Csonka törvény
A valószínűség és a statisztika szempontjából a csonka törvény feltételes törvény, amely egy másik valószínűségi törvényből származik , ahol csak a húzásokat tartjuk meg egy meghatározott időközönként. Világosabban: a valós támogatás véletlenszerű X változója esetén , amelynek eloszlásfüggvénye F , a valós intervallumon csonkolt eloszlás [ a , b ] egyszerűen X feltételes eloszlása | a ≤ X ≤ b . Ez a fajta helyzet a statisztikai cenzúrában merül fel. Például a munkanélküli idő hosszának tanulmányozásához a megfigyelési idő alatt néhány ember már munkanélküli volt a vizsgálat kezdetén, de ebben az időszakban munkát talált (csonkolás a bal oldalon), mások pedig elveszítik munkájukat és munkanélküliek maradnak a vizsgálat végén (jobb csonkolás). A csonka törvény vizsgálata ezután lehetővé teszi a valószínűségi függvény értékelését.
Sűrűség
Valódi támogatással rendelkező, véletlenszerű X változó esetén , amelynek eloszlásfüggvénye F és f sűrűség , megmutathatjuk, hogy az X tényleges intervallummal való kondicionálása [ a , b ] :
P(x≤x|nál nél≤x≤b)=P(nál nél≤x≤x)P(nál nél≤x≤b)=F(x)-F(nál nél)F(b)-F(nál nél){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq x | a \ leq X \ leq b) = {\ frac {\ mathbb {P} (a \ leq X \ leq x)} {\ mathbb {P} (a \ leq X \ leq b)}} = {\ frac {F (x) -F (a)} {F (b) -F (a)}}}A és . A társított g sűrűség az
x∈[nál nél;b]{\ displaystyle x \ itt: [a; b]}F(x)=∫-∞xf(u)du{\ displaystyle F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x} f (u) \, \ mathrm {d} u}
g(x)=f(x|nál nél≤x≤b)=f(x)F(b)-F(nál nél){\ displaystyle g (x) = f (x | a \ leq X \ leq b) = {\ frac {f (x)} {F (b) -F (a)}}}mert , különben 0. g sűrűség, mivel
x∈[nál nél;b]{\ displaystyle x \ itt: [a; b]}
∫nál nélbg(x)dx=1F(b)-F(nál nél)∫nál nélbf(x)dx=1{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {F (b) -F (a)}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = 1}.
Vannak más csonkolások is; az { X > y } típusú csonkolás esetén a sűrűség lesz
g(x)=f(x|x>y)=f(x)1-F(y){\ displaystyle g (x) = f (x | X> y) = {\ frac {f (x)} {1-F (y)}}},
for és g ( x ) = 0 mindenhol máshol.
y<x{\ displaystyle y <x}
Egy típusú csonkolás esetén a sűrűség:
x≤y{\ displaystyle X \ leq y}
g(x)=f(x|x≤y)=f(x)F(y){\ displaystyle g (x) = f (x | X \ leq y) = {\ frac {f (x)} {F (y)}}}a és 0 egyébként.
x≤y{\ displaystyle x \ leq y}
Csonka véletlen változó várakozása
Az X elvárása az { X > y } eseménytől függ
.
E(x|x>y)=11-F(y)∫y∞xf(x)dx{\ displaystyle \ mathbb {E} (X | X> y) = {\ frac {1} {1-F (y)}} \ int _ {y} ^ {\ infty} xf (x) \, \ mathrm {d} x}
Legyen a és b a kezdeti változó támasza, a C 1 osztályú függvény esetében a függvénynek van néhány tulajdonsága:
x↦u(x){\ displaystyle x \ mapsto u (x)}y↦E(u(x)|x>y){\ displaystyle y \ mapsto \ mathbb {E} (u (X) | X> y)}
-
limy→nál nélE(u(x)|x>y)=E(u(x)){\ displaystyle \ lim _ {y \ to} \ mathbb {E} (u (X) | X> y) = \ mathbb {E} (u (X))} ;
-
limy→bE(u(x)|x>y)=u(b){\ displaystyle \ lim _ {y \ to b} \ mathbb {E} (u (X) | X> y) = u (b)} ;
-
∂∂y[E(u(x)|x>y)]=f(y)1-F(y)[E(u(x)|x>y)-u(y)]{\ displaystyle {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} [\ mathbb {E} (u (X) | X> y)] = {\ frac {f (y)} {1-F (y) }} [\ mathbb {E} (u (X) | X> y) -u (y)]} ;
-
limy→nál nél∂∂y[E(u(x)|x>y)]=f(nál nél)[E(u(x))-u(nál nél)]{\ displaystyle \ lim _ {y \ a} {\ frac {\ részleges} {\ részleges y}} [\ mathbb {E} (u (X) | X> y)] = f (a) [\ mathbb {E} (u (X)) - u (a)]} ;
-
limy→b∂∂y[E(u(x)|x>y)]=12u′(b){\ displaystyle \ lim _ {y \ to b} {\ frac {\ partitális {\ részleges y}} [\ mathbb {E} (u (X) | X> y)] = {\ frac {1} { 2}} u '(b)}.
Természetesen feltételezzük , hogy a következő határok léteznek:, és ahol c vagy a vagy b .
limy→vs.u′(y)=u′(vs.){\ displaystyle \ lim _ {y \ to c} u '(y) = u' (c)}limy→vs.u(y)=u(vs.){\ displaystyle \ lim _ {y \ to c} u (y) = u (c)}limy→vs.f(y)=f(vs.){\ displaystyle \ lim _ {y \ to c} f (y) = f (c)}
Csonka normális törvény
A leggyakrabban használt csonka törvény a csonka normális törvény , amelyet egy normális törvényből nyernek . Az ökonometria során a tobit és a probit modellben használják a cenzúrázott adatok és a bináris választási valószínűségek modellezésére.
Ha , és hogy a megkötés X tartoznak az intervallum [ a , b ] az . Ekkor a csonka sűrűség
x∼NEM(μ,σ2){\ displaystyle X \ sim {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2}) \!}-∞≤nál nél<b≤∞{\ displaystyle - \ infty \ leq a <b \ leq \ infty}
f(x;μ,σ,nál nél,b)=1σΦ(b-μσ)-Φ(nál nél-μσ)φ(x-μσ),{\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma, a, b) = {\ frac {\ frac {1} {\ sigma}} {\ Phi ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} ) - \ Phi ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}})}} \ varphi \ bal ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma}} \ jobb),}ahol a sűrűsége a standard normális eloszlás és a eloszlásfüggvény . Kényszerítjük azt a megállapodást, hogy ha , akkor és ugyanígy, ha , akkor .
φ(⋅) {\ displaystyle {\ varphi (\ cdot)} \}Φ(⋅) {\ displaystyle {\ Phi (\ cdot)} \}b=∞ {\ displaystyle {b = \ infty} \}Φ(b-μσ)=1{\ displaystyle {\ Phi \ left ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ right) = 1}}nál nél=-∞ {\ displaystyle {a = - \ infty} \}Φ(nál nél-μσ)=0{\ displaystyle {\ Phi \ left ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}} \ right) = 0}}
A kettős csonkítás időpontja
E(x|nál nél<x<b)=μ+φ(nál nél-μσ)-φ(b-μσ)Φ(b-μσ)-Φ(nál nél-μσ)σ,{\ displaystyle \ mathbb {E} (X | a <X <b) = \ mu + {\ frac {\ varphi ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}}) - \ varphi \ left ({ \ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra}} {\ Phi \ balra ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra) - \ Phi ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}})}} \ sigma,}
Var(x|nál nél<x<b)=σ2[1+nál nél-μσφ(nál nél-μσ)-b-μσφ(b-μσ)Φ(b-μσ)-Φ(nál nél-μσ)-(φ(nál nél-μσ)-φ(b-μσ)Φ(b-μσ)-Φ(nál nél-μσ))2].{\ displaystyle \ kezelőnév {Var} (X | a <X <b) = \ sigma ^ {2} \ left [1 + {\ dfrac {{\ frac {a- \ mu} {\ sigma}} \ varphi \ balra ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra) - {\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ varphi \ balra ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra)} {\ Phi \ balra ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra) - \ Phi \ balra ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}} \ jobb)}} - bal ({\ dfrac {\ varphi \ left ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma}} \ jobb) - \ varphi \ left ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra)} {\ Phi \ balra ({\ frac {b- \ mu} {\ sigma}} \ jobbra) - \ Phi \ balra ({\ frac {a- \ mu} {\ sigma }} \ jobbra}}} \ jobbra) ^ {2} \ jobbra]. \!}
Egyszerű csonkítás céljából ezek a pillanatok válnak
E(x|nál nél<x)=μ+σλ(α){\ displaystyle \ mathbb {E} (X | a <X) = \ mu + \ sigma \ lambda (\ alfa)}és
Var(x|x>nál nél)=σ2[1-δ(α)]{\ displaystyle \ kezelőnév {Var} (X | X> a) = \ sigma ^ {2} [1- \ delta (\ alpha)]}val vel α=(nál nél-μ)/σ,λ=φ(α)/[1-Φ(α)]ésδ(α)=λ(α)[λ(α)-α].{\ displaystyle \ alpha = (a- \ mu) / \ sigma, \; \ lambda = \ varphi (\ alpha) / [1- \ Phi (\ alpha)] \; {\ text {és}} \; \ delta (\ alfa) = \ lambda (\ alfa) [\ lambda (\ alfa) - \ alfa].}
Véletlenszerű csonkolás
Vegye figyelembe a következő konfigurációt: egy csonkítási értéket, mondjuk t , véletlenszerűen, egy nem megfigyelhető g ( t ) valószínűségi sűrűségből veszünk. Ezután megfigyeljük az f ( x | t ) csonka sűrűségből levont x értéket . Az x megfigyeléséből szeretnénk jobban megérteni a t sűrűségét .
Definíció szerint már rendelkezünk:
f(x)=∫x∞f(x|t)g(t)dt{\ displaystyle f (x) = \ int _ {x} ^ {\ infty} f (x | t) g (t) \, \ mathrm {d} t}és
F(nál nél)=∫-∞nál nél[∫x∞f(x|t)g(t)dt]dx{\ displaystyle F (a) = \ int _ {- \ infty} ^ {a} \ left [\ int _ {x} ^ {\ infty} f (x | t) g (t) \, \ mathrm {d } t \ right] \, \ mathrm {d} x}t- nek nagyobbnak kell lennie, mint x , és ezért, amikor integrálódunk a t fölé , akkor x- t kell beállítanunk alsó határként.
Bayes-tétel szerint:
g(t|x)=f(x|t)g(t)f(x){\ displaystyle g (t | x) = {\ frac {f (x | t) g (t)} {f (x)}}}aki válik
g(t|x)=f(x|t)g(t)∫x∞f(x|t)g(t)dt{\ displaystyle g (t | x) = {\ frac {f (x | t) g (t)} {\ displaystyle \ int _ {x} ^ {\ infty} f (x | t) g (t) \ , \ mathrm {d} t}}}Példa: két egységes változó
Feltételezve, hogy t egyenletesen oszlik el [0; T ] és hogy X | t is egyenletesen oszlik el, ezúttal [0; t ]. Legyen g ( t ) és f ( x | t ) a t, illetve az x-et leíró sűrűség . Feltételezzük, hogy megfigyeljük az x értékét , és a t adott x eloszlása az
g(t|x)=f(x|t)g(t)f(x)=1t(ln(t)-ln(x)) mert t>x.{\ displaystyle g (t | x) = {\ frac {f (x | t) g (t)} {f (x)}} = {\ frac {1} {t (\ ln (t) - \ ln (x))}} \ quad {\ text {for}} t> x.}Lásd is
Hivatkozások
- Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5. kiadás). Prentice Hall. ( ISBN 0-13-066189-9 )
- Norman L. Johnson és Samuel Kotz (1970). Folyamatos egyváltozós eloszlások-1 , fejezet. 13. John Wiley & Sons.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">