Homogenizálás

A matematika és a fizika , homogenizáció egy tudományos területen kialakult a 1970-es és amelynek célja, hogy a tanulmány a multiscale rendszereket. Pontosabban, a homogenizálás kapcsolódik a részleges differenciálegyenletek vizsgálatához, amelyekben az egyik kifejezés erősen oszcillál. Ezek az oszcillációk általában a mikroszkópos skálán heterogenitást mutató közegek (például kompozit anyagok) vizsgálatához kapcsolódnak). A homogenizáció elméletének célja egy „hatékony” (vagy „homogenizált”) egyenlet javaslata, amely általában egyszerűbb, amely leírja a figyelembe vett egyenlet megoldásának viselkedését azon a határon belül, ahol a kis skála 0 felé halad. ennek az elméletnek az a célja, hogy egyszerűsítse a komplex, több skálát magában foglaló fizikai rendszerek numerikus szimulációját.

Alkalmazási területek

Az aszimptotikus analízissel kezdetben az elliptikus egyenletekre konceptualizált módszer különböző típusú álló vagy nem stacionárius egyenletekre terjed ki, kezdve a Boltzmann-egyenlet által leírt transzportegyenletekkel, amelyek diffúziója közelítést jelent, amelyet ez a megközelítés talál. Alkalmazási példák találhatók olyan sokféle területen, mint a tömeg vagy a hő diffúziója, a folyadékmechanika vagy a sugárzási transzfer . A folyamatos közegek mechanikájára vagy az elektromágnesességre is vonatkozik .

Példa egy elliptikus egyenletre

Itt egy aszimptotikus tágulást alkalmazó eljárással foglalkozunk egy elliptikus egyenlet példáján . Ennek a technikának az alkalmazása megköveteli, hogy a vizsgált közegnek sajátos szerkezete legyen: periodikus (az alábbiak szerint), szinte periodikus, vagy véletlenszerű, stacionárius és ergodicitási tulajdonságokkal .

Itt egy elliptikus egyenletet tekintünk a tartomány ismeretlen $u ( x )$ függvényére ${\ displaystyle {\ mathcal {D}} \ subset \ mathbb {R} ^ {d}}$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {rcl} - \ nabla \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ left (\ mathbf {x} \ right) \ cdot \ nabla u (\ mathbf {x}) \ right) & = & f (\ mathbf {x}) \ ,, \ quad \ mathbf {x} \ in {\ mathcal {D}} \\ [0.6em] u | _ {\ részleges { \ mathcal {D}}} & = & g \ end {tömb}} \ jobb.}

hol van egy forráskód és a kiszabott határadatok. Feltételezzük, hogy a mátrix pozitív határozott (esetleg szimmetrikus). $f$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}}}$

A problémát egy olyan közegben definiáljuk, amely egy lassú $x$ és egy gyors változó skálát tartalmaz, ahol $ε$ a mikroszkopikus skálát méri. ${\ displaystyle y = {\ frac {\ mathbf {x}} {\ varepsilon}}}$

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ left (\ mathbf {y} \ right) \ cdot \ nabla u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {y}) \ right) = f (\ mathbf {x})}

Amikor $ε$ felé tart 0, ez az egyenlet hatékonyan lehet közelíteni egy egyenlet - az úgynevezett homogenizált egyenlet - magában foglaló mátrixot , amely meg van írva ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

{\ displaystyle - \ nabla \ cdot \ balra ({\ mathsf {A}} ^ {\ csillag} (\ mathbf {x}) \ cdot \ nabla u ^ {\ csillag} (\ mathbf {x}) \ jobbra) = f (\ mathbf {x})}

abban az értelemben, hogy

{\ displaystyle \ lim \ limits _ {\ varepsilon \ to 0} u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}) = u ^ {\ star} (\ mathbf {x})}

Ha periodikus együttható, akkor a homogenizált mátrix állandó, ezért a probléma lényegesen leegyszerűsödik. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} (\ mathbf {y})}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Aszimptotikus elemzés

Állítólag a tápközeg a sejt periodikus . Ez azt jelenti, hogy a kanonikus alapon megvan ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = [0,1] ^ {d}}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {e} _ {i})}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$

{\ displaystyle {\ mathsf {A}} (\ mathbf {x} + \ mathbf {e} _ {i}) = {\ mathsf {A}} (\ mathbf {x}) {\ text {minden}} i \ in \ {1, \ cdots, d \}}

$x$ és $y$ független változóknak számítanak. Így van

{\ displaystyle u (\ mathbf {x}) = u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ nabla = \ nabla _ {x} + {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ nabla _ {y} \ ,, \ quad \ nabla \ cdot = \ nabla _ {x} \ cdot + {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ nabla _ {y} \ cdot}

A megoldást Hilbert-sorozatként fejlesztették ki , ahol minden kifejezés periodikus a második változóhoz képest ${\ mathbf {y}}$

{\ displaystyle u ^ {\ varepsilon} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = u_ {0} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ varepsilon u_ {1} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ varepsilon ^ {2} u_ {2} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + \ cdots}

Így megszerezzük

{\ displaystyle \ nabla u ^ {\ varepsilon} = \ varepsilon ^ {- 1} \ nabla _ {y} u_ {0} + \ sum _ {i = 0} ^ {\ infty} \ varepsilon ^ {i} \ balra (\ nabla _ {y} u_ {i + 1} + \ nabla _ {x} u_ {i} \ jobbra)}

Az azonos sorrendű tagok csoportosítása lehetővé teszi a 0 sorrendben a homogenizált egyenlet megszerzését

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} ^ {\ star} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) = f}

hol van egy állandó mátrix, amelyet egy helyi szintű probléma megoldásával kapunk. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Demonstráció

Miután a fenti sorok kifejezését az egyenletbe vittük, kielégítettük a fejlesztés minden egyes sorrendjének megfelelő kifejezések kivonásával ${\ displaystyle u ^ {\ varepsilon}}$

az $ε$ $-2$ rendre

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ balra ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ right) = 0}

Az egyenlet alkatrészekkel történő integrációval történő tesztelésével kapjuk meg

u_0

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {E}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {0} \ right) \ mathrm {d} \ mathbf {y} = 0}

Az integrand nem negatív a koercivitása révén . Ez azt jelenti, hogy ezért csak attól függ .

{\ displaystyle {\ mathsf {A}}}

{\ displaystyle \ nabla _ {y} u_ {0} = 0}

u_0

{\ displaystyle \ mathbf {x}}

az $ε -1$ rendezésére és az előző reláció figyelembevételével

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ balra ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} \ jobbra) + \ nabla _ {y} {\ mathsf {A}} \ cdot \ nabla _ {x} u_ {0} = 0}

Ha a nulla középértékű függvény a helyi probléma megoldása, akkor a probléma linearizálásával írhatunk

{\ displaystyle w_ {i} (\ mathbf {y})}

\ mathcal {E}

{\ displaystyle \ nabla _ {y} \ cdot \ bal ({\ mathsf {A}} \ bal (\ nabla _ {y} w_ {i} + e_ {i} \ jobb) \ jobb) = 0}

{\ displaystyle u_ {1} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = {\ overline {u}} _ {1} (\ mathbf {x}) + \ sum _ {i = 1} ^ { d} {\ frac {\ részleges u_ {0}} {\ részleges x_ {i}}} (\ mathbf {x}) w_ {i} (\ mathbf {y})}

hol van egy tetszőleges integrációs függvény, amelyet nullának választunk.

{\ displaystyle {\ overline {u}} _ {1} (\ mathbf {x})}

az $ε$ rendre $0$

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) - \ nabla _ {y} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {x} u_ {1} \ jobbra) - \ nabla _ {x} \ cdot \ balra ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} \ jobbra) - \ nabla _ {y} \ cdot \ balra ({\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {2} \ jobbra) = f}

Átlagolással következtetünk

\ mathcal {E}

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left (\ left (\ int _ {\ mathcal {E}} {\ mathsf {A}} \ right) \ nabla _ {x} u_ {0} \ right ) - \ nabla _ {x} \ cdot \ int _ {\ mathcal {E}} {\ mathsf {A}} \ nabla _ {y} u_ {1} = f}

u 1

egyenlet elhalasztásával megkapjuk a homogenizált diffúziós egyenletet

{\ displaystyle - \ nabla _ {x} \ cdot \ left ({\ mathsf {A}} ^ {\ star} \ nabla _ {x} u_ {0} \ right) = f}

val vel

{\ displaystyle {\ mathsf {A}} _ {ij} ^ {\ star} = \ int _ {\ mathcal {E}} \ balra ({\ mathsf {A}} _ {ij} (\ mathbf {y} ) + \ sum _ {k = 1} ^ {d} {\ mathsf {A}} _ {ik} (\ mathbf {y}) {\ frac {\ részleges w_ {j} (\ mathbf {y})} {\ részleges y_ {k}}} \ jobbra) {\ rm {d}} \ mathbf {y}}

Egydimenziós esetben a homogenizált mátrix kifejezett kifejezése is elérhető: a mátrix harmonikus átlagáról szól : ${\ displaystyle {\ mathsf {A}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star} = \ left (\ left \ langle {\ mathsf {A}} ^ {- 1} \ right \ rangle \ right) ^ {- 1}}$

Demonstráció

A fenti demonstráció megismétlésével megfigyelhetjük, hogy hol van a korrektor által kielégített egyenlet ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star} = \ left \ langle {\ mathsf {A}} \ left (1 + w '\ right) \ right \ rangle}$

${\ displaystyle \ left ({\ mathsf {A}} \ left (1 + w '\ right) \ right)' = 0}$

A szokásos differenciálegyenlet integrálásával természetesen azt találjuk

${\ displaystyle \ left (1 + w '\ right) = {\ frac {C} {\ mathsf {A}}}}$

hol van az integráció állandója. Ahhoz, hogy a funkció periodikus legyen, az egyetlen lehetséges választás a harmonikus középérték $VS$ $w$ $VS$

${\ displaystyle C = \ left (\ left \ langle {\ mathsf {A}} ^ {- 1} \ right \ rangle \ right) ^ {- 1}}$

azáltal, hogy ezt az identitást beillesztjük a kifejezésbe , megtaláljuk a kívánt eredményt. ${\ displaystyle {\ mathsf {A}} ^ {\ star}}$

Referencia

(in) A. Bensoussan , JL Lions és G. Papanicolaou , Aszimptotikus elemzés a periódusos szerkezetekhez , Amszterdam, Észak-Holland ,1978, 699 p. ( ISBN 978-0-08-087526-2 , online olvasás )
(a) Luc Tartar , az általános elmélet a Homogenizálás , Springer ,2009, 210 p. ( ISBN 978-90-481-5142-4 )
(in) S. Nemat-Nasser és Mr. Hori mikromechanika: A heterogén anyagok általános tulajdonságai , Észak-Hollandia ,1999( ISBN 0-444-50084-7 )
(a) Allaire, optimális tervezése struktúrák , Springer,2002, P. 176-190
(in) SM Kozlov, " Véletlenszerű operátorok homogenizálása " , Sbornik Mathematics , vol. 37, n o 21980, P. 167-180
(en) GC Papanicolaou és SR Varadhan , " Határérték-problémák a gyorsan oszcilláló együtthatókkal " , Seria Colloquium Mathematical Society Bolyai János , vol. 27,tizenkilenc nyolcvan egy, P. 835-873

Lásd is