Ergódikus folyamat

Az ergodikus folyamat egy sztochasztikus folyamat , amelyhez a statisztikák közelíthetők egyetlen elég hosszú megvalósítás tanulmányozásával .

Első rendű ergodicitás

Ergodicitás az átlagos (elsőrendű ergodicitást) - Egy véletlenszerű mezőben $Z$ a $ℝ d$ van ergodikus abban az értelemben, az átlag , ha annak térbeli átlagos egy tartományban $D$ konvergál felé elvárás, amikor a domain növekszik: ${\ frac {1} {\ balra | D \ jobbra |}} \ int _ {D} Z \ balra (x \ jobbra) \ mathrm {d} x {\ xrightarrow [{\ text {root mean square}}] {D \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {d}}} \ mathrm {E} \ bal [Z \ jobb]$ ahol $| D |$ a Lebesgue a $D$ Más szavakkal, egy sztochasztikus $Z$ folyamathoz , bármely $z$ megvalósításhoz , ameddig csak akarjuk, és bármely $t 0$ helyhez : $\ lim _ {T \ to \ infty} \ mathrm {E} \ left [\ left ({\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ , z \ bal (t \ jobb) \ mathrm {d} t- \ mathrm {E} \ bal [Z \ jobb] \ jobb) ^ {2} \ jobb] = 0$

Az ergodikus tétel azt állítja, hogy feltételesen szinte az összes $z$ megvalósításhoz konvergál az $M$ $z$ határértékig , de nem garantálja az $M$ $z$ egyenlőségét az $E ($ $Z$ $)$ elvárásnál . ${\ frac {1} {\ balra | D \ jobbra |}} \ int _ {D} z \ balra (x \ jobbra) \ mathrm {d} x$

Kapcsolat az állékonysággal

A jel lehet:

álló, de nem ergodikus: például a $Z ( x ; ω ) = A ( ω )$ állandó az egyes megvalósításokhoz.
ergodikus, de nem álló .

Slutsky-tétel - Ha egy véletlen mezőt $Z$ jelentése stacionárius rend 2 egy kovariancia függvény $C$ , és ha ${\ frac {1} {\ balra | D \ jobbra |}} \ int _ {D} C \ balra (h \ jobbra) \ mathrm {d} h {\ xrightarrow {D \ rightarrow \ mathbb {R} ^ { d}}} 0$ akkor $Z$ átlagosan ergodikus.

Kapcsolat egy Gauss-folyamattal

Egy időbeli vagy térbeli folyamat ergodicitása

Az ergodicitás biztosítja, hogy az időbeli átlagok megegyezzenek a statisztikai átlagokkal, ami lehetővé teszi a statisztika teljes megismerését egyetlen megvalósításból. Gyakorlatilag ez utóbbi általában korlátozott időtartamú felvételre redukálódik, és csak az átlagok becslését lehet tudni . A gyakorlatban ez a tulajdonság gyakran operatív abban az értelemben, hogy a krónika hosszú időn át tartó vizsgálata lehetővé teheti a stataritás és az ergodicitás eltérésének detektálását.

Ezzel szemben a térbeli jelenség a gyakorlatban a korlátozott kiterjesztés egyedülálló jelensége. Ebben az esetben az ergodicitás hipotézise alig tesztelhető.

Mikroergodicitás

Legyen a $Z$ véletlen függvény térbeli folyamata egy korlátozott $S$ tartomány felett $.$ Nevezhetjük mikro-ergodikus bármely paraméter meghatározható egy adott közelítés, ha sem tudja egyik kiviteli alakban $Z$ a $Z$ a $S$ . Általános esetben az átlag és a variancia nem mikro-ergodikus, másrészt a variogram viselkedése az origónál azzal a feltétellel áll fenn, hogy a variogram úgy viselkedik, mint $∣ h ∣ λ,$ ha $λ <2$ .