Folyékony súrlódás

A folyadék mechanika , folyadék súrlódás egy súrlódási erőt fejtünk ki egy mozgó tárgy egy fluid (folyadék vagy gáz). Ez az erő a tárgy relatív sebességétől, alakjától és a folyadék belső tulajdonságaitól függ.

A tipikus példa egy gömbé, amely egy viszkózus folyadékba esik : minél gyorsabban halad, annál nagyobb a folyadék súrlódási ereje rá (mivel arányos a sebességgel), amíg egyik sem éri el az egyensúlyi rendszert, ahol a súrlódási erő, az arkhimédészi tolóerő és a gravitációs erő pontosan kompenzálja egymást: a labda sebessége ezután állandóvá válik ( Stokes törvénye szerint ).

A folyadék súrlódása a mindennapi problémák sokaságában fordul elő: nyomásesés a csővezetékben, légsúrlódás az autóban, víz súrlódás a hajótesten.

Először zavaró lehet, ha különféle képletek sokaságával kell szembenézni, amelyek leírják az objektumra kifejtett súrlódási erő értékét. Mindezek a képletek azonban a Navier-Stokes egyenletek alkalmazásából adódnak a vizsgált helyzetnek megfelelően. A legfontosabb paraméter az áramlási sebesség. A folyadék súrlódását nem azonos módon számolják a folyadéknak az objektumhoz viszonyított relatív sebességétől függően: vannak különálló területek, ahol az egyik az egyik képletet alkalmazza a másik helyett. Ezeket a doméneket a különböző áramlási rendszerek határolják ( lamináris , turbulens , összenyomható), különösen az áramlás Reynolds-számától függően .

Vannak viszonylag egyszerű képletek, amelyek bizonyos alapesetekben alkalmazhatók. Amint azonban a folyadékba mártott tárgy geometriája bonyolultabbá válik, számszerű CFD számításokhoz vagy fizikai vizsgálatokhoz kell folyamodni (például szélcsatornát használva).

A folyékony súrlódás erőinek globális kifejeződése

Egy áramláson belül hasznos tudni, hogy mely erők dominálnak. Valójában kis sebességnél a viszkozitási erők strukturálják az áramlást. Másrészt nagy sebességgel ennek van meghatározó kinetikus hatása. Annak megállapításához, hogy melyik esetben vagyunk, elegendő kiszámítani a Reynolds-számot .

Kis sebességgel

Amikor a Reynolds-szám nagyon kicsi az 1-hez képest, az áramlás lamináris rendszerben zajlik. A folyadék átjutása nem okoz turbulenciát. Ebben a helyzetben a Navier-Stokes egyenletek felbontása a sebességgel arányos folyadék súrlódási erők kifejeződését generálja.

{\ displaystyle \ mathbf {F} = K \ szor \ mathbf {V}}

vagy:

F : folyadék súrlódási erő a tárgyon (Newtonban).
K : a súrlódási együttható, amely az objektum geometriájától függ.
V : a folyadék sebessége a tárgyhoz viszonyítva (m / s).

Például egy folyadékban lassan mozgó gömb esetén megkapjuk a híres Stokes-egyenletet :

{\ displaystyle {\ displaystyle {\ vec {F}} = - 6 \ pi \, \ mu \, r \, {\ vec {v}}}}

a következővel : dinamikus viszkozitás ( kg m −1 s −1 ) $\ mu$

r : a gömb sugara m-ben

ahol azonosíthatjuk K- t:

{\ displaystyle K = -6 \ pi \ mu r}

A gömb húzóereje, amely arányos a jellegzetes hosszával, valamint a folyadék sebességével, fellebbezhet a Bárány (ahogy Zdravkovich nevezi) ellenállási együtthatójával, ezt a méretarányt egyenesnek is nevezhetjük ( szemben a másodfokúval, amely a legerősebb Reynolds-nál jelentős, az alábbiakban leírtak szerint). $C_x$ $C_x$

Tehát, ha mérnökök módjára a gömb átmérőjét vesszük jellemző hossznak, akkor az ellenállást megírjuk, és a lineáris egyenlő ( a gömb átmérőjére vonatkoztatva). $D$ ${\ displaystyle F = -3 \ pi \ mu DV}$ $C_x$ ${\ displaystyle 3 \ pi}$ $D$

Tudni, hogy a linearitás bármilyen tárgy, szükség van arra, hogy egy mérés alkalmas próbapadon. Matematikai vagy numerikus számítások elvégzése dedikált szoftvereken is lehetséges (lásd erről a témáról a Stokes flow című szakcikket, amely megadja bizonyos számú test lineáris értékét ). $C_x$ $C_x$

Mérsékelt sebességgel

Amikor a Reynolds-szám 30 és 800 között van, az áramlás köztes állapotban van, félúton a lamináris és a turbulens áramlás között. Ebben az intervallumban a Navier-Stokes egyenletek egyszerűsíthetők (bizonyos feltételezések mellett), hogy egy általánosan használt képletet kapjanak:

{\ displaystyle \ mathbf {F} = K \ szor \ mathbf {V} ^ {1,4}}

vagy:

F : folyadék súrlódási erő a tárgyon (Newtonban).
K : a súrlódási együttható, amely az objektum geometriájától függ.
V : a folyadék sebessége a tárgyhoz viszonyítva (m / s).

A gömb példáját véve:

{\ displaystyle F = \ eta ^ {0.5} \ pi ^ {- 0.5} R ^ {2} V ^ {1.5}}

Valójában a probléma összetettebb, és az F erő V-függőségének ez a becslése csak "képet ad" a valós függőségről. A valódi erő, amely túl bonyolult ahhoz, hogy egyszerű V-hatványossá összegezzük, a kísérleti eredmények szerint azonban jól megközelíthető a szorzó arányosság állandójával . ${\ displaystyle V ^ {1,4}}$

Nagy sebességgel

Nagy sebességgel, amikor a Reynolds-szám meghaladja az 1000-et (vagy az alkalmazástól függően 2000-et), az áramlás turbulens üzemmódban van. A függőségi rendszer és a függőségi rendszer közötti átmenet akkor következik be, amikor a határréteg elválik, és jelentős turbulencia-zóna jelenik meg. ${\ displaystyle V ^ {1,4}}$ ${\ displaystyle V ^ {2}}$

Az alábbiakban bemutatott képlet szintén a Navier-Stokes egyenletekből származik. Újra megtalálható a viszkozitás kifejezés eltávolításával, hogy csak a kinetikus kifejezés maradjon. Ekkor látjuk, hogy az egyenlet magában foglal egy kifejezést, vagyis a V-ben lévő 2 fokú tagot. ${\ displaystyle V \ szorzat (V)}$

Ezt a képletet használják leggyakrabban a szárazföldi járművek, repülőgépek stb. Folyadék súrlódási erejének becslésére:

{\ displaystyle F = {\ frac {1} {2}} \ times \ rho \ times \ V ^ {2} \ times C_ {x} \ times S}

vagy:

F : folyadék súrlódási erő a tárgyon (Newtonban).
$\ rho$ : a folyadék sűrűsége kg / m 3 -ben
V : a folyadék sebessége a tárgyhoz viszonyítva (m / s).
S = a szilárd anyag területe a sebességre merőleges irányban

$C_x$ : Az a húzási együttható, amelyet másodfokúnak kell nevezni, hogy megkülönböztessük a Stokes-folyamatokban létező lineárisaktól . $C_x$ $C_x$

A gömb Reynolds-számainak teljes tartományában

Példaként lehet ábrázolni a gömb kvadratikus (vagy kvadratikus) húzási együtthatóját a lehetséges Reynolds-számok teljes tartományában, bár ennek a kvadratikusnak nincs fizikai jelentősége nagyon alacsony Reynolds esetén. $C_x$ $C_x$

Amint ezen a grafikonon láthatjuk , a gömb kvadratikusának alakulása a Reynolds-szal nagyon összetett; sőt azt is jelzi, hogy a híres sima gömb húzási válság alatt hirtelen (5-szöröse) csökken . A grafikon bal oldalán azonban az alacsony Reynolds esetében a másodfokot egy ferde vonal, a Stokes-érintő képviseli , amely "azt a benyomást kelti, hogy az alacsony Reynolds-nál az ellenállás óriási értékeket ölt" [itt idézünk Zdravkovich]; ez nem így van, és ez a ferde vonal állandó állandónak felel meg, ha a gömb átmérője van). $C_x$ $C_x$ $C_x$ ${\ displaystyle C_ {xLin} = 3 \ pi \ mu D}$ $D$ ${\ displaystyle 2 \, r}$

A folyékony súrlódási erők lokális kifejezése

Meghatározás

A folyadék reológiai viselkedését a helyi súrlódási törvény jellemzi . A leggyakoribb folyadékok betartják az alább megadott törvényt, állítólag newtoni eredetűek (vagy Newtoni viselkedésűek). Egyéb folyadékok (különböző paszták , bizonyos festékek , iszapok , lávák , stb ) másképp viselkednek, de néha tekintik newtoni, első közelítésben.

Newtoni folyadékok esete

A folyadékréteg ( newtoni ) által a másikra vagy egy newtoni folyadék által a szilárd falra kifejtett folyadék-súrlódási erőt lokálisan fejezzük ki területegységnyi erő formájában:

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {F}} = \ eta \, {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}} _ {\ párhuzamos}} {\ mathrm {d} z} } \, \ mathrm {d} S}

vagy:

{\ mathrm d} S

a fal vagy a folyadék felületének ( végtelenül kicsi ) része;

{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {F}}}

a folyadék által a felületen kifejtett súrlódási erő ;

{\ mathrm d} S

{\ displaystyle {\ vec {v}} _ {\ parallel}}

a tangenciális sebesség, vagyis a sebesség felületével párhuzamos komponens (a folyadék sebessége a belső súrlódáshoz, a folyadék relatív sebessége és a szilárd anyag a falon történő súrlódáshoz);

{\ vec v}

z

a távolság a felszíntől;

\ eta

a viszkozitása a folyadék.

A fenti származékot a felület egy pontján vesszük. Ha egy szilárd fal mellett van érdeklődés, akkor a folyadék és a fal relatív sebessége az érintkezés helyén megszűnik.

Nem newtoni folyadékok

Ha a folyadék viselkedése eltér a fent leírt egyenlettől, akkor a folyadék nem newtoni lesz . Többféle nem newtoni folyadék létezik.

Példa a pontmechanikában való alkalmazásra

A mozgásban lévő szilárd tárgyra kifejtett (globális) súrlódási erő (a környező folyadékhoz viszonyítva) annak a (helyi) súrlódási erőnek az eredménye, amelyet a folyadékkal való érintkezési felületének minden pontján kifejtett.

A teljes súrlódási erő a szilárd anyag sebességétől függ (a falaktól nagy távolságra lévő folyadékhoz viszonyítva). Abban az esetben, egy newtoni folyadék :

ha a relatív sebesség kellően alacsony ( Stokes-áramlás ), a teljes súrlódási erő arányos ezzel a relatív sebességgel;
nagyobb relatív sebességnél az erő és a sebesség kapcsolata bonyolultabbá válik a folyadék turbulenciája miatt , de kellően nagy sebességgel az összsúrlódási erő arányos lesz a relatív sebesség négyzetével.

Példa a folyadék súrlódására, amely arányos a sebességgel

Vizsgáljuk meg a folyadékba cseppentett márvány fenti példáját. Ez a modell csak nagyon alacsony sebességekre érvényes (például 5 m / s levegőben). ${\ displaystyle v <}$

Legyen egy $m$ tömegű labda . Bizonyos körülmények között (különösen alacsony Reynolds-szám esetén ) el lehet ismerni, hogy a rá kifejtett folyadék súrlódási erő alakú , ahol $k$ a tárgy (a golyó) ellenállási együtthatóját jelenti a kérdéses folyadékban. $k$ függ a tárgy alakjától (ebben az esetben az átmérőjű gömbnél), a folyadék viszkozitásától és attól a lehetőségtől, hogy a tárgyat alkotó anyagnak be kell hatolnia a folyadékba. A $k$ együtthatót kg / s vagy N s / m $értékben$ fejezzük ki . ${\ displaystyle {\ vec {F}} = - k \, {\ vec {v}}}$

A labda elmozdulását leíró egyenletet a dinamika alapelve adja :

{\ displaystyle m \, {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {v}}} {\ mathrm {d} t}} = m \, {\ vec {g}} - k \, {\ vec {vb}}}

hol van a föld gravitációja . Ha ezt az egyenletet egy emelkedő függőleges tengelyre ( ; ) vetítjük , akkor megvan ${\ vec g}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} = v_ {y} \, {\ vec {k}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {g}} = - g \, {\ vec {k}}}$

{\ displaystyle m \, {\ frac {\ mathrm {d} v_ {y}} {\ mathrm {d} t}} = - m \, gk \, v_ {y}}

amelyet első rendű differenciálegyenletként , állandó együtthatókkal és második taggal oldunk meg, amelynek megoldása meg van írva

v_ {y} = - {\ frac {mg} {k}} \ balra (1-e ^ {{{\ frac {-k} {m}} t}} \ jobbra)

kezdeti feltételként nulla sebességet vesz fel ( t = 0 esetén). Ez a sebesség nagyon negatív, mivel a labda leesik.

{\ frac {{{\ rm {d}}} v_ {y}} {{{\ rm {d}}} t}} = - ge ^ {{{\ frac {-k} {m}} t} }

Bizonyos idő elteltével ( t ~ 5 m / k ) a sebesség a megadott állandó érték (határsebesség) felé halad

v _ {{limit}} = {\ frac {ma} {k}} = - {\ frac {mg} {k}}

Az egyenlet tehát felírható:

v_ {y} = (v _ {{0y}} - v _ {{limit}}) e ^ {{{\ frac {-k} {m}} t}} + v _ {{limit}}

y_ {t} = {\ frac {m} {k}} (v _ {{0y}} - v _ {{limit}}) (1-e ^ {{{\ frac {-k} {m}} t}}) + v _ {{limit}} t + y_ {0}

Arisztotelész már régóta alapelvként fogalmazta meg ezt a sebességet, amely állandó értékre törekszik mindaddig, amíg erőt fejt ki , ami lelassította a modern mechanika fejlődését , ami megmagyarázza, hogy a mozgás külső ' külső hiányában is tarthat. erők (és ezért a súrlódási erők).

Fűtés a szuperszonikus és hiperszonikus áramlások miatt

Mint tudjuk, a természetes tárgyak (meteorok) vagy az emberi kéz (űrhajók) által készített légköri visszatérés mindig nagy hőfelszabadítással történik (amelynek jótékony hatása e testek kinetikus energiájának nagymértékű csökkentése) , ezért lassítja őket le). Ez a nagy hőfelszabadulás azonban ellentétesen nem a testet körülvevő határréteg fokozott felmelegedésének (vagyis a levegő súrlódásának a felületén) köszönhető. Ez a felmelegedés elsősorban a test elején lévő levegő gyors összenyomódásának köszönhető.

Lásd is

Megjegyzések és hivatkozások

(en) Momchilo M. Zdravkovich, „ Kritikus megjegyzés a húzási együttható alacsony reynolds számoknál történő alkalmazásához ” , A Matematikai Intézet műveinek gyűjteménye, Új sorozat , t. 3, n o 11,1979( olvasható online [PDF] ).
Semmilyen mérnök nem tudja mérni a gömb sugarát, mivel senki sem fér hozzá ennek a gömbnek a közepéhez, mivel ezt a középpontot semmilyen módon nem jelöli más színű ...
A Lamb ellenállási dimenzió nélküli együttható vagy az egyenes tehát: , hogy a húzás a test (N) a dinamikus viszkozitása ( kg m -1 s -1 ) a áramlási sebesség a testtől m / s (gyakran a részecske leülepedési sebessége) és a választott jellemző hossz, méterben (ezt a jellemző hosszúságot mindig meg kell adni, mint mindig a dimenzió nélküli együtthatók esetében). $C_x$ ${\ displaystyle C_ {xLin} = {\ frac {F} {\ mu VL}}}$ $F$ $\ mu$ $V$ $L$
" Súrlódási erők egy folyadékban lévő mozgó tárgyra - CultureSciences-Physique - Tudományos források a fizikai tudományok tanításához " , a culturesciencesphysique.ens-lyon.fr webhelyeken (hozzáférés : 2020. augusztus 20. )
Nincs fizikai jelentősége (az ellenállás nem a test homlokterületével, hanem annak jellegzetes hosszával és nem a folyadék sebességének négyzetével, hanem annak sebességével arányos); ha azonban ennek a másodfoknak nincs fizikai jelentése, akkor ennek ellenére numerikusan pontos (egyszerű matematikai manipulációval könnyen le lehet vezetni a lineárisat a másodfokból). $C_x$ $C_x$ $C_x$
Az archimédészi lendületet az egyszerűség kedvéért itt .
(in) " NASA - NASA új hővédő pajzs fejlesztése az Orion számára " a www.nasa.gov oldalon (hozzáférés: 2021. január 26. )