A teljes valószínűség képlete

A valószínűségelméletben a teljes valószínűség képlete egy tétel, amely lehetővé teszi egy esemény valószínűségének kiszámítását azáltal, hogy lebontja azt egy teljes eseményrendszer szerint.

Államok

Teljes valószínűség képlet - adjuk magunkat egy valószínűségi mező Ha egy teljes (véges vagy megszámlálható ) rendszer eseményeket , és ha bármi ekkor minden esetben ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P}).}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}$ ${\ displaystyle i \ I-ben,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0,}$ ${\ displaystyle A,}$

{\ displaystyle \ mathbb {P} (A) = \ sum _ {i \ in I} \ mathbb {P} (A | B_ {i}) \ mathbb {P} (B_ {i}) = \ sum _ { i \ in I} \ mathbb {P} (A \ cap B_ {i}).}

Megjegyzések:

A probléma meghatározása : feltételezhető lenne-e annak a ténynek a megismerése, amely soha nem fordul elő, mégpedig a szokásos meghatározása akkor 0-val való felosztáshoz vezetne ... Egy ritkán káros konvenció abból áll, hogy mikor tetszőleges értéknek tulajdonítható 0 és 1: soha nem kell megjósolnunk az esemény ismeretének valószínűségét, mivel soha nem fordul elő, így egy tetszőleges érték hozzárendelése nem okoz hibát. Másrészt a teljes valószínűségi képletben egy tetszőleges érték 0 és 1 közötti hozzárendelése nem releváns, mivel ezt az értéket megszorozzuk Összefoglalva, ezzel a konvencióval a feltételezés felesleges a teljes valószínűségi képletre. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle B_ {i}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) = 0,}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ $NÁL NÉL$ ${\ displaystyle B_ {i},}$ $Kettős}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {P} (B_ {i}).}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (B_ {i}) \ neq 0}$
Az a hipotézis, amely szerint egy kimerítő rendszer gyengülhet : helyettesíthető a következővel : Másrészt elengedhetetlen, hogy a diszjunkt. ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} = \ Omega}$ ${\ displaystyle \ cup _ {\, i \ in I} B_ {i} \ supset A.}$ $Kettős}$

Változat

Tétel - Vegyünk egy valószínűségi mező és események A . Ha a B esemény partíciója (véges vagy megszámlálható) , ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}$

{\ mathbb {P}} (A | B) = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i } | B).

Demonstráció

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A \ cap B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A \ cap B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i}) \\ & = \ sum _ {{ i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) {\ mathbb {P}} (B), \ end { igazítva}}

mert a CQFD ${\ displaystyle B_ {i} \ cap B = B_ {i}.}$

Következmény - Ha egy partíció (véges vagy megszámlálható) az esemény a B , és ha nem függ i , majd a közös értéke a feltételes valószínűségek van ${\ displaystyle (B_ {i}) _ {\, i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B).}$

Demonstráció

Jelölje x a közös értéke a feltételes valószínűségek Aztán ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

{\ begin {aligned} {\ mathbb {P}} (A | B) & = \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (A | B_ {i}) {\ mathbb { P}} (B_ {i} | B) \\ & = x \ \ sum _ {{i \ in I}} {\ mathbb {P}} (B_ {i} | B) \\ & = x. \ vége {igazítva}}

CQFD

Ez a következmény lehetővé teszi a számítás csökkentését néha könnyebb számításra , mert a B i esemény , mivel kisebb, mint a B esemény , pontosabb információt szolgáltat, és így megkönnyíti a prognózist (prognózis = a feltételes valószínűség kiszámítása). Az eset gyakran akkor merül fel, amikor két Markov-láncot tanulmányozunk , amelyek közül az egyik a másik képe. A Markov tulajdonság bizonyítása a Galton-Watson folyamatok számára csak egy példa a sok közül. ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}),}$

Különösen gyakran alkalmazzák a következményt abban az esetben, ha B = Ω , és ezután lehetővé teszi a ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} (A | B_ {i}).}$

Lásd is

Összetett valószínűség képlet