Variogram
A variogram egy matematikai függvény, amelyet a geostatisztikában használnak , különösen a krigeléshez . Beszélünk egy szemivariogramról is , definíciójának ½ tényezővel.
A variogram elemzés , variográfia vagy strukturális elemzés egy véletlen változó variogramjának megbecsülését és tanulmányozását jelenti.
Variogram egy véletlenszerű függvény
Tekintsünk egy véletlenszerű változó, Z a tér változó X , és feltételezik, hogy ez stacionárius , azaz, az átlag és szórás a Z ( X ) független x . Tettük a méretet:
γ(x,y)=12Vnál nélr[Z(x)-Z(y)]=12E[|Z(x)-Z(y)|2]{\ displaystyle \ gamma (x, y) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x \ right) -Z \ left (y \ right) \ right] = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} \ balra [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ jobbra]}
Mivel Z álló helyzetben van, a jobb oldal csak az x és y pontok távolságától függ . A h távolságra eső variogram ekkor a Z felismerései közötti különbségek négyzetének fele középértéke a h által elosztott pontokon .
γ(h)=12E|y-x|=h[|Z(x)-Z(y)|2]{\ displaystyle \ gamma (h) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {E} _ {| yx | = h} \ balra [| Z (x) -Z (y) | ^ {2} \ jobb]}
Korlátozott variogram
Tétel - Ha Z a C kovariancia stacionárius véletlenszerű függvénye , akkor variogramja határolt és fel van írva:
γ(h)=VS(0)-VS(h){\ displaystyle \ gamma \ bal (h \ jobb) = C \ bal (0 \ jobb) -C \ bal (h \ jobb)}
Ezzel ellentétben hamis: ha Z belső és korlátozott variogrammal rendelkezik, akkor Z az L 2 stacionárius véletlenfüggvényének és egy valós véletlenszerű változónak az összege .
A variogram érdeke
A variogram minden olyan véletlenszerű függvényre meg van határozva, amely csak a h interdisztenciától függ , míg a kovariancia függvény csak a 2. sorrendű stacionárius véletlenszerű függvény esetén van meghatározva . Ezenkívül a variogram becslés nem torzítja az átlagot, ellentétben a kovarianciával.
Lépések és hatókör
Ha a Z kovarianciája a végtelenségig 0 felé fordul, akkor a variogramnak fennsíkja van γ (∞) = Var [ Z ] . Hatótávolságnak nevezzük azt a távolságot, ahonnan a variogram eléri, illetve annak fennsíkját; a gyakorlati tartomány (néha skálafaktor ) az a távolság, amelytől a variogram 5% -os intervallumon belül marad a fennsíkja körül. A szabvány a hatókör és a gyakorlati hatókör aránya.
Kísérleti variogram
A kísérleti variogram vagy tapasztalati variogramhoz egy becslés az elméleti variogram az adatokból.
Legyen olyan ponthalmaz, ahol ismertek a z regionalizált változó értékei . Ahhoz, hogy kiaknázható, az összeg kell végezni egy bizonyos toleranciával, vagyis, hogy az egyik fog végezni az összeg a interdistant párok h ± SH , ahol gyakran az egyik meghatároz egy lépést d számára h = n × d , n ∈ ℕ és a tolerancia δh = ½ d . Ezután megbecsülhetjük a variogramot a következő képlettel:
γ^(h)=12nem(h)∑h-δh<|x-y|<h+δh(z(x)-z(y))2{\ displaystyle {\ hat {\ gamma}} \ bal (h \ jobb) = {\ frac {1} {2n \ bal (h \ jobb)}} \ sum _ {h- \ delta h <| xy | < h + \ delta h} \ bal (z \ bal (x \ jobb) -z \ bal (y \ jobb) \ jobb) ^ {2}}ahol n ( h ) azon pontpárok száma, amelyek interdistenciája h - δh és h + δh között van .
Általánosabb esetben h lehet vektor, és az összeget az összes x , y pontra úgy kell elvégezni , hogy y = x + h . Ez lehetővé teszi az anizotrópiák kezelését .
Gauss-folyamat empirikus variogramja
Ha X egy Gauss folyamat , meg tudjuk becsülni a törvény a tapasztalati variogramhoz.
ha x∼NEMnem(0,Σ)így γ^(h)∼∑én=1nem(h)λén(h)χén12 néhány χ2 iid 1 dof-nálvan E[γ^(h)]=Nyom(NÁL NÉL(h)Σ), Vnál nélr[γ^(h)]=2Nyom(NÁL NÉL(h)Σ)2vagy NÁL NÉLxén,xj=-1nem(h) ha xén≠xj, NÁL NÉLxén,xén=-nem(h)-1nem(h){\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ text {si}} X \ sim {\ mathcal {N}} _ {n} (0, \ Sigma) \\ & {\ text {then}} {\ hat {\ gamma}} \ bal (h \ jobb) \ sim \ sum _ {i = 1} ^ {\ operátornév {n} \ bal (h \ jobb)} \ lambda _ {i} \ bal (h \ jobb) \ chi _ {i1} ^ {2} {\ text {pour des}} \ chi ^ {2} {\ text {iid to 1 dof}} \\ & {\ text {vagy}} \ mathbf {E} \ balra [{\ hat {\ gamma}} \ balra (h \ jobbra) \ jobbra = = operátornév {Trace} \ balra (A \ balra (h \ jobbra) \ Sigma \ jobbra) {\ text {,}} \ mathbf {Var} \ left [{\ hat {\ gamma}} \ left (h \ right) \ right] = 2 \ operatorname {Trace} \ left (A \ left (h \ right) \ Sigma \ right) ^ { 2} \\ & {\ text {where}} A_ {x_ {i}, x_ {j}} = - {\ frac {1} {\ operátornév {n} \ bal (h \ jobb)}} {\ text {si}} x_ {i} \ neq x_ {j} {\ text {,}} A_ {x_ {i}, x_ {i}} = - {\ frac {\ kezelőnév {n} \ bal (h \ jobb ) -1} {\ operátornév {n} \ bal (h \ jobb)}} \ vég {igazítva}}}
Modellezés (beállítás)
A becsült variogram nem prediktív, és leggyakrabban nem tartja be a krigelési korlátokat . Ezért a geostatisztikai módszerek modellezik a variogramot, amelyet egy bizonyos korlátoknak kitett folyamatos függvény ( negatív, feltételesen definiált függvény ) becsül meg . Ezt a lépést nevezzük a variogram modellezésének vagy illesztésének . A modellezés a krigelés elengedhetetlen része.
Fészkelő modell
A modell egy folyamatos függvény, amely legfeljebb az elméleti variogram általános megjelenését reprodukálja. Nem minden funkció lehetséges: engedélyezniük kell az engedélyezett lineáris kombinációt . Az ∑ i λ i Z i lineáris kombináció engedélyezettnek mondható, ha annak elvárása és szórása mindig meg van határozva (a kérdéses modellben). Általában beágyazott variogram modellt használunk γ ( h ) = ∑ i γ i ( h ) formában . A beágyazott modell-megközelítés elvezetheti a vizsgált jelenséget független véletlenszerű függvények összegeként való tekintetbe, amelyet külön vizsgálhatunk a krigeante-elemzés keretében ; ezeknek az összetevőknek azonban általában nincs saját fizikai jelentőségük.
Az összetevőket egy C szint , esetleg egy a tartomány és egy alakparaméter határozza meg. A leggyakrabban használt γ i komponensek a következők:
A variogramok alkotóelemei
Viselkedés
|
Vezetéknév
|
Standard δ
|
A γ ( h ) komponens képlete
|
---|
C- csapágy alkatrészek , fesztávolság nélkül
|
tiszta rög (gyenge fehér zajnak felel meg)
|
-
|
γ(h)={VS,ha h>00,ha h=0{\ displaystyle \ gamma (h) = {\ kezdődik {esetek} C, & {\ text {si}} h> 0 \\ 0, és {\ text {si}} h = 0 \ end {esetek}}}
|
klasszikus komponensek C- szinten és hatókörben a
|
Gaussian
|
1,731
|
γ(h)=VS(1-e-3(hnál nél)2){\ displaystyle \ gamma (h) = C \ bal (1-e ^ {- 3 \ bal ({\ frac {h} {a}} \ jobb) ^ {2}} \ jobb)}
|
---|
kocka alakú
|
1
|
γ(h)=VS(7(hnál nél)2-354(hnál nél)3+72(hnál nél)5.-34(hnál nél)7){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (7 \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} - {\ frac {35} {4}} \ balra ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {3} + {\ frac {7} {2}} \ balra ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {5} - {\ frac {3} {4}} \ balra ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {7} \ jobbra)}
|
---|
exponenciális
|
≃ 2.996
|
γ(h)=VS(1-e-hnál nél){\ displaystyle \ gamma (h) = C \ bal (1-e ^ {- {\ frac {h} {a}}} \ jobb)}
|
---|
gömb alakú legfeljebb 3 |
1
|
γ(h)={VS(32hnál nél-12(hnál nél)3),ha 0⩽h⩽nál nélVS,ha h⩾nál nél{\ displaystyle \ gamma (h) = {\ begin {eset} C \ balra ({\ frac {3} {2}} {\ frac {h} {a}} - {\ frac {1} {2}} \ balra ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {3} \ jobbra), és {\ text {si}} 0 \ leqslant h \ leqslant a \\ C-ra, és {\ text {si} } h \ geqslant a \ end {esetek}}}
|
bíboros sinus |
.3 20.371
|
γ(h)=VS(1-sénnem(hnál nél)hnál nél){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {sin \ left ({\ frac {h} {a}} \ right)} {\ frac {h} {a} }} \ jobb)}
|
---|
klasszikus nem álló alkatrészek
|
lineáris
|
1
|
γ(h)=VShnál nél{\ displaystyle \ gamma (h) = C {\ frac {h} {a}}}
|
---|
erő |
1
|
γ(h)=VS(hnál nél)b vagy 0<b≤2{\ displaystyle \ gamma (h) = C \ bal ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {b} \ {\ text {where}} \ 0 <b \ leq 2}
|
---|
ritkábban használt alkatrészeket
|
stabil vagy általánosított exponenciális
|
α √ 3
|
γ(h)=VS(1-e-(hnál nél)α){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-e ^ {- \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} \ right)}
|
gamma
|
α √ 20 -1
|
γ(h)=VS(1-1(1+hnál nél)α){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {1} {\ left (1 + {\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} } \ jobb)}, a > 0
|
---|
J de Bessel
|
1
|
γ(h)=VS(1-2αΓ(α+1)Jα(hnál nél)(hnál nél)α){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1-2 ^ {\ alpha} \ Gamma \ left (\ alpha +1 \ right) {\ frac {J _ {\ alpha} \ left ( {\ frac {h} {a}} \ jobbra)} {\ balra ({\ frac {h} {a}} \ jobbra) ^ {\ alpha}}} \ jobbra)}, α > d ½ 2 -1
|
---|
K Bessel vagy Matern , ahol K α a módosított Bessel-függvény a második fajta paraméter α
|
1
|
γ(h)=VS(1-(hnál nél)α2α-1Γ(α)K-α(hnál nél)){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1 - {\ frac {\ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {\ alpha}} {2 ^ {\ alfa -1} \ Gamma \ bal (\ alfa \ jobb)}} K _ {- \ alfa} \ bal ({\ frac {h} {a}} \ jobb) \ jobb)}, a > 0
|
exponenciális koszinusz vagy lyukhatás modell |
|
|
---|
Általánosított Cauchy
|
√ ( α √ 20 -1)
|
γ(h)=VS(1-(1+(hnál nél)2)-α){\ displaystyle \ gamma \ left (h \ right) = C \ left (1- \ left (1+ \ left ({\ frac {h} {a}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {- \ alpha} \ right)}, a > 0
|
---|
Anizotrópia
A irányított variogram az irányt egy egységvektor u definiálja γ u ( h ) = ½Var [ Z ( X + hu ) - Z ( x )] . Anizotropiáról akkor beszélünk, ha két egységvektor létezik, így az irányváltozatok eltérnek. Két fő eset van:
-
geometriai anizotrópia : különböző fesztávok, az iránytól függően azonos szintűek; A variogram egy lineáris törzs Egy izotróp variogram y 0 ; γ ( h ) = γ 0 (‖ Ah ‖) .
-
Zónás vagy rétegzett anizotrópia : azonos fesztávolság, az iránytól függően különböző szintek; a variogram a támogató anizotropiákat mutató komponensek összege: bizonyos alapon csak bizonyos koordinátáktól függenek. Nem ajánlott olyan modelleket használni, ahol az anizotrópiák a koordináták szerint elválaszthatók (például γ ( h ) = γ 1 ( h 1 , h 2 ) + γ 2 ( h 3 ) )
Tulajdonságok
A variogram egyenletes függvény pozitív értékekkel.
Amikor a C kovariancia meghatározva van, a relációval kapcsolható össze a variogrammal:
γ(h)=VS(0)-VS(h){\ displaystyle \ gamma (h) = C (0) -C (h)}ahol C ( η ) a kovariancia η távolságban (csak η-től függ egy álló véletlenszerű függvény)
A variogram gyakran korlátozott növekvő függvény. Ebben az esetben a variogram szélének viselését a végtelenségig hívjuk, és elérjük azt a távolságot, amelyen a csapágy majdnem eléri (általában 95%). Amikor létezik, a C (0) variancia ez a fennsík. A gyakorlatban, különösen az élhatások miatt, a számított variogram maximumra nő, majd kissé csökken vagy összességében stabil.
Konvolúció : legyen Z egy Y véletlen függvény p konvolúciója : Z = Y ∗ p . Ekkor variogramjuk közötti kapcsolat kielégíti γ Y = γ Z ∗ (p ∗ p) értéket .
Az álló variogram tulajdonságai
- γ(0)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (0 \ right) = 0}
- γ(h)≥0 ∀h{\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ bal (h \ jobb) \ geq 0 ~ \ all h}
- szimmetria: γ(h)=γ(-h) ∀h{\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma \ left (h \ right) = \ gamma \ left (-h \ right) ~ \ all h}
-
- γ van a feltételes pozitív típusú : legyen λ intézkedésnek kielégíti ∫ λ (d t ) = 0 , akkor∫λ(dt)(-γ(t-u))λ(du)≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ int \ lambda \ left (\ mathrm {d} t \ right) \ left (- \ gamma \ left (tu \ right) \ right) \ lambda \ left (\ mathrm {d} u \ right ) \ geq 0}
- Minden t > 0, e - tγ egy kovariancia
- a γ ( h ) ∕ | arány h | 2 h- re van korlátozva
- sodródás hiányában, vagyis abban az esetben , ha belső , más szavakkal:limh→∞γ(h)|h|2=0{\ displaystyle \ lim \ limits _ {h \ to infty} {\ frac {\ gamma \ left (h \ right)} {\ left | h \ right | ^ {2}}} = 0}γ(h)=h→∞o(|h|2){\ displaystyle \ gamma (h) {\ aláhúzza a {h \ értéket \ infty} {=}} \ mathbf {o} \ left (\ left | h \ right | ^ {2} \ right)}
- ha a variogram a végtelenbe van korlátozva, akkor a véletlenszerű függvény a 2. sorrendben stacionárius ; akkor létezik egy stacionárius kovariancia C ( h ) oly módon, hogy γ ( h ) = C (0) - C ( h )
- A γ ( h ) variogram egyenlő bármelyik pont meghosszabbításának fél varianciájával { x } a { x + h } pontban
A variogram kezdetén mutatott viselkedés a véletlenszerű függvény szabályosságát tükrözi.
A variogram egyéb bemutatása
Meghatározhatjuk a variogramot γ függvényként is úgy, hogyha ∑énλén=0, így Vnál nélr[∑énλénZén]=∑én,j-λénγén,jλj{\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {si}} \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0 {\ text {, majd}} \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} \ right] = \ sum _ {i, j} - \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j}}
Ez a képlet adja meg a variogram definícióját additív állandóig.
Helyettesítés a variogram és a kovariancia között
A stacionárius hipotézisben definiált képletek átírhatók az intrinsic hipotézisben, feltéve, hogy azok magukban foglalják a CLA-t, a C kovariancia helyett a variogram ellentétével - γ
Nugget effektus
A képlet azonnal megadja γ (0) = 0 értéket . Azonban általában megfigyelhető, hogy a variogram kis távolságokon nem hajlik a 0 felé. A határ a variogram nulla lesz az úgynevezett aranyrög . Végtelenül közeli helyeken végzett két mérés közötti eltérést képviseli, ezért három hatásból származhat:
- a mért paraméter természetes változékonysága: például két különböző értéket vehet fel, ha két különböző időpontban mérik;
- a mérőműszer változékonysága: a rög ezért részben a mérőműszer statisztikai hibáját méri;
- valódi rög hatása : a mért paraméter hirtelen változása; a történelmi eset az átmenet nélküli átmenet egy aranyrögről egy szinte aranyat nem tartalmazó talajra.
Ha egy mező variogramja az origó kivételével mindenhol folyamatos, akkor ez a mező az egyes variogramok két korrelálatlan mezőjének összegére bomlik, tiszta rög és mindenhol folytonos függvény.
Többváltozós eset
A többváltozós geostatisztikában meghatározzuk a Z = ( Z ( x , 1); Z ( x , 2);…; Z ( x , n )) belső, többváltozós véletlen függvény keresztezett γ variogramját az i és j változókon a h lépésben :
γén,j(h)=12VSov[Z(x+h,én)-Z(x,én),Z(x+h,j)-Z(x,j)] ∀x{\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ left (h \ right) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ bal (x, i \ jobb), Z \ bal (x + h, j \ jobb) -Z \ bal (x, j \ jobb) \ jobb] \ \ összes x}
A γ̃ általánosítását x és y pontokra tesszük az a és b távolságra :
γ~én,j(nál nél,b)=12VSov[Z(x+nál nél,én)-Z(x,én),Z(y+b,j)-Z(y,j)] ∀x,y{\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} _ {i, j} \ bal (a, b \ jobb) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Cov} \ bal [Z \ bal (x + a, i \ jobb) -Z \ bal (x, i \ jobb), Z \ bal (y + b, j \ jobb) -Z \ bal (y, j \ jobb) \ jobb] \ \ összes x, y}
Általánosságban a γ nem elegendő a többváltozós probléma kezeléséhez. Ez pár , ezért ne vegye figyelembe a változók közötti különbségeket. Pontosan:
γén,j(h)=Kén,j(0)-Kén,j(h)+Kén,j(-h)2{\ displaystyle \ gamma _ {i, j} \ bal (h \ jobb) = K_ {i, j} \ bal (0 \ jobb) - {\ frac {K_ {i, j} \ bal (h \ jobb) + K_ {i, j} \ bal (-h \ jobb)} {2}}}
Ez vezetett az keresztezett pszeudovariogram bevezetéséhez , amelynek hátránya, hogy a különböző komponensek (tehát potenciálisan a különböző egységek szerint) összegzik:
πén,j(h)=12Vnál nélr[Z(x+h,én)-Z(x,j)]{\ displaystyle \ pi _ {i, j} \ bal (h \ jobb) = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {Var} \ left [Z \ left (x + h, i \ right) - Z \ bal (x, j \ jobb) \ jobb]}
Kapcsolódó cikkek
Bibliográfia
-
Pierre Chauvet , Lineáris geostatisztikai ellenőrzőlista , Párizs, Les Presses de l'École des Mines,1999. augusztus( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 p. , 16 × 24 cm-es ( ISBN 2-911762-16-9 , nyilatkozat BNF n o FRBNF37051458 )
Hivatkozások
-
nevezték el, mert Poisson pontfolyamat pontszámát alkalmazza egy gömbben
-
legfeljebb 3 dimenzióban engedélyezett; a fennsíkjára először a π a-nál jut
-
ez az egyetlen autoszimiláris modell, vagyis a skálaváltozással invariáns: γ ( k h ) = k b γ ( h ) ; a kapcsolódó térbeli jelenség skála nélküli