Le Cam egyenlőtlenség

A Le Cam-i egyenlőtlenség , Lucien Le Cam miatt , meghatározza a nagyszámú , kis paraméterű , független Bernoulli- változó összege törvényének konvergenciájának sebességét a Poisson-törvény felé . Elegáns és nem túl kalkuláló bemutatója szemlélteti a kapcsolási módszert, amelyet Wolfgang Döblin népszerűsített .

Államok

Legyen egy független Bernoulli véletlen változó tömbje , a megfelelő paraméterekkel. Jelöljük (x1,nem,x2,nem,...,xnál nélnem,nem)nem≥1{\ displaystyle (X_ {1, n}, X_ {2, n}, \ pontok, X_ {a_ {n}, n}) _ {n \ geq 1}} ok,nem.{\ displaystyle p_ {k, n}.}

Snem=∑k=1nál nélnemxk,nemésλnem = E[Snem]=∑k=1nál nélnemok,nem.{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, X_ {k, n} \ quad {\ text {és}} \ quad \ lambda _ {n} \ = \ \ mathbb {E} [S_ {n}] = \ összeg _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Így

Le Cam egyenlőtlensége  -  A természetes számok bármely A halmaza esetén

|P(Snem∈NÁL NÉL)-∑ℓ∈NÁL NÉLλnemℓe-λnemℓ!| ≤ ∑k=1nál nélnemok,nem2.{\ displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ sum _ {\ ell \ in A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ right | \ \ leq \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2}.}

Különösen az S n követi a Poisson-törvényt a λ paraméterrel , amint a következő két feltétel teljesül:

• limnemλnem=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}
• limnem∑k=1nál nélnemok,nem2=0. {\ displaystyle \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0. \}

Valójában a Le Cam egyenlőtlensége a következőket vonja maga után:

∑ℓ∈NEM |P(Snem=ℓ)-λnemℓe-λnemℓ!| ≤ 2 ∑k=1nál nélnemok,nem2.{\ displaystyle \ sum _ {\ ell \ in \ mathbb {N}} \ balra | \ mathbb {P} \ balra (S_ {n} = \ ell \ jobbra) - \, {\ frac {\ lambda _ { n} ^ {\ ell} \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \ jobb | \ \ leq \ 2 \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n} } \, p_ {k, n} ^ {2}.}

Következmény: Poisson-paradigma

Pózoljunk

Mnem=max1≤k≤nál nélnemok,nem.{\ displaystyle M_ {n} = \ max _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n}.}

Vannak egyenlőtlenségek:

Mnem2≤∑1≤k≤nál nélnemok,nem2≤Mnemλnem,ésnál nélnem≥λnem/Mnem,{\ displaystyle M_ {n} ^ {2} \ leq \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \ leq M_ {n} \ lambda _ { n}, \ quad {\ text {és}} \ quad a_ {n} \ geq \ lambda _ {n} / M_ {n},}

Ezért a két feltétel és megjelenő előző részben eredményez limnemλnem=λ>0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ lambda _ {n} \, = \, \ lambda> 0, \}limnem∑k=1nál nélnemok,nem2=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n} ^ {2} \, = \, 0, \}

• limnemMnem=0, {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0, \}
• limnemnál nélnem=+∞. {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty. \}

Mindkét feltétel , amelyet gyakran informálisan formáznak át az alábbiak szerint: limnemMnem=0 {\ displaystyle \ lim _ {n} M_ {n} \, = \, 0 \}limnemnál nélnem=+∞ {\ displaystyle \ lim _ {n} a_ {n} \, = \, + \ infty \}

Poisson Paradigm  -  A kis paraméter nagyszámú független Bernoulli-változójának S n összege megközelítőleg követi a paraméter Poisson-eloszlásátE[Snem].{\ displaystyle \ mathbb {E} [S_ {n}].}

Megjegyzések

• Ez a tulajdonság igaz maradhat, ha ellazítjuk a függetlenség feltételezését , amint azt a véletlenszerűen rajzolt permutáció fix pontjainak számánál látjuk . A Poisson-paradigmát sok irányban általánosították.
• A konkrét esetben a n = n, λ n = λ / n a Le Cam egyenlőtlenség Meghatározza a konvergencia sebességét a binomiális törvény paraméterek n és λ / n felé Poisson törvény paraméter λ .

Demonstráció

Bernoulli-Poisson törvénycsatolás

Az ötlet a μ p valószínűség törvényének a síkon való bemutatása, amelynek első pereme egy Bernoulli-törvény , a második egy Poisson-törvény , mindkettő a p elvárásnak felel meg , úgy, hogy az első felező súlya maximális legyen. Más szóval, ez a kérdés építésének, egy jól kiválasztott valószínűségi mezőn, két igazi valószínűségi változók X és Y , X szerint a Bernoulli törvény paraméter p , Y szerint a Poisson-törvény paraméter p , hogy a minimális, vagy , legalább kellően kicsi, μ p, ami a pár együttes törvénye (X, Y) . Ez egyértelmű P(x≠Y){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ neq Y)}

P(x=Y=k)≤min(P(x=k),P(Y=k)),{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y = k) \ leq \ min \ balra (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ jobbra),}

úgy hogy

P(x=Y)≤∑k min(P(x=k),P(Y=k)).{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) \ leq \ sum _ {k} \ \ min \ balra (\ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) \ jobbra ).}

Poisson-Bernoulli esetben ezt a határt az inverz tétel alkalmazásával érjük el , hogy az X és Y értékeket a 0,1-es intervallumon konstruáljuk [ a Lebesgue-méréssel együtt ] . Így

x(ω) = 11[1-o,1[(ω),{\ displaystyle X (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[1-p, 1 [} (\ omega),}

míg

Y(ω) = 11[e-o,(1+o)e-o[(ω)+211[(1+o)e-o,(1+o+(o2/2))e-o[(ω)+...,{\ displaystyle Y (\ omega) \ = \ 1 \! \! 1 _ {[e ^ {- p}, (1 + p) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, 2 \, 1 \! \! 1 _ {[(1 + p) e ^ {- p}, (1 + p + (p ^ {2} / 2)) e ^ {- p} [} (\ omega) \, + \, \ pontok,}

Ebben az esetben X és Y egybeesik az intervallumokkal:

• ] 0,1-p [ , ahol a 2 változó egyenlő 0-val,
• és [e -p , (1 + p) e -p [ , ahol a 2 változó egyenlő 1-vel.

A két változó különbözik e két intervallum egyesítésének komplementerétől, azaz [1-p, 1 [\ [e -p , (1 + p) e -p [] . Így,

P(x=Y)=∑k min(P(x=k),P(Y=k))=min(1-o,e-o)+min(o,oe-o)=1-o+oe-o,{\ displaystyle \ mathbb {P} (X = Y) = \ sum _ {k} \ \ min \ bal ({\ scriptstyle \ mathbb {P} (X = k), \ mathbb {P} (Y = k) } \ right) = \ min (1-p, e ^ {- p}) + \ min (p, pe ^ {- p}) = 1-p + pe ^ {- p},}

és

μo({(x,y)|x≠y}) = P(x≠Y) = o(1-e-o) ≤ o2.{\ displaystyle \ mu _ {p} (\ {(x, y) \, | \, x \ neq y \}) \ = \ \ mathbb {P} (X \ neq Y) \ = \ p \ left ( 1-e ^ {- p} \ jobbra) \ \ leq \ p ^ {2}.}

Következtetés

Adunk magunknak egy olyan független véletlen változó szekvenciát, amelynek értékei a síkban vannak, úgy, hogy a szekvencia minden tagjának valószínűségi törvénye Jelöljük és a két koordinátát és beállítjuk (Zk,nem)1≤k≤nem,{\ displaystyle (Z_ {k, n}) _ {1 \ leq k \ leq n},}Zk,nem{\ displaystyle Z_ {k, n}}μok,nem.{\ displaystyle \ mu _ {p_ {k, n}}.}xk,nem{\ displaystyle X_ {k, n}}Yk,nem{\ displaystyle Y_ {k, n}}Zk,nem,{\ displaystyle Z_ {k, n},}

Wnem=∑k=1nál nélnemYk,nem.{\ displaystyle W_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, Y_ {k, n}.}

Így :

• őket egymástól függetlenek, és kövesse Bernoulli törvényeit paraméterekxk,nem{\ displaystyle X_ {k, n}}ok,nem ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• összegüknek S n tehát megvan a törvénye, amelyet tanulmányozni akarunk;
• őket egymástól függetlenek, és kövesse Poisson jogszabályok paraméterekYk,nem{\ displaystyle Y_ {k, n}}ok,nem ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• W n a paraméter Poisson-eloszlását követi, amely a paraméterek független Poisson-változóinak összegeλnem = ∑k=1nál nélnemok,nem,{\ displaystyle \ lambda _ {n} \ = \ \ sum _ {k = 1} ^ {a_ {n}} \, p_ {k, n},}ok,nem ;{\ displaystyle p_ {k, n} \;}
• különösen a javasolt közelítés történhet a következők szerint:P(Snem∈NÁL NÉL){\ displaystyle \ mathbb {P} \ bal (S_ {n} \ A \ jobb oldalon)}

P(Wnem∈NÁL NÉL) = ∑ℓ∈NÁL NÉLλnemℓe-λnemℓ! ;{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (W_ {n} \ A \ jobbra) \ = \ \ sum _ {\ ell \ A} \, {\ frac {\ lambda _ {n} ^ {\ ell } \, e ^ {- \ lambda _ {n}}} {\ ell!}} \;}

• P(xk,nem≠Yk,nem) ≤ ok,nem2.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n}) \ \ leq \ p_ {k, n} ^ {2}.}

Nekünk van

P(Snem∈NÁL NÉL)-P(Wnem∈NÁL NÉL)≤P(Snem∈NÁL NÉL)-P(Wnem∈NÁL NÉL és Snem∈NÁL NÉL)=P(Snem∈NÁL NÉL és Wnem∉NÁL NÉL)≤P(Snem≠Wnem){\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A {\ text {et}} S_ {n} \ in A \ right) \\ & = \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A {\ text {et}} W_ {n} \ notin A \ right) \\ & \ leq \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ neq W_ {n} \ right) \ end {aligned}}}

és, cseréjével szerepe a W n , és hogy az S N ,

|P(Snem∈NÁL NÉL)-P(Wnem∈NÁL NÉL)|≤P(Snem≠Wnem).{\ displaystyle \ left | \ mathbb {P} \ left (S_ {n} \ in A \ right) - \ mathbb {P} \ left (W_ {n} \ in A \ right) \ right | \ leq \ mathbb {P} \ balra (S_ {n} \ neq W_ {n} \ jobbra).}

Sőt, mint

{Snem≠Wnem} ⊂ {∃k mint például xk,nem≠Yk,nem},{\ displaystyle \ {S_ {n} \ neq W_ {n} \} \ \ alhalmaz \ \ bal \ {\ létezik k {\ text {például}} X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ jobb \},}

arra következtetünk

{ω∈Ω|Snem(ω)≠Wnem(ω)} ⊂ ⋃1≤k≤nál nélnem{ω∈Ω|xk,nem(ω)≠Yk,nem(ω)},{\ displaystyle \ {\ omega \ in Omega \, | \, S_ {n} (\ omega) \ neq W_ {n} (\ omega) \} \ \ subset \ \ bigcup _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ left \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, X_ {k, n} (\ omega) \ neq Y_ {k, n} (\ omega) \ right \},}

Végül

P(Snem≠Wnem) ≤ ∑1≤k≤nál nélnemP(xk,nem≠Yk,nem) ≤ ∑1≤k≤nál nélnem ok,nem2.{\ displaystyle \ mathbb {P} \ balra (S_ {n} \ neq W_ {n} \ jobbra) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ mathbb {P} \ balra (\, X_ {k, n} \ neq Y_ {k, n} \ right) \ \ leq \ \ sum _ {1 \ leq k \ leq a_ {n}} \ p_ {k, n} ^ {2} .}

Birtokolni

Megjegyzések

1. Eredeti cikk: (in) L. Le Cam , "  An Approximation Theorem for the Binomial Distribution Poisson  " , Pacific Journal of Mathematics , vol.  10, n o  4,1960, P.  1181–1197 ( online olvasás , hozzáférés : 2009. május 13. ). Az interneten elérhető referencia: (en) Torgny Lindvall , Előadások a kapcsolási módszerről , New York / Chichester / Brisbane (Ausztrália), John Wiley & Sons ,1992, 1 st  ed. , 257  o. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , p.  4-6.
2. (a) AD Barbour , L. Holst , és S. Janson , Poisson-közelítés , Oxford, Clarendon Press, Oxford University Press,1992, 277  o. ( ISBN  0-19-852235-5 ).
3. View (in) Torgny Lindvall , Előadások a kapcsolási módszerről , New York / Chichester / Brisbane (Ausztrália), John Wiley & Sons ,1992, 1 st  ed. , 257  o. ( ISBN  0-471-54025-0 ) , p.  18-20, 1.5 szakaszKülönösen az 5.2. Tétel, a távolságváltozással való kapcsolat megvitatására , valamint annak bizonyítására, hogy ez a terminál még mindig elérhető egy megfelelő X és Y épület használatával .

Bibliográfia

• en) Torgny Lindvall , Előadások a kapcsolási módszerről , Dover Publications ,2002. augusztus 30, 2 nd  ed. , 272  p. , puhakötésű ( ISBN  0-486-42145-7 és 978-0486421452 , online olvasható )

Összekapcsolt oldalak

• Lucien Le Cam
• Bernoulli törvénye
• Poisson-törvény
• Csatolás (valószínűségek)

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">