Kriging
A kriging a geostatisztikában található , a becslés módszere lineárisan garantálja a minimális szórást . Kriging egy regionalizált változó térbeli interpolációját hajtja végre egy véletlen változó matematikai várakozásának kiszámításával , a kísérleti variogram értelmezésével és modellezésével . Ez a legjobb elfogulatlan lineáris becslő; objektív módszeren alapszik. Nem csak az adatok és a becslési pont közötti távolságot veszi figyelembe, hanem a kettő-kettő közötti távolságot is.
A kriging kifejezés Danie G. Krige dél-afrikai bányamérnök vezetéknevéből származik . Georges Matheron (1930–2000) a BRGM-ben, majd az École des mines de Paris- ban bányakutatásra formalizálta . Azóta alkalmazási területe széles körben kibővült, ideértve a meteorológiát , a környezettudományokat és az elektromágnesességet is .
Az alapul szolgáló feltételezések szerint a kriging több változatban (egyszerű, hétköznapi ...) létezik, amelyek mindegyike ugyanazokat az elveket alkalmazza.
Használt jelölések
-
Q egy ponton becsülhető (bármilyen módon meghatározott) mennyiség;
-
Q * a kriging becslőt Q ezen a ponton;
-
z a vizsgált regionalizált változó;
-
Z a z-hez társított véletlenszerű függvény;
-
K , m kovarianciája és elvárása;
-
n a mérési pontok száma;
-
x 0 a becslési pont;
-
x i , i = 1… n a mérési pontok;
-
* a kriging becslés operátor; így Z * a Z kriging becslője;
-
Z * 0 afigyelembe vett krigelés által x 0-ra becsült érték;
-
Z i , i = 1… n az x i mérési pontokon ismert adatok;
-
λ i a krigelés által érintett súly x i értékben;
-
μ a krigelés során használt Lagrange-paraméter;
-
γ i , j a γ variogram értékeegy távolságra | x i - x j | ;
-
K i , j a K kovariancia értékeegy távolságra | x i - x j | ;
-
f l , l = 1… az alapfunkciók univerzális krigelés esetén, f 0 = 1 ;
-
f l i értéke f l pontban x i ;
A krigelés elve
A szokásos krigelést több művelet követi:
- adatgyűjtés és előfeldolgozás: ez magában foglalja a z regionalizált változó megtisztítását a kiugró értékektől, rosszul kódolt értékektől stb. Hasznos lehet az adatokat (bijekcióval) olyan paraméterré alakítani, amelyet a helyére becsülünk, mielőtt a kölcsönös transzformációt elvégezzük.
- a várható becslés döntése: általában egy becslést keresnek a rács minden pontján, néha minden elemi térfogatnál .
- modellválasztás: a z- hez társított Z véletlen függvény modelljét javasoljuk, az állékonyságára, az átlagértékére és az esetleges kiegészítő paraméterekre vonatkozó feltételezések szerint.
- variogram kalibrálása: a kísérleti variogram figyelembe vételével egy γ variogram modellt választunk, figyelembe véve a modell megválasztásából adódó feltételeket.
- megfelelő kriging: a krigelés típusa a modell választásától és a várható eredmény típusától függ. A környék választása szerint változik.
- utófeldolgozás: lehetséges kölcsönös transzformációt alkalmaznak; az eredményt kommentálják.
A számítás egy σ K 2 kriging varianciát is biztosít , amely a variogramtól és az adatpontok helyzetétől függ, de nem az értékeiktől.
Kriging korlátai
Az a tény, hogy a kriging a minimális variancia lineáris becslője, négy egymást követő korlátot eredményez, amelyek lehetővé teszik a krigelési rendszer megírását a módszer összes változatához. Az alábbiakban a négy lépést az épület egy becslő Q * becslésére mennyiségben Q .
Linearitás
A realizmus érdekében feltételezzük, hogy a megbecsülendő mennyiség a vizsgált véletlen függvény lineáris függvénye (általános esetben :) ; a nagyobb eset (cut-off és szelekciós problémák stb.) nemlineáris geostatisztika alá tartozik .
Q=∫Z(x)o(dx){\ displaystyle \ scriptstyle Q = \ int Z \ bal (x \ jobb) p \ bal (\ mathrm {d} x \ jobb)}
A becslőt az adatok lineáris kombinációjaként állítják fel, egyelőre ismeretlen súlyúak: Q∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Q ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
Engedélyezés
A becslési hibának megengedett lineáris kombinációnak kell lennie , vagyis meg kell határozni annak várható értékét és szórását.
Az engedélyezési feltétel a feltételezett mögöttes modell szerint másképp van megírva (mindig a korlátozott támogatást vesszük figyelembe).
- A 2. sorrend álló helyzetű modelljében minden lineáris kombináció megengedett, és nincs korlátozás.
- Másrészről a belső modellben akkor és csak akkor engedélyezett lineáris kombináció, ha össztömege nulla:∑énλén=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0}
Egyetemesség
A becslőnek nem kell statisztikai torzítást mutatnia a becslendő mennyiséghez képest. Ezt a kényszert nevezhetjük nem elfogultságnak vagy nulla elvárásnak. Le van írva:E[Q∗-Q]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ balra [Q ^ {*} - Q \ jobbra = 0}
Optimalitás
Arra kérjük a becslési hibát, hogy a korábbi korlátozások mellett minimális szórású legyen. Különleges esetek kivételével erre a becslési problémára egyedülálló megoldás létezik .
{λén}én=1 ..nem{\ displaystyle \ scriptstyle \ left \ {\ lambda _ {i} \ right \} _ {i = 1..n}}
Ennek a négy megszorításnak az eredménye általában Cramer rendszer , amely egy és csak egy megoldást ismer be.
Ezt a megközelítést kiterjeszthetjük folyamatos esetben, ha nem a λ i súlyozásokat vesszük figyelembe, hanem a λ (d x ) mértékeket .
Egyszeri krigeages
Helyhez kötött az ismert átlagos krigeléshez (egyszerű krigelés)
Legyen Z a 2. sorrend stacionárius véletlenszerű függvénye . Feltételezzük, hogy várható az m és a mintavételi helyek kovarianciamátrixa ismert. Feltételezzük veszteségmentesen m = 0 . Egy ponton keressük a Z krigelését .
K=(Kén,j)1≤én,j≤nem{\ displaystyle K = (K_ {i, j}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}(x1,...,xnem){\ displaystyle (x_ {1}, \ pontok, x_ {n})}x0{\ displaystyle x_ {0}}
egyszerű kriging írása
- A linearitás alapján a probléma a becslési ponttól függően a λ i súlyok keresésévé válik ;Z0∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Az engedélyezés helyhez kötött esetben biztosított;
- Egyetemesség garantálja feltételezés :;E[Z0]=E[Zén]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ bal [Z_ {0} \ right] = E \ bal [Z_ {i} \ right] = 0}
- Az optimalitás feltételezi: ∀én,∑jλjKén,j=Kén,0{\ displaystyle \ scriptstyle \ for i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} = K_ {i, 0}}
Az egyszerű krigelési rendszer egy mátrixba van írva:
Kλ=K0{\ displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} _ {0}}
ahol K a kovarianciamátrix a mintavételi helyeken:
K=(K1,1⋯K1,nem⋮⋱⋮Knem,1⋯Knem,nem)=(VSov(Z(xén),Z(xj)))1≤én,j≤nem{\ displaystyle \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {j}))) _ {1 \ leq i, j \ leq n}}
λ a kriging súlyok mátrixa:
λ=(λ1⋮λnem){\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \\\ vdots \\\ lambda _ {n} \ end {pmatrix}}}
és a krig pont kovariancia mátrix mintavételi helyekkel
K0{\ displaystyle K_ {0}}K0=(K1,0⋮Knem,0)=(VSov(Z(xén),Z(x0)))1≤én≤nem{\ displaystyle \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \\\ vdots \\ K_ {n, 0} \ end {pmatrix}} = (Cov (Z (x_ {i}), Z (x_ {0}))) _ {1 \ leq i \ leq n}}
A kovariancia-mátrix szimmetrikus, pozitív határozott, megfordítható és a kriging-rendszer megfordításával oldódik meg: λ=K-1K0{\ displaystyle \ mathbf {\ lambda} = \ mathbf {K} ^ {- 1} \ mathbf {K} _ {0}}
Az interpoláció eredménye a következő :
x0{\ displaystyle x_ {0}}
Z0∗=∑énλénZén{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
Általános esetben a Z várakozása m nem mindig nulla. Ezután kiszámoljuk a változó krigelésének súlyát abban a pontban , amelynek várakozása nulla. A Z egyszerű krigelését a következőképpen kapjuk meg :
λén{\ displaystyle \ lambda _ {i}}Z-m{\ displaystyle Zm}x0{\ displaystyle x_ {0}}x0{\ displaystyle x_ {0}}Z0∗=∑énλénZén+(1-∑énλén)m{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} + \ bal (1- \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ right ) m}
Az egyszerű krigelési becslés szórása :
σS2=K0,0-∑énλénK0,én{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i}}
Az egyszerű kriging nem írható közvetlenül variogramban, mivel a súlyok összege nem egyenlő 1-vel. Az egyszerű krigálás megköveteli a kovariancia meghatározását, vagyis azt, hogy a variogramnak fennsíkja van.
Ha a véletlenszerű funkció Z jelentése Gauss , a kriging eredmény Z 0 * a feltételes várható, és a becslés és a hiba Gauss:
Z0∗=E[Z0|Z1,...,Znem]{\ displaystyle {Z_ {0}} ^ {*} = \ mathrm {E} \ balra [Z_ {0} | Z_ {1}, \ dotsc, Z_ {n} \ jobbra}}
Z0-Z0∗∼NEM(0,σS2){\ displaystyle Z_ {0} - {Z_ {0}} ^ {*} \ sim {\ mathcal {N}} \ balra (0, {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} \ jobbra )}
Stacionárius kriging ismeretlen átlagig (közönséges kriging, 1)
Feltételezzük, hogy az m várakozás ismeretlen (de definiált).
rendes kriging írás
- A linearitás ad ;Z0∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Az engedélyezés helyhez kötött esetben biztosított;
- Az egyetemesség nem teszi lehetővé m = 0 feltételezését , és megadja ;∑énλén=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Az optimalitást a Lagrange-szorzó módszerrel lehet elérni . Legyen μ ez a paraméter, a következő krigelési rendszert kapjuk
{∑jλjKén,j+ μ=Kén,0 ∀én∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + ~ \ mu & = K_ {i, 0} ~ \ összes i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {igazított}} \ end {esetek}}}
A szokásos kriging rendszer egy mátrixba van írva:
{Kλ=K0Z0∗=λTZ, nál nélvevs. K=(K1,1⋯K1,nem1⋮⋱⋮⋮Knem,1⋯Knem,nem11⋯10), λ=(λ1⋮λnemμ), K0=(K1,0⋮Knem,01), Z=(Z1⋮Znem0){\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} \ mathbf {K} \ mathbf {\ lambda} & = {\ mathbf {K}} _ {0} \\ {Z} _ {0} ^ { *} & = \ mathbf {\ lambda} ^ {\ operátornév {T}} \, \ mathbf {Z} \ end {igazítva}} \ end {esetek}} \ mathrm {, ~ ~ ~ \ mathbf {K} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,1} & \ cdots & K_ {1, n} & 1 \\\ vdots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\ K_ {n, 1} & \ cdots & K_ {n, n} és 1 \\ 1 & \ cdots & 1 & 0 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {\ lambda} = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1} \ \\ vdots \\\ lambda _ {n} \\\ mu \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {K} _ {0} = {\ begin {pmatrix} K_ {1,0} \ \\ vdots \\ K_ {n, 0} \\ 1 \ end {pmatrix}} \ mathrm {, ~} \ mathbf {Z} = {\ begin {pmatrix} Z_ {1} \\\ vdots \\ Z_ { n} \\ 0 \ end {pmatrix}}}
A becslés szórása a szokásos krigingben:
σO2=K0,0-∑énλénK0,én-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ mu}
Ugyanez a megközelítés használható az ismeretlen várakozás becslésére. Legyen becslője M * .
a remény krigelésének megírása
- A linearitás megadja M∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Az engedélyezés biztosított
- Az egyetemesség tehát előírjam(∑énλén-1)=0 ∀m{\ displaystyle \ scriptstyle m \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} -1 \ right) = 0 ~ \ allm}∑énλén=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Az optimalitást az alábbi rendszerben egy Lagrange-szorzóval (jelzett μ M ) oldják meg .
{∑jλjKén,j+μM=0 ∀én∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {\ mathrm {M}} & = 0 & ~ \ forall i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} & = 1 \ end {igazítva}} \ end {esetek}}}
Az átlag értékelésének szórása tehát:
σM2=-μM{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {M}}} ^ {2} = - \ mu _ {\ mathrm {M}}}
Szigorúan belső kriging (közönséges kriging, 2)
Legyen Z szigorúan belső , sodródás nélkül.
rendes kriging írás
- A linearitás ad ;Z0∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- A felhatalmazás a belső modellben megadja ∑énλén=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Az egyetemességet tiszteletben tartják, mert a belső modellben engedélyezett lineáris kombinációnak sodródás nélkül nulla várható
- Az optimalitás megköveteli Vnál nélr[∑énλénZén-Z0]=-∑én,jλénγén,jλj+2∑énλénγén,j{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ right] = - \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j} \ lambda _ {j} +2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, j}}
Ez az eset megegyezik az előzővel, variogramban írva:
{-∑jλjγén,j+μ=-γén,0 ∀én∑jλj=1{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - \ gamma _ {i, 0} ~ \ összes i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 \ end {igazítva}} \ end {esetek}}}
A becslés szórása a közönséges krigingben továbbra is
σO2=-γ0,0-∑énλénγ0,én-μ{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = - \ gamma _ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {0, i} - \ mu}(általában γ 0,0 = 0 ).
Kapcsolat az egyszerű és a közönséges krigeages között
A szokásos pontos kriging két szakaszra bontható: a folyamat átlagának megbecsülése hétköznapi krigeléssel, majd egyszerű kriging, figyelembe véve ezt az átlagot. Pózol rendre λ m, i , μ m és σ O, m 2 a súlyokat, Lagrange szorzók és szórása közönséges krigelés becslésére az átlag, λ O, i és ji a súlyokat és Lagrange szorzó közönséges krigeléssel, λ S, i az egyszerű krigelési súlyokat, és S = (1 - ∑ i λ S, i ) az átlag súlya az egyszerű krigelés során:
λO,én=λS,én+Sλm,én{\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {O}, i} = \ lambda _ {\ mathrm {S}, i} + S \ lambda _ {\ mathrm {m}, i}}
μ=Sμm{\ displaystyle \ mu = S \ mu _ {\ mathrm {m}}}
σO2=σS2+S2σO,m2{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {O}}} ^ {2} = {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} + S ^ {2} {\ sigma _ {\ mathrm { O}, \ mathrm {m}}} ^ {2}}
Az egyszerű krigelés szórása kisebb, mint a hozzá tartozó rendes krigelésé. Ha az adatok sokak és jól strukturáltak, akkor a két krigea közel van. Ellenkező esetben az egyszerű krigelés nagy súlyt rendel az ismert globális átlaghoz, a közönséges kriging pedig ugyanazt a súlyt rendeli az átlag helyi becsléséhez, így ez utóbbi erőteljesebben állhatékonysági hibákhoz vezet. Általánosságban elmondható, hogy a szokásos kriginget kell előnyben részesíteni az egyszerű kriging helyett, kivéve a speciális eseteket (indikátorok krigelése, szimulációk).
Univerzális Kriging
A modell feltételezhető jelentése Z ( X ) = Y ( X ) + m ( X ) , amely tartalmaz egy sodródás m ( X ) determinisztikus és egy maradékot Y ( X ) stacionárius kívánt (igaz maradék), és a nulla átlag. A nehézséget az jelenti, hogy elkülönítsük a két m és y komponenst az regionalizált z változóban . Ez a kettősség magyarázó ellentétet jelenthet az alacsony és a magas frekvencia, a regionális tendencia és anomáliák között.
A sodródásról feltételezhetően egy ismert számú alapfüggvény, általában a koordináták monomálisa alapján bontható , ahol f 0 = 1 a függvényállandó egység. Az a l együtthatók nem ismertek. Az alábbi algoritmusok által kiszámított drift modell nem feltétlenül írja le a jelenség trendjét, hanem közelítést ad a működési skálához.
m(x)=∑lnál néllfl(x){\ displaystyle \ scriptstyle m (x) = \ sum _ {l} a_ {l} f_ {l} (x)}
A feltételezések a maradékot Y nevezzük mögöttes a Z .
Univerzális kriging a 2. sorrend álló álló modelljével
Ezt a modellt úgy lehet értelmezni, hogy helyreállító erővel rendelkezik az uszony körül. A kovarianciát kérik .
Knál nél,b=VSov[Z(nál nél),Z(b)]=VSov[Y(nál nél),Y(b)]{\ displaystyle \ scriptstyle K_ {a, b} = \ mathbf {Cov} \ balra [Z (a), Z (b) \ jobbra] = \ mathbf {Cov} \ balra [Y (a), Y (b) \ jobb]}
Jelölje f Li értéke f l pontban x i , az i = 0 ... n .
univerzális kriging írása a FASt-2-n
- A linearitás megadja Z0∗=∑énZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} Z_ {i}}
- Az engedélyezés biztosított
- Az egyetemesség szükséges , hogy már a nem ismert, ezértnál néll(∑énλénflén-fl0){\ displaystyle \ scriptstyle a_ {l} \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} \ right)}∑énλénflén-fl0=0,∀l{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ összes l}
- Az Optimality bevezeti a Lagrange-szorzókat μ l ; az optimalitási feltételek meg vannak írva:∑jλjKén,j+μlflén=Kén,0,∀én{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i}
Mátrix formában az egyetemes kriginget írják:
(Kén,jflénflén0)(λjμl)=(Kén,0fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} K_ {i, j} & f_ {li} \\ f_ {li} & {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ { j} \\ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} K_ {i, 0} \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
A becslés szórása:
σU2=K0,0-∑énλénKén,0-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, 0} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Szigorú belső mögöttes modell univerzális kriging
Feltételezzük, hogy Y szigorúan belső, sodródás nélkül (a sodródás beépül az m-be ).
szigorú belső véletlenszerű függvényre írva egyetemes kriginget
- Lineáris pózok Z0∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- Az engedély megköveteli ∑énλén=1{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 1}
- Az egyetemesség előírja ∑énλénflén-fl0=0,∀l≠0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {li} -f_ {l0} = 0, \ összes l \ neq 0}
- Az Optimality bevezeti a Lagrange-szorzót μ 0 az engedélyezési kényszerhez, és másokat μ l , l ≠ 0 az egyetemességi korlátokhoz.
A kriging rendszer a következő:
{-∑jλjγén,j+μ0+∑l≠0μlflén=-γén0,∀én∑jλj=1∑jλjflj=fl0,∀l≠0{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu _ {0} + \ sum _ { l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {li} & = - \ gamma _ {i0}, & \ összes i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = 1 & \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, & \ összes l \ neq 0 \ end {igazítva}} \ end {esetek}}}
Bármelyik mátrix:
(-γén,j1flén100flj00)(λjμ0μl)=(-γén,01fl0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, j} & {\ mathit {1}} & f_ {li} \\ {\ mathit {1}} és 0 & {\ mathit {0}} \\ f_ {lj} és {\ mathit {0}} és {\ mathit {0}} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {j} \\\ mu _ {0} \\ \ mu _ {l} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ gamma _ {i, 0} \\ 1 \\ f_ {l0} \ end {pmatrix}}}
A becslés szórása:
σU2=∑énλénγén,0-μ0-∑l≠0μlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {U}}} ^ {2} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ gamma _ {i, 0} - \ mu _ {0} - \ sum _ {l \ neq 0} \ mu _ {l} f_ {l0}}
Az eredmény megegyezik az előző esettel, azonban a fizikai helyzet nem ugyanaz: itt a jelenség be tudja ismerni a fennsík nélküli variogramot, vagyis az erő helyreállítása nélkül.
Sodródás értékelése
Az előző számítások determinisztikus, ismert és szabályos m sodródást feltételeztek .
Modellezésére szolgáló helyhez kérni egy lineáris becslő sodródás: . A λ i a rendszer megoldásai:
M∗(x)=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle M ^ {*} (x) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}{∑jλjKén,j+∑lμlflén=0, ∀én∑jλjflj=fl0, ∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} & + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ { li} & = 0, ~ \ összes i \\ & \ összeg _ {j} \ lambda _ {j} f_ {lj} && = f_ {l0}, ^ {~} \ összes l \ vég {igazítva}} \ {esetek}}} vége
A becslési variancia pedig:
σD2=-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {D}}} ^ {2} = - \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l0}}
A szigorú belső mögöttes modellben az engedélyezés és az egyetemesség korlátai nem egyeztethetők össze; a sodródás optimális becslése nem lehetséges.
Demonstráció
Ezért meg kell engedni a lineáris kombinációt .
∑énλénZén-m0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0}}∑énλén=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ lambda _ {i} = 0}
Az egyetemesség megadja , amelyből az egyszerűsítés után és f 0 i = 1 -vel , amely λ i feltétel lehetetlen.
E[∑énλénZén-m0]=E[∑énλénYén]+∑énλén∑lnál néllflén-∑lnál néllfl0=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathbf {E} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -m_ {0} \ right] = \ mathbf {E} \ left [\ sum _ { i} \ lambda _ {i} Y_ {i} \ jobb] + \ összeg _ {i} \ lambda _ {i} \ összeg _ {l} a_ {l} f_ {li} - \ összeg _ {l} a_ {l} f_ {l0} = 0}∑l≠0nál néll(λén-flén-fl0)-nál nél0=0,∀nál néll{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {l \ neq 0} a_ {l} \ left (\ lambda _ {i} -f_ {li} -f {l0} \ right) -a_ {0} = 0, \ összes a_ {l}}
A sodrási együtthatók értékelése
A maradványok variogramja
Belső Kriging (FAI- k )
Itt feltételezzük, hogy Z egy FAI- k , k adott érték.
kriging írása a FAI-
k-nak
- Lineáris pózok Z∗=∑énλénZén{\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
- K kérelem megrendelésének engedélyezése . A Dirac δ i (d t ) mértékének felhasználásával írhatunk:∀l∈[[0;k]],∑énflénfl0=0{\ displaystyle \ allall l \ in balra [\! [0; k \ right] \!], \ scriptstyle \ sum _ {i} f_ {l_ {i}} f_ {l_ {0}} = 0} Z∗(x)-Z(x)=Z~(∑énλénδén-δx){\ displaystyle \ scriptstyle Z ^ {*} \ left (x \ right) -Z \ left (x \ right) = {\ tilde {Z}} \ left (\ sum _ {i} \ lambda _ {i} \ delta _ {i} - \ delta _ {x} \ jobbra}}
- Az egyetemesség biztosított, mivel minden engedélyezett lineáris kombinációnak nulla elvárása van.
- Az optimális alkalmazási minimalizálása feltételesen: . Legyen az optimális feltételek .σ2=Vnál nélr[∑énλénZén-Z0]=∑én,jλénKénjλj-2∑énλénKén0+K00{\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma ^ {2} = \ mathrm {Var} \ left [\ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i} -Z_ {0} \ right] = \ sum _ {i , j} \ lambda _ {i} K_ {ij} \ lambda _ {j} -2 \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i0} + K_ {00}}∀én,∑jλjKénj+∑lμlflén=Kén0{\ displaystyle \ scriptstyle \ for i, \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {ij} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} = K_ {i0} }
A belső krigelési rendszer a következő:
{∑jλjKén,j+∑lμlflén=Kén,0∀én∑jλjflj=fl0∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ { i}} & = K_ {i, 0} & \ összes i \\\ sum _ {j} \ lambda _ {j} f_ {l_ {j}} & = f_ {l_ {0}} & \ összes l \ vége {igazítva}} \ vége {esetek}}}
A belső kriging becslési varianciája:
σén2=K0,0-∑énλénK0,én-∑lμlfl0{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {I}}} ^ {2} = K_ {0,0} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {0, i} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l_ {0}}}
A következő tulajdonságokkal rendelkezünk:
- a kriging figurák egymásra helyezése: legyen egy lineáris operátor Φ , majd Φ * (Z) = Φ ( Z * ) . Mi lehet írni aΦ∗(Z)=∑jλΦjZj{\ displaystyle \ scriptstyle \ Phi ^ {*} \ left (Z \ right) = \ sum _ {j} \ lambda _ {\ Phi j} Z_ {j}}λΦj=∫λj(x)Φ(dx){\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda _ {\ Phi j} = \ int \ lambda _ {j} \ bal (x \ jobb) \ Phi \ bal (\ operátornév {d} x \ jobb)}
- ortogonalitás: akkor ν legyen engedélyezett lineáris kombináció ( ), vagy Φ lineáris forma∑énvénflén=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ nu _ {i} f_ {l_ {i}} = 0}VSov[Φ(Z)-Φ∗(Z)∑énvénZén]=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Cov} \ left [\ Phi (Z) - \ Phi ^ {*} (Z) \ sum _ {i} \ nu _ {i} Z_ {i} \ right] = 0}
- simítás: a Z * szórása nincs meghatározva. Legyen Φ olyan lineáris forma, amely akkor a becslő varianciája kisebb, mint a lineáris formaé ( ); Ezenkívül nem stacionárius (nem állandó, fordítását Φ ).∫fl(t)Φ(dt)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ int f_ {l} (t) \ Phi (\ operátornév {d} t) = 0}Vnál nélr[Φ∗(Z)]≤Vnál nélr[Φ(Z)]{\ displaystyle \ scriptstyle \ mathrm {Var} [\ Phi ^ {*} (Z)] \ leq \ mathrm {Var} [\ Phi (Z)]}
A krigelés rendszeressége
Szabályossága feltételeit krigelés rendszer - A kriging rendszer (intrinsic kriging) szabályos IFF
- a K almátrix szigorúan feltételesen pozitív: és
∀λ∈Λk,∑én,jλénKén,jλj≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {\ lambda \ in \ Lambda _ {k}}, \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} \ geq 0}∑én,jλénKén,jλj=0 ⇒ λ=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i, j} \ lambda _ {i} K_ {i, j} \ lambda _ {j} = 0 \ Rightarrow \ \ lambda = 0}
- az alapfunkciók lineárisan függetlenek az adatoktól
∀én,∑l(vs.lflén)=0 ⇒ ∑lvs.l=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall {i}, \ sum _ {l} \ left (c_ {l} f_ {l_ {i}} \ right) = 0 \ \ Rightarrow \ \ sum _ {l} c_ {l} = 0}
Kriging kettőssége
Tegyük fel, hogy a belső kriging rendszer szabályos. A kettős rendszert a következők határozzák meg:
{∑énbénKj,én+∑lvs.lflj=zj ∀j∑énbénflén=0 ∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {i} b_ {i} K_ {j, i} + \ sum _ {l} c_ {l} f_ {l_ {j}} & = z_ {j} ~ \ forall j \\ & \ sum _ {i} b_ {i} f_ {l_ {i}} & = 0 ~ \ all l \ end {igazítva}} \ end {esetek}}}
A b i és c l szerinti felbontása nem valószínűségi megközelítést nyújt a krigeléshez, a következő egyenlőségen keresztül, ahol az együtthatók függetlenek az x 0 értékelés helyétől :
z0∗=∑énbénKén,0+vs.lfl0{\ displaystyle z_ {0} ^ {*} = \ sum _ {i} b_ {i} K_ {i, 0} + c_ {l} f_ {l_ {0}}}
A Kriging ezért jellemezhető z * interpolátorként :
- lineáris: ∃ bén,vs.l, ∀x, z∗(x)=bénKén,x+vs.lflx{\ displaystyle \ scriptstyle \ létezik \ b_ {i}, c_ {l}, \ \ forall x, \ z ^ {*} \ left (x \ right) = b_ {i} K_ {i, x} + c_ { l} f_ {l_ {x}}}
- pontos: z∗(xj)=zj{\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ left (x_ {j} \ right) = z_ {j}}
- definiálva definiált-kompatibilis: ha a z i adatok megegyeznek f s i-vel , akkorz∗(x)=fs(x){\ displaystyle \ scriptstyle z ^ {*} \ bal (x \ jobb) = f_ {s} \ bal (x \ jobb)}
Georges Matheron által létrehozott tétel megmutatja a spline és a kriging egyenértékűségét , még akkor is, ha az átalakítás a gyakorlatban nem könnyű.
Kriging tulajdonságok
- Pontos interpolátor: ha a becslési pont adatpont, akkor a kriging ezen a ponton adja vissza az adatokat; másrészt, ha a variogram rög hatásot tartalmaz, az adatpontok közelében nem garantált a folytonosság, és a becslés azt a benyomást kelti, hogy nem megy keresztül az adatokon.
- Ez egy lineáris művelet: a lineáris kombináció krigelése a krigeage lineáris kombinációja, feltéve, hogy ugyanazt az adatsort használják (kriging ábra szuperpozíció tétel).
- Két diszjunkt domén krigelése ezeken a területeken a krigeagek összege.
- A domain becsült átlaga a domain pontos pontosságának átlaga.
- A konvolút krigingje a pont krigeages konvolúciója .[∫o(dx)Z(x)]∗=∫o(dx)Z∗(x){\ displaystyle \ scriptstyle \ left [\ int p (\ mathrm {d} x) Z (X) \ right] ^ {*} = \ int p (\ mathrm {d} x) Z ^ {*} (x) }
- a derivált krigelése a kriging származéka.
- képernyő effektus: a legközelebbi pontok kapják a legnagyobb súlyokat (növekvő variogram esetén).
- simítás: a becslések kevésbé változékonyak, mint az adatok.
Demonstráció
Egy egyszerű krigelés igazolása:
∑jλjKén,j-Kén,0=0∀én{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i, 0} = 0 \ összes i}, honnan származik
VSov[∑jλjZj-Z0,Zén]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ bal [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, Z_ {i} \ right] = 0}, az egyszerű krigelési hiba merőleges az egyes adatokra
VSov[Z(x)-Z∗(x),Z(x)]=0{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ balra [Z (x) -Z ^ {*} (x), Z (x) \ jobbra] = 0}, mert a kriging becslő az adatok lineáris kombinációja
VSov[Z(x),Z∗(x)]=Vnál nélr[Z∗(x)]{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [Z (x), Z ^ {*} (x) \ right] = \ mathbf {Var} \ left [Z ^ {*} (x) \ right]}
σS2(x)=Vnál nélr[Z(x)-Z∗(x)]=K(0)-Vnál nélr[Z∗(x)]{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {S}}} ^ {2} (x) = \ mathbf {Var} \ left [Z (x) -Z ^ {*} (x) \ right] = K ( 0) - \ mathbf {Var} \ left [Z ^ {*} (x) \ right]}
Vnál nélr[Z∗(x)]≤K(0){\ displaystyle \ mathbf {Var} \ left [Z ^ {*} (x) \ right] \ leq K (0)}
A becsült érték szórása kisebb, mint az a priori variancia, és szigorúan az adatpontokon kívül esik. Egyébként az egyszerű krigingbecslő nem stacionárius a 2. sorrendben, mivel szórása x- től függ .
- transzitivitás: adatként hozzáadhatunk pontbecslést krigeléssel anélkül, hogy az eredményt megváltoztatnánk a többi becslési pontra. Másrészt a kriging szórásai csökkennek.
- szinte feltételes elfogultság nélkül: ha a becslésekhez cut-offot alkalmazunk, az eredmény közel van a várt értékekhez
- Az alapfunkciók lineáris függetlensége az adatokon: az univerzális kriging rendszer szabályszerűségének szükséges feltétele, hogy a f li ne ismerje el a nem triviális null lineáris kombinációt ( ).(∀én,∑lvs.lflén=0)⇒(∀l,vs.l=0){\ displaystyle \ scriptstyle \ left (\ forall i, \ sum _ {l} c_ {l} f_ {li} = 0 \ right) \ Rightarrow \ left (\ forall l, c_ {l} = 0 \ right)}
- A súlyok a szerkezeti függvény szorzataival invariánsak: ha a kovarianciát vagy a variogramot megszorozzuk ω-val , akkor a λ i állandó marad (de az univerzális krigelésben kapott μ l- et elosztjuk ω-val ). A kriging varianciát megszorozzuk ω-val .
- Ortogonalitás: ne feledje, hogy két véletlen változót ortogonálisnak mondanak, ha a kovarianciája nulla
- Az egyszerű krigelési hiba merőleges az adatok bármely lineáris kombinációjára.
- A szokásos krigelési hiba merőleges a nulla össztömegű adatok bármely lineáris kombinációjára.
- Az univerzális krigelési hiba merőleges minden olyan lineáris adatkombinációra, amely szűri az alapfüggvények családját, vagyis olyan .∑énϕénflén{\ displaystyle \ scriptstyle \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li}}∀l,∑énϕénflén=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l, \ sum _ {i} \ phi _ {i} f_ {li} = 0}
Demonstráció
Univerzális krigeléshez:
∑jλjKén,j+∑lμlflén=Kén,0,∀én{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {li} = K_ {i, 0}, \ forall i} a kriging rendszer szerint
∑énϕén(∑jλjKén,j-Kén0)=∑én∑l-μlϕénflén{\ displaystyle \ sum _ {i} \ phi _ {i} \ left (\ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} \ right) = \ sum _ {i } \ sum _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}} átrendezés és kombinálás után
Vagy:
Tehát:∑jλjKén,j-Kén0=VSov[∑jλjZj-Z0,Zén]{\ displaystyle \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} -K_ {i0} = \ mathbf {Cov} \ balra [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j } -Z_ {0}, Z_ {i} \ jobb]}
VSov[∑jλjZj-Z0,∑énϕénZén]=∑l-μlϕénflén{\ displaystyle \ mathbf {Cov} \ left [\ sum _ {j} \ lambda _ {j} Z_ {j} -Z_ {0}, \ sum _ {i} \ phi _ {i} Z_ {i} \ jobbra] = \ sum _ {l} - \ mu _ {l} \ phi _ {i} f_ {li}}
A krigelés egyéb felhasználási módjai
Alkatrészszűrés
Tegyük fel, hogy egy véletlen változó Z = m + ∑ i Y i , m-nek az átlagával és az Y i független belső véletlen változóval kettesével, nulla átlaggal és a megfelelő γ i variogramokkal . Az Y k komponens becslőjét a következő formában tehetjük fel : ahol a λ i megoldások:
Yk∗=∑énλénZén{\ displaystyle {Y_ {k}} ^ {*} = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} Z_ {i}}
{-∑jλjγén,j+μ=-γk;én,0 ∀én∑jλj=0{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} - & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} \ gamma _ {i, j} & + \ mu & = - & \ gamma _ {k ; i, 0} & ~ \ összes i \\ & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} && = & 0 \ end {igazítva}} \ end {esetek}}}
Faktoriális kriging
Legyen Z n , n ∈⟦1 változók halmaza; N ⟧ , a variogramok feltételezhető szerkezetek lineáris kombinációk γ p , p ∈⟦1; P ⟧ . Tanulmányozzunk egy számozott szerkezetet a p oldalon . Állítsunk be Y p , n , ortogonális (nulla átlag és egység variancia) változók halmazát , kettőtől függetlenül , ugyanazzal a variogrammal. Pózoljunk:
Znem=mnem+∑o=1P∑k=1NEMnál nélo,nem,kYo,k{\ displaystyle Z_ {n} = m_ {n} + \ sum _ {p = 1} ^ {P} \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, n, k} Y_ {p, k }}
Ez a bomlás azonban nem egyedülálló; az Y p , k fizikai jelentése nem garantált.
Gyorsan megvan a keresztezett variogram:
γZén,Zj=∑o=1Pbo,én,jγo{\ displaystyle \ gamma _ {Z_ {i}, Z_ {j}} = \ sum _ {p = 1} ^ {P} b_ {p, i, j} \ gamma _ {p}} vagy bo,én,j=∑k=1NEMnál nélo,én,knál nélo,j,k{\ displaystyle b_ {p, i, j} = \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, i, k} a_ {p, j, k}}Szimmetrikus és pozitív határozott
mátrixokat kapunk ( b p , i , j ) i , j . A p szerint történő újraszámozással az Y p , n csökkenő sorrendbe kerül sajátértékük (a skála összetevőjének variancia része) szerint .
A faktoriális kriging a leginkább magyarázó struktúrák (amelyek sajátértéke jelentős), nevezetesen a p első komponensek ( p ≤ p ) figyelembevételéből áll:
Znem∗≃mén∗+∑o=1o¯∑k=1NEMnál nélo,j,kYo,k∗{\ displaystyle {Z_ {n}} ^ {*} \ simeq {m_ {i}} ^ {*} + \ sum _ {p = 1} ^ {\ bar {p}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} a_ {p, j, k} Y_ {p, k} ^ {*}}
Blokkolja Kriginget
Ez kriging nem pontos: célja, hogy megbecsüljük a változó Z egy kötet vagy támogatási v . Abban az esetben, egy FAI- k , ez az összeg helyett:
Kén,v=1|v|∫vKén,xdx{\ displaystyle K_ {i, v} = {\ frac {1} {\ bal | v \ jobb |}} \ int _ {v} K_ {i, x} \ mathrm {d} x}
fl,v=1|v|∫vfl,xdx{\ displaystyle f_ {l, v} = {\ frac {1} {\ bal | v \ jobb |}} \ int _ {v} f_ {l, x} \ mathrm {d} x}
Kv,v=1|v|2∫v∫vKx,ydxdy{\ displaystyle K_ {v, v} = {\ frac {1} {\ bal | v \ jobb | ^ {2}}} \ int _ {v} \ int _ {v} K_ {x, y} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y}
A blokk-kriging rendszer a következő:
{∑jλjKén,j+∑lμlflén=Kén,v∀én∑énλénflén=fl,v∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = K_ {i, v} & \ összes i \\ & \ sum _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {i}} & = f_ {l, v} és \ forall l \ vég {igazítva}} \ vég {esetek}}}
A blokk krigelés becsült szórásaσB2=Kv,v-∑énλénKén,v-∑lμlfl,v{\ displaystyle {\ sigma _ {\ mathrm {B}}} ^ {2} = K_ {v, v} - \ sum _ {i} \ lambda _ {i} K_ {i, v} - \ sum _ { l} \ mu _ {l} f_ {l, v}}
Az integrált számításokhoz diszkretizációs algoritmusok szükségesek. A variáció a sokszög vagy a poliform kriging.
Gradiens becslés
A cél az, hogy becslése ∂ Z / ∂ u irányban u (egység vektor). Megadjuk a definíciót:
∂Z∂u=lénmr→0+Z(x+ru)-Z(x-ru)2r{\ displaystyle {\ frac {\ részleges Z} {\ részleges u}} = lim_ {r \ to 0 ^ {+}} {\ frac {Z \ bal (x + ru \ jobb) -Z \ bal (x- ru \ right)} {2r}}}
Ha a kovariancia K ( h ) álló és izotróp, akkor Z differenciálható, ha K kétszer differenciálható 0-nál; akkor a kovariancia a Z ' jelentése - K " , amely úgy definiálható bármely pontján. Ezután ( ∂ Z ⁄ ∂ u ) * = ∂ Z * ⁄ ∂ u . Gyakori esetekben a feltétel nem feltétlenül teljesül, és ∂ Z ⁄ ∂ u nincs meghatározva; ezután kiterjesztjük az előző relációt.
Ha Z- nek röghatása van, akkor az a becsült jelenség folyamatos részéből származik.
A gradiens kriging rendszer a következő:
{∑jλjKén,j+∑lμlflén=∂Kén,0∂u∀én∑énλénflj=∂fl0∂u∀l{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ begin {aligned} & \ sum _ {j} \ lambda _ {j} K_ {i, j} + \ sum _ {l} \ mu _ {l} f_ {l_ {i}} & = {\ frac {\ részleges K_ {i, 0}} {\ részleges u}} és \ mindazok \\ & \ összeg _ {i} \ lambda _ {i} f_ {l_ {j} } & = {\ frac {\ részleges f_ {l_ {0}}} {\ részleges u}} és \ összes l \ vég {igazítva}} \ vég {esetek}}}
A gradiens krigelés becsült varianciája
Kriging egyenlőtlenségekkel
Elméletileg a kriging nem teszi lehetővé az egyenlőtlenség korlátozásainak kezelését. Ennek ellenére Gibbs mintavételen alapuló algoritmusokat fejlesztettek ki, amelyek hozzávetőleges megoldást nyújtanak egy Gauss-változó esetében .
Cokriging
Mindkét esetben többváltozós egy stacionárius véletlenszerű függvényében sorrendben 2 nulla átlag, a
ℝ n ✕ D . Az eset könnyen az egyszerű esetre redukálható; ebből következnek az általános tulajdonságok, például a pontos interpoláció, a kriging ábrák egymásra helyezése ...
A többváltozós kokrigálás eredménye szimmetrikus szerepet ad a különböző komponenseknek, mind hierarchiájukban, mind mintavételükben. A többváltozós kokriginghez az egyváltozós esethez képest több készségre, adatra és kontrollra van szükség az értékelés előtt és után.
Külön változók
Ha a komponenseket a Z egymástól függetlenek, a CO-kriging mátrix válik átlós elemek K i , i , i ∈⟦1, d ⟧ . A változók ilyen elkülönítése az egyes összetevők egyszerű krigeageihez vezet.
Univerzális kokriging
Általános esetben a többváltozós FASt-2 Z- t egy többváltozós FASt-2 összegével állítjuk be, nulla Y várakozással és egy determinisztikus m sodrással , amelyet az f l függvények alapján bontunk le :
Z(x,én)=Y(x,én)+∑lnál néllfl(x,én){\ displaystyle Z \ bal (x, i \ jobb) = Y \ bal (x, i \ jobb) + \ összeg _ {l} a_ {l} f_ {l} \ bal (x, i \ jobb)}
Az alapfunkciók megválaszthatók az uszonyok közötti kapcsolatok tükrözése érdekében. Például a ℝ✕ {1,2} esetben, ha kétváltozós egydimenziós térben, feltételezhetjük:
- Az m ( x , 1) és m ( x , 2) sodródás algebrailag független a megfelelő k 1 és k 2 foktól . Beállítjuk a k 1 + k 2 +2 alapfunkciókat, amelyek egyváltozós függvények párjaként íródnak: {1, 0}, { x , 0},…, { x k 1 , 0}, {0, 1}, { 0, x },…, {0, x k 2 } .
- A sodródások egyenlőek és k fokúak . A család felkérik k +1 alapfunkciók { x i , x i }, i ∈⟦0, K ⟧ .
- Az m ( x , 2) származék az m ( x , 1) származéka , ez k fokú . Arra kérjük a család k 1 alapfunkciók {1, 0}, { x i , i × x i -1 }, i ∈⟦1, K ⟧ .
A rendszer szabályossága
A rendszer szabályosságának feltételei hasonlóak az egyváltozós kriginghez:
- - a kovarianciamátrix szigorúan feltételes pozitív az adatokon, és
- az alapfunkciók lineárisan függetlenek az adatoktól.
Azonban feltételrendszer nem feltétele az engedély a monovariable eset, de a szűrés, és azt jelenti, hogy minden olyan intézkedés, ν kielégíti a megszorítások , van:
∀l∈{1,⋯,k},∑j∫Sjvj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle \ scriptstyle \ forall l \ in \ left \ {1, \ cdots, k \ right \}, \ sum _ {j} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ jobb) f_ {l} \ bal (y, j \ jobb) = 0}
∑én,j∫Sén∫Sjvén(dx)Kén,j(x,y)vj(dy)=0⇒v=0{\ displaystyle \ sum _ {i, j} \ int _ {S_ {i}} \ int _ {S_ {j}} \ nu _ {i} \ balra (\ mathrm {d} x \ jobbra) K_ {i , j} \ left (x, y \ right) \ nu _ {j} \ left (\ mathrm {d} y \ right) = 0 \ Rightarrow \ nu = 0}
A sodrási együtthatók optimális együttes becslése
A sodródás a l együtthatóit az alábbiakkal lehet megbecsülni :,
hol van egy kriging rendszer megoldása.
NÁL NÉLl∗=∑j∈D∫Sjλj(dy)Z(y,j){\ displaystyle A_ {l} ^ {*} = \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ lambda _ {j} \ balra (\ mathrm {d} y \ jobbra) Z \ balra (y, j \ jobbra)}λl(dy){\ displaystyle \ lambda _ {l} \ bal (\ mathrm {d} y \ jobb)}
Kettős forma
Intézkedéseket fogadunk el intézkedések szerint:
z∗(x0,én0)=∑j∈D∫Sjψj(dy)Kj,én0(y,x0)+∑snál nél∗sfs(x0,én0), ∀(x0,én0)∈S{\ displaystyle z ^ {*} \ balra (x_ {0}, i_ {0} \ jobbra) = \ sum _ {j \ D-ben \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ bal (\ mathrm {d} y \ jobb) K_ {j, i_ {0}} \ bal (y, x_ {0} \ jobb) + \ összeg _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right), ~ \ forall \ left (x_ {0}, i_ {0} \ right) \ in S}
A ψ j mértékek és az a * l együtthatók a kettős rendszer megoldásai:
∀(x,én)∈S,l∈[[1;k]]{∑j∈D∫Sjψj(dy)Kén,j(x,y)+∑snál nél∗sfs(x,én)=z(x,én)∑j∈D∫Sjψj(dy)fl(y,j)=0{\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ forall \ left (x, i \ right) \ in S, l \ in [\! [1; k] \!] \\ & {\ begin {cases} \ sum _ {j \ in D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ balra (\ mathrm {d} y \ jobbra) K_ {i, j} \ balra (x, y \ jobbra) + \ összeg _ {s} {a ^ {*}} _ {s} f_ {s} \ bal (x, i \ jobb) & = z \ bal (x, i \ jobb) \\\ összeg _ {j \ D} \ int _ {S_ {j}} \ psi _ {j} \ bal (\ mathrm {d} y \ jobb) f_ {l} \ bal (y, j \ jobb) & = 0 \ end {esetekben }} \ end {igazítva}}}
Krigant-elemzés
Kriging sodrással
A sodródással történő kriging abból a helyzetből indul ki, hogy feltételezzük, hogy a vizsgált z regionalizált változó ismerete , amelyet itt FASt-2 feltételezünk, javítható egy másik, sokkal jobban mintavételezett regionalizált változó ismereteivel (például a csapadék és az enyhülés) ); ezt a második változót az s alak függvényének nevezzük ; a z adatpontjainál és a becslési pontokon ismerni kell (vagy becsülni kell) . Z és s várakozás között fogunk beállítani , például polinom (és gyakran affin, k = 1-vel ):
E[Z(x)]=∑l=0knál néllsl(x){\ displaystyle \ mathbf {E} \ bal [Z \ bal (x \ jobb) \ jobb] = \ összeg _ {l = 0} ^ {k} a_ {l} s ^ {l} \ bal (x \ jobb )}
A krigelés az univerzális krigeléshez hasonló módon történik.
Megjegyzések és hivatkozások
-
Bogaert o. 2007 . A térbeli és időbeli adatok statisztikai elemzése . Tanfolyamjegyzetek. Louvaini Katolikus Egyetem.
-
Krigeage, Gratton Y., Az AGI cikkei
-
Matheron G. 1962. Az értekezés az alkalmazott geostatisztikáról , I. kötet. In E. Technip (szerk.), Geológiai és bányászati kutatási iroda emlékiratai , n o 14. Párizs.
Lásd is
G. Leborgne, „ Bevezetés a krigingbe ” , az ISIMA-n ,2018
Bibliográfia
-
Pierre Chauvet , Lineáris geostatisztikai ellenőrzőlista , Párizs, Les Presses de l'École des Mines,1999. augusztus( Repr. 1993, 1994, 1998, 1999, 2008) ( 1 st ed. 1989), 367 p. , 16 × 24 cm-es ( ISBN 2-911762-16-9 , nyilatkozat BNF n o FRBNF37051458 )
- Cressie N. 1993. A térbeli adatok statisztikája. Wiley-sorozat a valószínűség és a matematikai statisztikákban: alkalmazott valószínűség és statisztika . John Wiley & Sons Inc., New York. Az 1991. évi kiadás, A Wiley-Interscience Publication átdolgozott utánnyomása.
- Baillargeon S. 2005. Kriging: az elmélet és a csapadékadatok térbeli interpolációjára való alkalmazás áttekintése . A tanulmány befejezése. Laval Egyetem, Quebec.