Morze homológia
A morze-homológia a morze-elmélet megközelítési homológiája . Ez lehetővé teszi számunkra, hogy megértsük a homológia egy kompakt differenciál sokrétű az adat egy Morse funkcióval és egy Riemann-metrikát (kompatibilitási feltételek mellett). Ezzel szemben a Morse-homológia lehetővé teszi egy adott Morse-függvény kompakt gyűjtőcsatornán lévő generikus gradiensáramának dinamikájának kombinatorikus megértését a sokaság homológiájától. Ez a homológiai megközelítés a morze-egyenlőtlenségek megírásához vezet .
Rögzítsünk egy Morse-függvényt egy kompakt differenciál-elosztóra , Riemann-mérővel felruházva . A gyakorlatban a Riemann-metrika megválasztásának másodlagos jelentősége van: a Riemann-metrika tere konvex kúp a vektorköteg szakaszainak teréből , és globális variációk végezhetők rajta.
f{\ displaystyle f}M{\ displaystyle M}g{\ displaystyle g}g{\ displaystyle g} S2M→M{\ displaystyle S ^ {2} M \ - M}g{\ displaystyle g}
A morzehomológia abból áll, hogy a szerzők szerint meghatározzuk a láncok vagy kokenek komplexét , ezért:
- A végzett -module vagy , amelynek definíciója független ;NÁL NÉL{\ displaystyle A}VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}g{\ displaystyle g}
- Egy- lineáris térkép, vagy nulla négyzet, és -1 vagy +1 fok.NÁL NÉL{\ displaystyle A}d:VS∗(f,NÁL NÉL)→VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle d: C _ {*} (f, A) \ - C _ {*} (f, A)}d:VS∗(f,NÁL NÉL)→VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle d: C ^ {*} (f, A) \ - C ^ {*} (f, A)}
Pontosabban, hol van az alapvető szabad modul a függvény kritikus pontjainak halmaza ; a ballagás a megállapodástól függ. A fedélzeti vagy a cobord operátort úgy határozzuk meg, hogy az áramlási pályákat megszámoljuk vagy mínusz a kritikus pontokat összekötő gradiens 1-es indexkülönbséggel. Az ilyen pályák számának végességét egy vagy tovább ható általános feltétel biztosítja . Jelek bevezetése szükséges annak biztosításához, hogy a négyzet értéke nulla legyen.
VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}f{\ displaystyle f}d{\ displaystyle d}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}d{\ displaystyle d}
Az így definiált láncok vagy kokokok komplexének homológiai vagy kohomológiai csoportjai függetlenek a metrika megválasztásától : meg vannak jegyezve, ill . Természetesen izomorfak a sokaság homológiájával vagy kohomológiai csoportjaival az in-os együtthatókkal .
g{\ displaystyle g}H∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle H _ {*} (f, A)}H∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle H ^ {*} (f, A)}M{\ displaystyle M}NÁL NÉL{\ displaystyle A}
Érettségi
A -modul fokozata vagy függ a függvény kritikus pontjainak indexelésétől .
NÁL NÉL{\ displaystyle A}VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C _ {*} (f, A)}VS∗(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C ^ {*} (f, A)}f{\ displaystyle f}
Egy kritikus pont a , a hesseni mátrixot a jól meghatározott, és független a választás a Riemann-metrikát. A nem degeneráció pontosan azt jelenti, hogy a Hessian nem degenerált bilinear forma . A index az aláírásától függ; két egyezmény létezik együtt:
x{\ displaystyle x}f{\ displaystyle f}f{\ displaystyle f}x{\ displaystyle x}Hx{\ displaystyle H_ {x}}TxM{\ displaystyle T_ {x} M}M{\ displaystyle M}
- Az indexet a maximálisan pozitív, meghatározott altér dimenziójaként definiálják;μ(x){\ displaystyle \ mu (x)}
- Az indexet a maximálisan negatívan definiált altér dimenziójaként definiálják.v(x){\ displaystyle \ nu (x)}
A -modul, ahol az alapvető szabad modul, az index kritikus pontjainak halmaza .
NÁL NÉL{\ displaystyle A}VSk(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C_ {k} (f, A)}VSk(f,NÁL NÉL){\ displaystyle C ^ {k} (f, A)}NÁL NÉL{\ displaystyle A}f{\ displaystyle f}k{\ displaystyle k}
Morse-Palais állapota
Rögzített Riemann-metrikához társul a gradiens vektor mező , amelyet az alábbiak határoznak meg:
g{\ displaystyle g} x{\ displaystyle X}f{\ displaystyle f}
g(x,Y)=df(Y)=Y⋅f{\ displaystyle g (X, Y) = \ mathrm {d} f (Y) = Y \ cdot f}.
A Morse-Palais feltétel (vagy a szerzők szerint Morse-Smale, vagy Palais-Smale, vagy Morse-Palais-Smale) általános feltétel Baire értelmében a Morse függvény megválasztásával vagy a Riemannian választásával kapcsolatban. metrikus . A következőképpen szól:
f{\ displaystyle f}g{\ displaystyle g}
A
stabil és instabil sokaságok a vagy a kritikus pontok metszik párban keresztirányban.
x{\ displaystyle X}-x{\ displaystyle -X}f{\ displaystyle f}A tömörség miatt a mezők és globálisak. A differenciálegyenlet megoldásai:
x{\ displaystyle X}-x{\ displaystyle -X}
ddtu(t)=±x[u(t)]{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} u (t) = \ pm X {\ bigl [} u (t) {\ bigr]}}globálisan vannak meghatározva , és vannak olyan korlátai , amelyek kritikus pontjai . A Morse-Palais feltétel elegendő az él vagy a cobord operátor meghatározásához .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}±∞{\ displaystyle \ pm \ infty}f{\ displaystyle f}d{\ displaystyle d}
Két kritikus pont és az azt jelöli a helyet a pályája a flow haladva az ; Az id az az alkalmazás területe, amely ellenőrzi a problémát a határokon:
x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}f{\ displaystyle f}M±(x,y,f,g){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}±x{\ displaystyle \ pm X}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}R→M{\ displaystyle R \ - M}
ddtu(t)=±x[u(t)]{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} u (t) = \ pm X \ bal [u (t) \ jobb]} ; és .
limt→-∞u(t)=x{\ displaystyle \ lim _ {t \ to - \ infty} u (t) = x}limt→+∞u(t)=y{\ displaystyle \ lim _ {t \ to + \ infty} u (t) = y}A figyelembe vett topológia általában az egyetlen konvergencia topológiája a kompaktok bármelyikén . A morze-homológia megírása nem teszi fel a kérdését, hogy léteznek-e megoldások erre a határproblémára. Opcionálisan üres is lehet.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}M±(x,y,f,g){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}
Tér természetesen homeomorf a kereszteződésekben a stabil sokrétű en és az instabil sokrétű en (a mező ).
M±(x,y,f,g){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)} Ws(y,±x){\ displaystyle W_ {s} (y, \ pm X)}y{\ displaystyle y}Wu(x,±x){\ displaystyle W_ {u} (x, \ pm X)}x{\ displaystyle x}±x{\ displaystyle \ pm X}
A Morse-Palais feltétel alapján ez a metszéspont egy olyan differenciális részváltozat, amelynek dimenziója a kritikus pontok mutatóinak különbségeként és :
M{\ displaystyle M}x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}
-
NapWu(x,+x)∩Ws(y,+x)=μ(x)-μ(y)=v(y)-v(x){\ displaystyle \ dim W_ {u} (x, + X) \ cap W_ {s} (y, + X) = \ mu (x) - \ mu (y) = \ nu (y) - \ nu (x )} ;
-
NapWu(x,-x)∩Ws(y,-x)=μ(y)-μ(x)=v(x)-v(y){\ displaystyle \ dim W_ {u} (x, -X) \ cap W_ {s} (y, -X) = \ mu (y) - \ mu (x) = \ nu (x) - \ nu (y )}.
Hagyományosan a szigorúan negatív dimenziójú sokaság üres.
A csoport folyamatosan hat, és a hányados egy fajta, amelynek dimenzióját a következő adja:
(R,+){\ displaystyle (\ mathbb {R}, +)}M±(x,y,f,g){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}M^±(x,y,f,g){\ displaystyle {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {\ pm} (x, y, f, g)}
-
NapM^+(x,y,f,g)=μ(x)-μ(y)-1=v(y)-v(x)-1{\ displaystyle \ dim {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {+} (x, y, f, g) = \ mu (x) - \ mu (y) -1 = \ nu (y) - \ nu (x) -1} ;
-
NapM^-(x,y,f,g)=μ(y)-μ(x)-1=v(x)-v(y)-1{\ displaystyle \ dim {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ {-} (x, y, f, g) = \ mu (y) - \ mu (x) -1 = \ nu (x) - \ nu (y) -1}.
Irányultság
Fedélzeti vagy cobord operátor
A kötött megállapodások szerint meghatározunk egy él- vagy kobordoperátort; az alábbi táblázat összefoglalja a helyzetet:
|
Index μ{\ displaystyle \ mu}
|
Index v{\ displaystyle \ nu}
|
---|
Terület x{\ displaystyle X}
|
Repülés üzemeltetője
dx=∑y,μ(x)=μ(y)+1∑u∈M^+(x,y,f,g)ϵ+(u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ mu (x) = \ mu (y) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { +} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {+} (u)}
|
Cobord operátor
dx=∑y,v(y)=v(x)+1∑u∈M^+(x,y,f,g)ϵ+(u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ nu (y) = \ nu (x) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { +} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {+} (u)}
|
---|
Terület -x{\ displaystyle -X}
|
Cobord operátor
dx=∑y,μ(y)=μ(x)+1∑u∈M^-(x,y,f,g)ϵ-(u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ mu (y) = \ mu (x) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { -} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {-} (u)}
|
Repülés üzemeltetője
dx=∑y,v(x)=v(y)+1∑u∈M^-(x,y,f,g)ϵ-(u){\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ sum _ {y, \ nu (x) = \ nu (y) +1} \ sum _ {u \ in {\ widehat {\ mathcal {M}}} _ { -} (x, y, f, g)} \ epsilon _ {-} (u)}
|
---|
Ha egy 2. karakterisztikájú gyűrű van, akkor a jelek bevezetése nem szükséges.
NÁL NÉL{\ displaystyle A}
Megjegyzések és hivatkozások
Bibliográfia
en) Jürgen Jost , Riemannian Geometry and Geometric Analysis ,2002[ a kiadások részlete ]
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">