Newton többnemű képlete
A matematika , a képlet Newton multinomiális egy kapcsolatban, amely a kutatók számára egy egész teljesítménye n egy összeg véges számú m kifejezések formájában összeget termékek hatásköre ezen kifejezések által érintett együtthatókat, amelyek úgynevezett multinomiális együtthatók . A binomiális képletet a multinomiális képlet egyedi eseteként kapjuk meg, m = 2 esetén ; és ebben az esetben a multinomiális együtthatók a binomiális együtthatók .
Államok
Legyen m és n egyaránt egész szám , és X 1 , X 2 , ..., x m a valós számok vagy komplex (vagy még általánosabban, az elemek egy kommutatív gyűrű vagy csak egy gyűrű , feltéve, hogy ezek m elemeket kapcsolja kettesével) . Így,
(x1+x2+x3+⋯+xm)nem=∑k1+k2+k3+...+km=nem(nemk1,k2,k3,...,km)x1k1x2k2x3k3...xmkm{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ pont + x_ {m}) ^ {n} = \ összeg _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ válassza k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ pontok, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ pont x_ {m} ^ {k_ {m}}}![{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ pont + x_ {m}) ^ {n} = \ összeg _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ válassza k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ pontok, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ pont x_ {m} ^ {k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e4da5683a04a04089d54d6a9f9a86e6cbe556f)
.
Az összeg a k 1 , k 2 , ..., k m természetes egész indexek összes kombinációjára vonatkozik oly módon, hogy k 1 + k 2 + ... + k m = n , némelyikük esetleg nulla.
Egy ekvivalens, de sokkal tömörebb írás abból áll, hogy összegezzük az m dimenzió összes indexét , amelynek modulusa egyenlő n-vel :
k→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
|k→|=∑én=1mkén{\ displaystyle \ left | {\ vec {k}} \ right | = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}}![\ bal | {\ vec k} \ jobb | = \ összeg \ nolimits _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3522d703b8ff74af54f498026843a61fd32cde9b)
(∑én=1mxén)nem=∑|k→|=nem(nemk→)∏én=1mxénkén{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ select {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}![{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ select {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c880d4e71a586413319e3a7b3589b5de34dde541)
Számok
(nemk1,k2,k3,...,km)=(nemk→)=nem!k1!k2!k3!...km!=nem!∏én=1mkén!{\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ select {\ vec {k}}} = {\ frac {n! } {k_ {1}! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i }!}}}![{n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ select {\ vec k}} = {\ frac {n!} {k_ {1 }! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}!} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdf2226fa64811019001780e188ee39a73c368)
multinomiális együtthatóknak nevezzük .
A multinomiális együttható egyben n elem halmazának "rendezett partícióinak" száma a megfelelő k 1 , k 2 , ..., k m kardinálok m halmazában . Formálisabban:
(nemk1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}![{n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f605c8b3069cd0ff0c4741c60d870c72cc4aeb)
(nemk1,k2,...,km)=Kártya{én∈P({1,...,nem})m|∀én,jKártya(énén)=kén és (én≠j⇒énén∩énj=∅)}.{\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = \ kezelőnév {Card} \ left \ {I \ in {\ mathcal {P}} (\ {1, \ ldots, n \}) ^ {m} | \ forall i, j \ quad \ operatorname {Card} (I_ {i}) = k_ {i} ~ {\ text {and}} ~ (i \ neq j \ Jobb oldali I_ {i} \ cap I_ {j} = \ emptyyset \ \ right \}.}
Konkrétabban : az n hosszúságú szavak száma m karakterű ábécével képződik , az első karakter k 1- szer, a második k 2- szer, ..., m- ed, k m- szer ismétlődik meg. Például a Mississippi szó anagrammáinak száma megéri .
(nemk1,k2,k3,...,km){\ displaystyle {n \ select k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}
(10.4,4,1,1)=6300{\ displaystyle {10 \ select 4,4,1,1} = 6300}![{\ displaystyle {10 \ select 4,4,1,1} = 6300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d62e5160b3fa41b932f6e97ce45cfad73424859)
Tüntetések
Közvetlen bizonyíték az, hogy a fenti utolsó előtti kifejezést használjuk multinomiális együtthatókra.
A másik az ok indokolása az m-en , binomiális képlet segítségével .
Végül használhatjuk az exponenciális egész (vagy egyszerűen formális ) sorozatbővítését .
Példa
(nál nél+b+vs.)3=(nál nél3b0vs.0+nál nél0b3vs.0+nál nél0b0vs.3)+3(nál nél2b1vs.0+nál nél1b2vs.0+nál nél0b1vs.2+nál nél0b2vs.1+nál nél1b0vs.2+nál nél2b0vs.1)+6.nál nél1b1vs.1=nál nél3+b3+vs.3+3(nál nél2b+nál nélb2+bvs.2+b2vs.+nál nélvs.2+nál nél2vs.)+6.nál nélbvs..{\ displaystyle {\ begin {aligned} (a + b + c) ^ {3} & = (a ^ {3} b ^ {0} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {3} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {0} c ^ {3}) + 3 (a ^ {2} b ^ {1} c ^ {0} + a ^ {1} b ^ {2} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {1} c ^ {2} + a ^ {0} b ^ {2} c ^ {1} + a ^ {1} b ^ {0} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}) + 6a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1} \\ & = a ^ {3} + b ^ {3 } + c ^ {3} +3 (a ^ {2} b + ab ^ {2} + bc ^ {2} + b ^ {2} c + ac ^ {2} + a ^ {2} c) + 6abc. \ Vége {igazítva}}}
Megjegyzések és hivatkozások
-
Ez a kombinatorikus bizonyíték elérhető például Louis Comtet , Advanced combinatorial analysis , Engineering technologies ( read online ) , p. 3és a Wikiverzióról az alábbi linken .
-
Ez az ismétlődési bizonyíték elérhető például a Wikiverzióban, az alábbi linken .
-
Ez az "analitikus" bizonyíték elérhető például a Comtet , p. 3 és a Wikiverzióról, az alábbi linken .
Lásd is
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
(en) Erdős Paul és Ivan Niven , „ A többnemzeti együtthatók száma ” , Amer. Math. Havi , vol. 61,1954, P. 37–39 ( online olvasás )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">