Diszkrét egységes törvény

Diszkrét egységes törvény
Tömegfüggvény ' n = 5, ahol n = b - a + 1
Elosztási funkció
Beállítások	nál nél∈(...,-2,-1,0,1,2,...){\ displaystyle a \ in (\ ldots, -2, -1,0,1,2, \ ldots)} b∈(...,-2,-1,0,1,2,...){\ displaystyle b \ in (\ ldots, -2, -1,0,1,2, \ ldots)} nem=b-nál nél+1{\ displaystyle n = b-a + 1}
Támogatás	k∈{nál nél,nál nél+1,...,b-1,b}{\ displaystyle k \ in \ {a, a + 1, \ ldots, b-1, b \}}
Mass funkció	1nemmert nál nél≤k≤b 0ha nem {\ displaystyle {\ begin {mátrix} {\ frac {1} {n}} és {\ mbox {for}} a \ leq k \ leq b \ \\ 0 és {\ mbox {különben}} \ end {mátrix }}}
Elosztási funkció	0mert k<nál nélk-nál nél+1nemmert nál nél≤k≤b1mert k>b{\ displaystyle {\ begin {mátrix} 0 & {\ mbox {for}} k <a \\ {\ frac {k-a + 1} {n}} és {\ mbox {for}} a \ leq k \ leq b \\ 1 & {\ mbox {pour}} k> b \ end {mátrix}}}
Remény	nál nél+b2{\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}
Középső	nál nél+b2{\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}
Variancia	nem2-112.{\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {12}}}
Aszimmetria	0{\ displaystyle 0 \!}
Normalizált kurtosis	-6.(nem2+1)5.(nem2-1){\ displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)}}}
Entrópia	ln⁡(nem){\ displaystyle \ ln (n)}
Pillanatgeneráló funkció	enál néltnem∑k=0nem-1ekt{\ displaystyle {\ frac {e ^ {at}} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} e ^ {kt}}
Jellemző funkció	eénnál néltnem∑k=0nem-1eénkt{\ displaystyle {\ frac {e ^ {iat}} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} e ^ {ikt}}

A valószínűségszámítás , a egységes diszkrét törvény egy diszkrét valószínűségi törvény jelezve azonos valószínűség ( equiprobability ) minden egyes érték egy véges halmaza lehetséges értékek.

Leírás

Egy véletlen változó, amely n lehetséges k 1 , k 2 ,…, k n értéket fel tud venni , egységes törvényt követ, ha bármely k i érték valószínűsége megegyezik 1 / n értékkel .

A diszkrét egységes törvény egyszerű példája az elfogulatlan szerszám dobása. A k lehetséges értékei 1, 2, 3, 4, 5, 6; és minden alkalommal, amikor a kockát dobják, az adott pontszám valószínűsége 1/6.

Abban az esetben, ha az egységes diszkrét törvényt követõ véletlen változó értékei valósak , lehetséges az eloszlásfüggvény determinisztikus eloszlásban való kifejezése  ; így

F(k;nál nél,b,nem)=1nem∑én=1nemH(k-kén){\ displaystyle \ mathrm {F} (k; a, b, n) = {1 \ felett n} \ összeg _ {i = 1} ^ {n} \ mathrm {H} (k-k_ {i})}

ahol H ( x - x 0 ) jelöli Heaviside séta funkció , az eloszlásfüggvény (vagy kumulatív eloszlás) a determinisztikus elosztó középpontú x 0 , más néven a Dirac masszát a x 0 . Ez azt feltételezi, hogy az átmeneti pontokon elegendő feltételezést igazolnak.

Általános eset

Egy véletlen X változó figyelembe az összes lehetséges értékeit halmaz (a számosságú #A = n ) a equiprobability fogják azt mondják, hogy egységes felett A.

Fontos speciális eset

A szemközti táblázat az n egymást követő egész számra vonatkozó egységes törvényre vonatkozik , amely csak az egységes törvény sajátos esete, de fontos egyedi eset: megfelel

NÁL NÉL=[[nál nél,b]],nem=b-nál nél+1.{\ displaystyle \ mathrm {A} = [\! [a, b] \!], \ qquad n = b-a + 1 {\ text {.}}}

A valószínűségek és az elvárások kiszámítása (általános eset)

Ha X véges A halmaz felett követi az egységes törvényt, néha azt mondjuk, hogy X törvénye az . Észrevettük UNÁL NÉL{\ displaystyle \ mathbb {U} _ {\ mathrm {A}}}

P(x=x)=UNÁL NÉL({x})=11NÁL NÉL(x)#NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathrm {X} = x) = \ mathbb {U} _ {\ mathrm {A}} (\ {x \}) = {\ frac {1 \! \! 1_ { \ mathrm {A}} (x)} {\ # \ mathrm {A}}}},

ahol az A halmaz indikátorfüggvényét jelöli . Gyakorlati szempontból, 11NÁL NÉL(.){\ displaystyle 1 \! \! 1 _ {\ mathrm {A}} (.)}

P(x∈B)=∑x∈B11NÁL NÉL(x)#NÁL NÉL=#(NÁL NÉL∩B)#NÁL NÉL{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ mathrm {X} \ in \ mathrm {B}) = \ sum _ {x \ in \ mathrm {B}} {\ frac {1 \! \! 1 _ {\ mathrm {A}} (x)} {\ # \ mathrm {A}}} = {\ frac {\ # (\ mathrm {A} \ cap \ mathrm {B})} {\ # \ mathrm {A}}} }.

Az A-n definiált, valós értékekkel rendelkező function függvényhez:

E[φ(x)]=1#NÁL NÉL∑x∈NÁL NÉLφ(x){\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [\ varphi (\ mathrm {X}) \ right] = {\ frac {1} {\ # \ mathrm {A}}} \ sum _ {x \ in \ mathrm { A}} \ varphi (x)}.

A φ (X) várakozása tehát az φ átlagértéke A-ra. A méréselmélet klasszikus jelöléseinek felhasználásával ezt lefordítjuk:

 Px=UNÁL NÉL=1#NÁL NÉL∑x∈NÁL NÉLδx{\ displaystyle \ \ mathbb {P} _ {\ mathrm {X}} = \ mathbb {U} _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {1} {\ # \ mathrm {A}}} \ összeg _ {x \ in \ mathrm {A}} \ delta _ {x}},

δ ahol x az Dirac tömegét jelenti x-ben , amelynek eloszlásfüggvénye a fent említett Heaviside lépés függvény .

Megjegyzések és hivatkozások

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Folyamatos egységes törvény
• Diszkrét egységes változók függetlensége

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">