \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ balra ({\ frac {4 + 8r} {8k + 1}} - {\ frac {8r} {8k + 2}} - {\ frac {4r} {8k + 3}} - {\ frac {2 + 8r} {8k + 4}} - {\ frac {1 + 2r} {8k + 5}} - {\ frac {1 + 2r} {8k + 6}} + {\ frac {r} {8k + 7}} \ jobb)}π2 = ∑k=0∞(-1)k8.k(46.k+1+16.k+2+16.k+3){\ displaystyle \ pi {\ sqrt {2}} \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k}}} \ balra ({\ frac {4} {6k + 1}} + {\ frac {1} {6k + 2}} + {\ frac {1} {6k + 3}} \ jobbra)}π2 = ∑k=0∞116.k(16.(8.k+1)2-16.(8.k+2)2-8.(8.k+3)2-16.(8.k+4)2-4(8.k+5.)2-4(8.k+6.)2-2(8.k+7))2){\ displaystyle \ pi ^ {2} \ = \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ balra ({\ frac {16} {( 8k + 1) ^ {2}}} - {\ frac {16} {(8k + 2) ^ {2}}} - {\ frac {8} {(8k + 3) ^ {2}}} - { \ frac {16} {(8k + 4) ^ {2}}} - {\ frac {4} {(8k + 5) ^ {2}}} - {\ frac {4} {(8k + 6) ^ {2}}} - {\ frac {2} {(8k + 7)) ^ {2}}} \ jobbra}}π2 = 9.8. ∑k=0∞164.k(16.(6.k+1)2-24.(6.k+2)2-8.(6.k+3)2-6.(6.k+4)2-1(6.k+5.)2){\ displaystyle \ pi ^ {2} \ = \ {\ frac {9} {8}} \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {64 ^ {k}}} \ balra ({\ frac {16} {(6k + 1) ^ {2}}} - {\ frac {24} {(6k + 2) ^ {2}}} - {\ frac {8} {(6k +3) ^ {2}}} - {\ frac {6} {(6k + 4) ^ {2}}} - {\ frac {1} {(6k + 5) ^ {2}}} \ jobbra) }π2 = 227. ∑k=0∞1729k(243(12.k+1)2-405(12.k+2)2-81.(12.k+4)2-27.(12.k+5.)2-72(12.k+6.)2-9.(12.k+7)2-9.(12.k+8.)2-5.(12.k+10.)2+1(12.k+11.)2){\ displaystyle \ pi ^ {2} \ = \ {\ frac {2} {27}} \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {729 ^ {k}}} \ balra ({\ frac {243} {(12k + 1) ^ {2}}} - {\ frac {405} {(12k + 2) ^ {2}}} - {\ frac {81} {(12k +4) ^ {2}}} - {\ frac {27} {(12k + 5) ^ {2}}} - {\ frac {72} {(12k + 6) ^ {2}}} - {\ frac {9} {(12k + 7) ^ {2}}} - {\ frac {9} {(12k + 8) ^ {2}}} - {\ frac {5} {(12k + 10) ^ { 2}}} + {\ frac {1} {(12k + 11) ^ {2}}} \ jobbra}}
Viktor Adamchick és Stan Wagon (1997)
π = ∑én=0∞(-1)én4én(24én+1+24én+2+14én+3){\ displaystyle \ pi \ = \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} {4 ^ {i}}} \ bal ({\ frac {2 } {4i + 1}} + {\ frac {2} {4i + 2}} + {\ frac {1} {4i + 3}} \ jobbra}}.
π = 164. ∑én=0∞(-1)én210.én(-324én+1-14én+3+25610.én+1-64.10.én+3-410.én+5.-410.én+7+110.én+9.){\ displaystyle \ pi \ = \ {\ frac {1} {64}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} {2 ^ {10i }}} \ bal (- {\ frac {32} {4i + 1}} - {\ frac {1} {4i + 3}} + {\ frac {256} {10i + 1}} - {\ frac { 64} {10i + 3}} - {\ frac {4} {10i + 5}} - {\ frac {4} {10i + 7}} + {\ frac {1} {10i + 9}} \ jobb) }.
Géry Huvent (2001)
π = 1128 ∑én=0∞1212.én(76824.én+3+51224.én+4+12824.én+6.-16.24.én+12.-16.24.én+14-12.24.én+15+224.én+20-124.én+22.){\ displaystyle \ pi \ = \ {\ frac {1} {128}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12i}}} \ bal ({ \ frac {768} {24i + 3}} + {\ frac {512} {24i + 4}} + {\ frac {128} {24i + 6}} - {\ frac {16} {24i + 12}} - {\ frac {16} {24i + 14}} - {\ frac {12} {24i + 15}} + {\ frac {2} {24i + 20}} - {\ frac {1} {24i + 22 }} \ jobb)}
π = 1256 ∑én=0∞1212.én(204824.én+2-102424.én+4+19224.én+9.+12824.én+10.+3224.én+12.-424.én+18.-424.én+20-324.én+21){\ displaystyle \ pi \ = \ {\ frac {1} {256}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12i}}} \ bal ({ \ frac {2048} {24i + 2}} - {\ frac {1024} {24i + 4}} + {\ frac {192} {24i + 9}} + {\ frac {128} {24i + 10}} + {\ frac {32} {24i + 12}} - {\ frac {4} {24i + 18}} - {\ frac {4} {24i + 20}} - {\ frac {3} {24i + 21 }} \ jobb)}
π3 = 116. ∑én=0∞(-1)én210.én(32(4én+1)3+8.(4én+2)3+1(4én+3)3){\ displaystyle \ pi ^ {3} \ = \ {\ frac {1} {16}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} { 2 ^ {10i}}} balra ({\ frac {32} {(4i + 1) ^ {3}}} + {\ frac {8} {(4i + 2) ^ {3}}} + {\ frac {1} {(4i + 3) ^ {3}}} \ jobbra}}
+ 5.2 ∑én=0∞(-1)én26.én(32(12.én+1)3-192(12.én+2)3+88(12.én+3)3-8.(12.én+5.)3+84.(12.én+6.)3-4(12.én+7)3+11.(12.én+9.)3-12.(12.én+10.)3+1(12.én+11.)3){\ displaystyle \ + \ {\ frac {5} {2}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {i}} {2 ^ {6i}} } \ balra ({\ frac {32} {(12i + 1) ^ {3}}} - {\ frac {192} {(12i + 2) ^ {3}}} + {\ frac {88} {( 12i + 3) ^ {3}}} - {\ frac {8} {(12i + 5) ^ {3}}} + {\ frac {84} {(12i + 6) ^ {3}}} - { \ frac {4} {(12i + 7) ^ {3}}} + {\ frac {11} {(12i + 9) ^ {3}}} - {\ frac {12} {(12i + 10) ^ {3}}} + {\ frac {1} {(12i + 11) ^ {3}}} \ jobbra}}
π4 = 27.164 ∑én=0∞1212.én(2048(24.én+1)4-38912(24.én+2)4+81920(24.én+3)4-2048(24.én+4)4-512(24.én+5.)4-23552(24.én+6.)4+256(24.én+7)4-27648(24.én+8.)4-10240(24.én+9.)4{\ displaystyle \ pi ^ {4} \ = \ {\ frac {27} {164}} \ \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {12i}}} \ balra ({\ frac {2048} {(24i + 1) ^ {4}}} - {\ frac {38912} {(24i + 2) ^ {4}}} + {\ frac {81920} {(24i +3) ^ {4}}} - {\ frac {2048} {(24i + 4) ^ {4}}} - {\ frac {512} {(24i + 5) ^ {4}}} - {\ frac {23552} {(24i + 6) ^ {4}}} + {\ frac {256} {(24i + 7) ^ {4}}} - {\ frac {27648} {(24i + 8) ^ { 4}}} - {\ frac {10240} {(24i + 9) ^ {4}}} \ jobbra.}
-2432(24.én+10.)4-64.(24.én+11.)4-3584(24.én+12.)4-32(24.én+13.)4-608(24.én+14)4-1280(24.én+15)4-1728(24.én+16.)4+8.(24.én+17.)4-368(24.én+18.)4-4(24.én+19.)4{\ displaystyle - {\ frac {2432} {(24i + 10) ^ {4}}} - {\ frac {64} {(24i + 11) ^ {4}}} - {\ frac {3584} {( 24i + 12) ^ {4}}} - {\ frac {32} {(24i + 13) ^ {4}}} - {\ frac {608} {(24i + 14) ^ {4}}} - { \ frac {1280} {(24i + 15) ^ {4}}} - {\ frac {1728} {(24i + 16) ^ {4}}} + {\ frac {8} {(24i + 17) ^ {4}}} - {\ frac {368} {(24i + 18) ^ {4}}} - {\ frac {4} {(24i + 19) ^ {4}}}}
-8.(24.én+20)4+160(24.én+21)4-38(24.én+22.)4+1(24.én+23.)4){\ displaystyle - \ balra. {\ frac {8} {(24i + 20) ^ {4}}} + {\ frac {160} {(24i + 21) ^ {4}}} - {\ frac {38 } {(24i + 22) ^ {4}}} + {\ frac {1} {(24i + 23) ^ {4}}} \ jobbra}}.
Rekordok
Összehasonlításképpen: a π összes tizedesjegyének kiszámításának rekordja 2016-ban 22,6 billió tizedesjegy (vagy körülbelül 70 billió bináris számjegy).
-
1996. október 7( Fabrice Bellard ): 400 milliárdodik számjegy a 2. alapban
- 1997. szeptember (Fabrice Bellard): a 2. bázis 1000 milliárdodik számjegye
- 1999. február (Colin Percival): a 2. alapban 40 000 milliárdadik számjegy
-
2001 : 4.000.000 milliárdos számjegy a 2. alapban
Számítás a 10. bázisban
Jelenleg nem találtak igazán hatékony képletet a 10 bázis π n- edik számjegyének kiszámításához . Simon Plouffe 1996 decemberében dolgozott ki, a binomiális tétel együtthatóin alapuló π nagyon régi számítási sorozatából, a számítási módszerből. a 10. bázis számjegyei, de O-ban ( n 3 × log 2 ( n )) való összetettsége a gyakorlatban használhatatlanná vált. Fabrice Bellard nagymértékben javította az algoritmust az O ( n 2 ) összetettségének elérése érdekében , de ez nem elegendő ahhoz, hogy versenyezzen az összes tizedesjegy számításának klasszikus módszereivel.
Hivatkozások
-
(a) David H. Bailey , Peter B. Borwein és Simon Plouffe , " A Rapid számítása Különböző Polylogarithmic állandók " , Math. Comp. , vol. 66, n o 2181997, P. 903-913 ( DOI 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9 , Math Reviews 1415794 ).
-
Géry Huvent, " BBP formulák " ,2001.
Bibliográfia
Külső hivatkozás
(en) Eric W. Weisstein , „ BBP Formula ” , a MathWorld- on
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">