FKG egyenlőtlenség
Az FKG egyenlőtlenség , amely Fortuin, Kasteleyn és Ginibre fogalma, Chebyshev összegek közötti egyenlőtlenségének általánosított változata . Ez egy korreláció egyenlőtlenség használt, például a perkoláció-elmélet , és a tanulmány a modell véletlen gráfok miatt Erdős Pál és Rényi Alfréd : Az Erdős-Rényi modell (en) .
Államok
Harris következtében az FKG egyenlőtlenség egy véges vagy megszámlálható J halmazra vonatkozik, amelynek mindegyik j eleme vagy 0 állapotban van, 1-p valószínűséggel vagy 1-es állapotban p valószínűséggel . A globális rendszer állapotát J tehát által leírt egy eleme , ahogy az államok a különböző helyszíneken j a J feltételezik, hogy a független , a készlet az állapotok, vagy konfigurációk, el van látva egy valószínűségi törvény , amely egy termék intézkedés az Bernoulli törvényei . A Ω halmaz azonosítható a J részek halmazával, a halmaz és az indikátor funkció közötti megfelelésen keresztül . Az FKG egyenlőtlensége azt állítja
Ω={0,1}J. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega = \ {0,1 \} ^ {J}. \} Ω={0,1}J {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega = \ {0,1 \} ^ {J} \}
FKG egyenlőtlenség -
- Legyen két véletlen változó, X és Y, amelyek növekszenek akkor Ω. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega. \}
E[xY]≥E[x]E[Y].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ bal [XY \ jobb] \ geq \ mathbb {E} \ bal [X \ jobb] \ mathbb {E} \ bal [Y \ jobb]. \,}
- Hagyja, két növekvő alkatrészek A és B az Majd Ω. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega. \}
P(NÁL NÉL∩B)≥P(NÁL NÉL)P(B).{\ displaystyle \ mathbb {P} (A \ cap B) \ geq \ mathbb {P} (A) \ mathbb {P} (B). \,}
Ez azt jelenti, hogy pozitív korreláció van az érintett változók között, mivel az első egyenlőtlenséget újrafogalmazhatjuk
Cov(x,Y) ≥ 0.{\ displaystyle {\ text {Cov}} \ bal (X, Y \ jobb) \ \ geq \ 0.}
- A második pont a FKG egyenlőtlenség kapunk közvetlen következménye az első pont, szakosítsák a speciális esetben, amikor X jelentése indikátor függvénye A , és ahol Y jelentése az indikátor függvénye B .
- Az egyenlőtlenség a csökkenő változók vagy részek esetében is érvényes, de az egyenlőtlenségek jelentése akkor változik, ha az érintett változóknak vagy részeknek ellentétes jelentése van az egyhangúsággal.
- Vannak általánosabb formái az FKG egyenlőtlenségeknek, ugyanazokkal a következtetésekkel, de az általánosabb termékterek esetében olyan intézkedéssel vannak ellátva, amely nem feltétlenül termékméret.
Rend és növekedés
- Mi határozza meg a részleges sorrendben kapcsolatban az Ω az alábbiak szerint: a mi meg (nál nél,b)∈Ω, nál nél=(nál nélj)j∈J, b=(bj)j∈J, {\ displaystyle \ scriptstyle \ (a, b) \ in Omega, \ a = (a_ {j}) _ {j \ in J}, \ b = (b_ {j}) _ {j \ in J}, \}
{nál nél≤b}⇔{∀j∈J, nál nélj≤bj}. {\ displaystyle \ {a \ leq b \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ {\ forall j \ in J, \ a_ {j} \ leq b_ {j} \}. \}
Ha Ω- t azonosítjuk J részhalmazával , akkor a fenti sorrend-relációt inklúziós relációként értelmezzük . Ez a párhuzam már nem érvényes, ha általánosítani akarunk a -tól / -ig egy E 0,1 térnél általánosabb állapotra, mint {0,1} .
Ω={0,1}J {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega = \ {0,1 \} ^ {J} \} Ω=EJ, {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega = E ^ {J}, \}- Szokás szerint az Ω- on definiált X térkép , valós értékekkel, azt mondja, hogy növekszik, ha
{nál nél≤b}⇒{x(nál nél)≤x(b)}. {\ displaystyle \ {a \ leq b \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ {X (a) \ leq X (b) \}. \}
- Egy része egy az Ω azt mondják, hogy egyre nagyobb , ha
{nál nél≤b és nál nél∈NÁL NÉL}⇒{b∈NÁL NÉL}. {\ displaystyle \ {a \ leq b \ {\ text {és}} \ a \ A \} \ quad \ Rightarrow \ quad \ {b \ A \} -ban. \}
Ezzel egyenértékűen azt mondják, hogy az Ω A része növekszik, ha a mutató funkciója növekszik.
- Az alkalmazás vagy alkatrész bomlási tulajdonságának analóg meghatározása van.
Példák:
-
Perkoláció : J a élek halmazát a hálózat széleit nyitott valószínűséggel p és zárt valószínűséggel 1-p , egymástól függetlenül.
Zd, {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {Z} ^ {d}, \}
- A végtelen fürtöt tartalmazó konfigurációk
A halmaza növekszik (azt mondjuk, hogy egy végtelen fürt létezési tulajdonsága növekszik);
- két megadott hely, x és y esetében az " x összefüggés y-vel " tulajdonság növekszik;
- az " x egy végtelen fürtbe tartozik" tulajdonság növekszik.
Erdős-Rényi modell : J halmaza N ( n - 1) / 2 potenciális élek közötti n csúcsú, 1-től n , élek jelen valószínűséggel p és hiányzik valószínűséggel 1-p , egymástól függetlenül. A jelen élek halmaza meghatároz egy véletlenszerű gráfot , megjegyezte G (n, p) , amelynek Erdős és Rényi bizonyos tulajdonságokat ( eseményeket ) és bizonyos paramétereket ( véletlen változókat ) tanulmányozott. Ezen tulajdonságok és paraméterek között
Bizonyíték
Korrelációs egyenlőtlenség
Az integrálhatósági feltételezések modulja, ha a kezdőtér teljes sorrend-relációval van ellátva, a következő egyenlőtlenségek vannak:
Korrelációs egyenlőtlenség -
- Hagy két igazi valószínűségi változók X és Y meghatározott és a növekvő egy teljesen rendezett halmaz , felruházva a valószínűségi mérték Aztán O {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} \} Q. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {Q}. \}
E[xY]≥E[x]E[Y].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ bal [XY \ jobb] \ geq \ mathbb {E} \ bal [X \ jobb] \ mathbb {E} \ bal [Y \ jobb]. \,}
- Vagy Z valódi véletlen változó definiált, egy sor nem feltétlenül rendezett, és hagyja, hogy én egy ilyen tartományban van két funkció f és g meghatározott és egyre tovább én . Így Ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega \} P(Z∈én)=1. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {P} (Z \ I-ben) = 1. \}
E[f(Z)g(Z)]≥E[f(Z)]E[g(Z)].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ balra [f (Z) g (Z) \ jobbra] \ geq \ mathbb {E} \ balra [f (Z) \ jobbra] \ mathbb {E} \ balra [g (Z ) \ jobb]. \,}
Demonstráció
- A termék valószínűségével felruházott termékteret vesszük figyelembe , X és Y monotonitása miatt a térkép O×O {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} \ szor {\ mathcal {O}} \} Q⊗Q. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {Q} \ otimes \ mathbb {Q}. \}
(ω,ω′)↦(x(ω)-x(ω′))(Y(ω)-Y(ω′)){\ displaystyle (\ omega, \ omega ^ {\ prime}) \ quad \ mapsto \ quad \ bal (X (\ omega) -X (\ omega ^ {\ prime}) \ jobb) \ bal (Y (\ omega ) -Y (\ omega ^ {\ prime}) \ jobbra}}
pozitív vagy nulla a Következésképpen
O×O. {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} \ szor {\ mathcal {O}}. \}0≤∫O×O (x(ω)-x(ω′)(Y(ω)-Y(ω′) Q⊗Q(dω,dω′)=∫O×O [x(ω)Y(ω)+x(ω′)Y(ω′)-x(ω)Y(ω′)-x(ω′)Y(ω)] Q⊗Q(dω,dω′)=2 E[xY]-2 E[x]E[Y],{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & \ leq \ int _ {{\ mathcal {O}} \ times {\ mathcal {O}}} \ (X (\ omega) -X (\ omega ^ {\ prime }) (Y (\ omega) -Y (\ omega ^ {\ prime}) \ \ matbb {Q} \ otimes \ mathbb {Q} (d \ omega, d \ omega ^ {\ prime}) \\ & = \ int _ {{\ mathcal {O}} \ szor {\ mathcal {O}}} \ [X (\ omega) Y (\ omega) + X (\ omega ^ {\ prime}) Y (\ omega ^ { \ prime}) - X (\ omega) Y (\ omega ^ {\ prime}) - X (\ omega ^ {\ prime}) Y (\ omega)] \ \ mathbb {Q} \ otimes \ mathbb {Q} (d \ omega, d \ omega ^ {\ prime}) \\ & = 2 \ mathbb {E} \ bal [XY \ jobb] -2 \ \ mathbb {E} \ bal [X \ jobb] \ mathbb { E} \ balra [Y \ jobbra], \ végre {igazítva}}}
ahol az első egyenlőtlenség az integrál növekedéséből adódik egy mérték vonatkozásában. Az utolsó egyenlőség az integrál linearitásáról és
Fubini tételéből származik, amelyet a linearitás segítségével kapott négy integrálra alkalmazunk.
- A második egyenlőtlenség az első következménye, azáltal, hogy specializálódott a transzfertétel alkalmazására , majd arra . Kevésbé tanult módon figyelembe vehetjük ugyanazon Ω valószínűségi téren két független változót, azonos törvényűek, Z és Z ' , és észrevehetjük, hogy a változó O=én {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} = I \} Q=PZ, {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {Q} = \ mathbb {P} _ {Z}, \} (f(Z)-f(Z′))(g(Z)-g(Z′)){\ displaystyle \ left (f (Z) -f (Z ^ {\ prime}) \ right) \, bal (g (Z) -g (Z ^ {\ prime}) \ right)}
pozitív vagy nulla a Következésképpen
Ω. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega. \}0≤E[(f(Z)-f(Z′)(g(Z)-g(Z′)]=E[f(Z)g(Z)]+E[f(Z′)g(Z′)]- E[f(Z′)g(Z)]-E[f(Z)g(Z′)]=2 E[f(Z)g(Z)]- E[f(Z′)]E[g(Z)]-E[f(Z)]E[g(Z′)]=2 E[f(Z)g(Z)]- 2E[f(Z)]E[g(Z)],{\ displaystyle {\ begin {aligned} 0 & \ leq \ mathbb {E} \ left [\ left (f (Z) -f (Z ^ {\ prime} \ right) \, \ left (g (Z) - g (Z ^ {\ prime} \ right) \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [f (Z) g (Z) \ right] + \ mathbb {E} \ left [f (Z ^ {\ prime}) g (Z ^ {\ prime}) \ right] - \ \ mathbb {E} \ left [f (Z ^ {\ prime}) g (Z) \ right] - \ mathbb {E} \ balra [f (Z) g (Z ^ {\ prime}) \ jobbra] \\ & = 2 \ \ mathbb {E} \ balra [f (Z) g (Z) \ jobbra] - \ \ mathbb {E} \ left [f (Z ^ {\ prime}) \ right] \ mathbb {E} \ left [g (Z) \ right] - \ mathbb {E} \ left [f (Z) \ right] \ mathbb {E } \ bal [g (Z ^ {\ prime}) \ jobb] \\ & = 2 \ mathbb {E} \ bal [f (Z) g (Z) \ jobb] - \ 2 \ mathbb {E} \ balra [f (Z) \ jobbra] \ mathbb {E} \ balra [g (Z) \ jobbra], \ végre {igazítva}}}
ahol többször alkalmaztuk a két Z és Z ' változó
függetlenségét , és e két változó jogi azonosságát.
Itt ismét megfogalmazhatjuk a második egyenlőtlenséget a formában
Cov(f(Z),g(Z)) ≥ 0,{\ displaystyle {\ text {Cov}} \ balra (f (Z), g (Z) \ jobbra) \ \ geq \ 0,}
és itt megint megváltoztatható az érintett változók vagy funkciók egy-két monotonitásának érzéke, még akkor is, ha ez az egyenlőtlenség érzetének megváltoztatását jelenti.
A Csebisev egyenlőtlenség összegek közvetlen következménye a fenti összefüggés egyenlőtlenséget: ez elegendő figyelembe venni a speciális esetben, amikor a valódi véletlen változó Z követi a diszkrét egyenletes törvény a Hasonlóképpen, így a folyamatos változata a Csebisev egyenlőtlenség az összegeket, akkor válassza ki a fenti korrelációs egyenlőtlenségben egy valós Z véletlen változót a [0,1] -re vonatkozó folyamatos egységes törvény szerint .
[[1,nem]]. {\ displaystyle \ scriptstyle \ [\! [1, n] \!]. \}
Kész ügy
Megmutatjuk, az általános esetben, ha a globális állam a véges rendszer J által leírt egyik eleme az az állam valamely elemének j a J által leírt eleme a készlet , amely, mint az előző bekezdésben, a teljesen rendezett halmaz valószínűségi méréssel ellátva Például gondolhatunk, de az FKG által az oldal elején bejelentett egyenlőtlenség megfelel az adott eset választásának:
ω=(ωj)j∈J {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ omega = (\ omega _ {j}) _ {j \ J} -ben} Ω=OJ. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ Omega = {\ mathcal {O}} ^ {J}. \} ωj {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ omega _ {j} \} O {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} \} Q. {\ displaystyle \ scriptstyle \ \ mathbb {Q}. \} O=R, {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}} = \ mathbb {R}, \}
O={0,1},Q=(1-o)δ0+oδ1.{\ displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {0,1 \}, \ qquad \ mathbb {Q} = (1-p) \ delta _ {0} + p \ delta _ {1}.}
Az itt bemutatott eredmény tehát (legalábbis abban az esetben, ha J véges) erősebb, mint a bejelentett FKG egyenlőtlenség.
Feltételezzük, hogy az általánosság elvesztése nélkül, és indukcióval bizonyítunk. A megismétlődés inicializálása ( n = 1 eset ) az előző szakasz tárgya volt: ez a korrelációs egyenlőtlenség első változata.
J=[[1,nem]], {\ displaystyle \ scriptstyle \ J = [\! [1, n] \!], \}
Észrevettük
x^(ωnem)=∫Onem-1 x(ω) Q(dω1)...Q(dωnem-1)=E[x|ωnem]{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ widehat {X}} (\ omega _ {n}) & = \ int _ {{\ mathcal {O}} ^ {n-1}} \ X (\ omega) \ \ mathbb {Q} (d \ omega _ {1}) \ dots \ mathbb {Q} (d \ omega _ {n-1}) \\ & = \ mathbb {E} \ bal [X \ bal | \ omega _ {n} \ right. \ right] \ end {aligned}}}
A feltételes várható az X ismerve a n- edik koordinátája az ω . Ugyanígy mutatjuk be . Mivel a növekedés a X és Y , és a növekedés a integrál (vagy a feltételes várható), a véletlen változók , és növekszik a Ezért, azáltal, hogy a korrelációs egyenlőtlenség,
ωnem{\ displaystyle \ scriptstyle \ omega _ {n}} Y^(ωnem) {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ widehat {Y}} (\ omega _ {n}) \} x^ {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ widehat {X}} \} Y^ {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ widehat {Y}} \} O, {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {O}}, \}
E[x^Y^]≥E[x^]E[x^].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [{\ widehat {X}} {\ widehat {Y}} \ right] \ geq \ mathbb {E} \ left [{\ widehat {X}} \ right] \ mathbb {E} \ balra [{\ widehat {X}} \ jobbra]. \,}
Másrészt a feltételes elvárás tulajdonságai alapján (vagy ebben az esetben a Fubini-tétel miatt ),
E[x^]E[Y^]=E[E[x|ωnem]] E[E[Y|ωnem]]=E[x]E[Y].{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {E} \ left [{\ widehat {X}} \ right] \ mathbb {E} \ left [{\ widehat {Y}} \ right] & = \ mathbb { E} \ left [\ mathbb {E} \ left [X \ left | \ omega _ {n} \ right. \ Right] \ right] \ \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} \ left [Y \ left | \ omega _ {n} \ right. \ right] \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [X \ right] \ mathbb {E} \ left [Y \ right]. \ end { igazítva}}}
Most úgy vélik, hogy az n -edik koordinátája az ω rögzített. Ezután azon dolgozunk, hogy teljesítsük a termékméretnek megfelelő elvárást :
ωnem{\ displaystyle \ scriptstyle \ omega _ {n}} Ω~=O[[1,nem-1]], {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ tilde {\ Omega}} = {\ mathcal {O}} ^ {[\! [1, n-1] \!]}, \} E~ {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ tilde {\ mathbb {E}}} \}
E~[Z]=∫Onem-1 Z(ω) Q(dω1)...Q(dωnem-1).{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [Z \ right] & = \ int _ {{\ mathcal {O}} ^ {n-1}} \ Z ( \ omega) \ \ mathbb {Q} (d \ omega _ {1}) \ dots \ mathbb {Q} (d \ omega _ {n-1}). \ end {igazítva}}}
Megvizsgáljuk az alkalmazásokat
x~:Ω~→R(ω1,...,ωnem-1)↦x~(ω1,...,ωnem-1)=x(ω1,...,ωnem-1,ωnem){\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tilde {X}}: \ qquad & {\ tilde {\ Omega}} \ rightarrow \ mathbb {R} \\ & (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}) \ mapsto {\ tilde {X}} (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}) = X (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}, \ omega _ {n}) \ end {igazítva}}}
és
Y~:Ω~→R(ω1,...,ωnem-1)↦Y~(ω1,...,ωnem-1)=Y(ω1,...,ωnem-1,ωnem),{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ tilde {Y}}: \ qquad & {\ tilde {\ Omega}} \ rightarrow \ mathbb {R} \\ & (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}) \ mapsto {\ tilde {Y}} (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}) = Y (\ omega _ {1}, \ dots, \ omega _ {n-1}, \ omega _ {n}), \ end {igazítva}}}
kik nőnek és akik igazolják
Ω~ {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ tilde {\ Omega}} \}
E~[x~]=x^(ωnem)=E[x|ωnem],{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [{\ tilde {X}} \ right] = {\ widehat {X}} (\ omega _ {n}) = \ mathbb {E} \ balra [X \ balra | \ omega _ {n} \ jobbra. \ jobbra],}
E~[Y~]=Y^(ωnem)=E[Y|ωnem].{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [{\ tilde {Y}} \ right] = {\ widehat {Y}} (\ omega _ {n}) = \ mathbb {E} \ balra [Y \ balra | \ omega _ {n} \ jobbra. \ jobbra].}
Ezért az indukciós hipotézis alapján ( n - 1 rang )
E[xY|ωnem]=E~[x~Y~]≥E~[x~]E~[Y~]=x^(ωnem)Y^(ωnem).{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [XY \ left | \ omega _ {n} \ right. \ right] = {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [{\ tilde {X}} { \ tilde {Y}} \ right] \ geq {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [{\ tilde {X}} \ right] {\ tilde {\ mathbb {E}}} \ left [{ \ tilde {Y}} \ right] = {\ widehat {X}} (\ omega _ {n}) {\ widehat {Y}} (\ omega _ {n}).}
Végül az első egyenlőtlenséggel
E[xY]=E[E[xY|ωnem]]≥E[x^Y^]≥E[x]E[Y].{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [XY \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ mathbb {E} \ left [XY \ left | \ omega _ {n} \ right. \ right] \ right ] \ geq \ mathbb {E} \ left [{\ widehat {X}} {\ widehat {Y}} \ right] \ geq \ mathbb {E} \ left [X \ right] \ mathbb {E} \ left [ Y \ jobb].}
Ebben a szakaszban bebizonyítottuk az Erdős-Rényi modell szempontjából hasznos FKG egyenlőtlenséget, de a perkoláció elméletéhez még nem rendelkezünk kellően erős FKG egyenlőtlenséggel . Ez a következő szakasz tárgya.
Megszámolható végtelen eset
A bizonyítás véges esetből történik, a határértékre való átlépés révén , négyzet alakú integrálható martingálok szinte biztos konvergencia tételével . Lásd Grimmett "Percolation" , 36. oldal, 2.2. Szakasz.
Lásd is
Bibliográfia
jegyzet
-
(en) CM Fortuin , PW Kasteleyn és J. Ginibre , " korrelációs egyenlőtlenségek On Some Részben rendezett halmazok " , Comm. Math. Phys. , vol. 22,
1971, P. 89–103 ( ISSN 0010–3616 , online olvasás )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">