A jellemzők módszere

A matematika , a módszer jellemzőit egy technika megoldására parciális differenciálegyenletek . Különösen alkalmas szállítási problémákra, számos területen alkalmazzák, például folyadékmechanikában vagy részecskeszállításban.

Bizonyos esetekben a jellemzők módszere lehetővé teszi a részleges differenciálegyenlet tisztán analitikai felbontását. A bonyolultabb esetekben (amelyek például a fizikai rendszerek modellezésében találkoztak) a jellemzők módszere úgy használható, mint a probléma numerikus megoldásának módszere.

Analitikai módszer

Általános elv

Egy elsőrendű parciális differenciálegyenlet , a jellegzetes módszer úgy néz ki a görbék (úgynevezett „jellemző vonalak”, vagy egyszerűbben „jellemzőkkel”), amely mentén a parciális differenciálegyenlet csökkenti, hogy egy egyszerű közönséges differenciálegyenlet . A közönséges differenciálegyenlet egy jellemző mentén történő megoldása lehetővé teszi az eredeti probléma megoldásának megtalálását.

Példa: A transzportegyenlet analitikai felbontása

Funkciót keresünk : u{\ displaystyle u}

u:(x,t)∈R×R+↦u(x,t)∈R{\ displaystyle u: (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+} \ mapsto u (x, t) \ in \ mathbb {R}}

a következő probléma megoldása:

{∂u∂t+vs.∂u∂x=0,(x,t)∈R×R+u(x,0)=u0(x),x∈R{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {ll} \ displaystyle {\ frac {\ részleges u} {\ részleges t}} + c {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} = 0 , \ quad & (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+} \\ u (x, 0) = u_ {0} (x), & x \ in \ mathbb {R} \ end {tömb}} jobb.}

hol van egy állandó. vs.{\ displaystyle \ textstyle c}

Olyan jellegzetes vonalat keresünk, amely mentén ez az elsőrendű parciális differenciálegyenlet egy közönséges differenciálegyenletre redukálódna. Számítsuk ki egy ilyen görbe mentén a deriváltját : (x(s),t(s)){\ displaystyle \ textstyle \ bal (x (s), t (s) \ jobb)}u{\ displaystyle u}

ddsu(x(s),t(s))=dx(s)ds∂u∂x(x(s),t(s))+dt(s)ds∂u∂t(x(s),t(s)).{\ displaystyle {\ frac {d} {ds}} u \ bal (x (s), t (s) \ jobb) = {\ frac {dx (s)} {ds}} \, {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} bal (x (s), t (s) \ jobb) + {\ frac {dt (s)} {ds}} \, {\ frac {\ részleges u} {\ részleges t}} \ balra (x (s), t (s) \ jobbra).}

Mi lesz könnyű észrevenni, hogy azáltal, és kapjuk, hogy: dtds=1{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dt} {ds}} = 1}dxds=vs.{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {dx} {ds}} = c}

duds=∂u∂t+vs.∂u∂x=0.{\ displaystyle {\ frac {du} {ds}} = {\ frac {\ részleges u} {\ részleges t}} + c {\ frac {\ részleges u} {\ részleges x}} = 0}

Az egyenlet megoldása tehát a karakterisztikus vonal mentén állandó marad.

Így három rendes differenciálegyenlet jön a megoldásra:

• dtds=1{\ displaystyle {\ frac {dt} {ds}} = 1} : pózolva megszerezzük:t(0)=0{\ displaystyle \ textstyle t (0) = 0}

∀s∈R+,t(s)=s{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {R} ^ {+}, \ quad t (s) = s}

• dxds=vs.{\ displaystyle {\ frac {dx} {ds}} = c} : megjegyezve megkapjuk:x(0)=x0{\ displaystyle \ textstyle x (0) = x_ {0}}

∀s∈R+,x(s)=x0+vs.s=x0+vs.t{\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {R} ^ {+}, \ quad x (s) = x_ {0} + c \, s = x_ {0} + c \, t}

• duds=0{\ displaystyle {\ frac {du} {ds}} = 0} :

∀s∈R+,u(s)=u(0)=u(x0,0)=u0(x0){\ displaystyle \ forall s \ in \ mathbb {R} ^ {+}, \ quad u (s) = u (0) = u (x_ {0}, 0) = u_ {0} (x_ {0}) }

Ebben az esetben a jellegzetes vonalak tehát egyenes meredekségű vonalak , amelyek mentén a megoldás állandó marad. A megoldás értéke egy pontban tehát megtalálható, ha a kezdő feltétel értékét keresi a karakterisztika kezdőpontjánál : vs.{\ displaystyle \ textstyle c}(x,t)∈R×R+{\ displaystyle \ textstyle (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+}}u0{\ displaystyle \ textstyle u_ {0}}x0=x-vs.t{\ displaystyle \ textstyle x_ {0} = xc \, t}

∀(x,t)∈R×R+,u(x,t)=u0(x-vs.t).{\ displaystyle \ forall (x, t) \ in \ mathbb {R} \ times \ mathbb {R} ^ {+}, \ quad u (x, t) = u_ {0} (xc \, t).}

A lineáris differenciáloperátorok általános kerete

Legyen X lehet egy differenciálható sokaság és P egy lineáris differenciáloperátor az önmagában rend k . Adva egy x i koordináta-rendszert , P beírható formába VS∞(x){\ displaystyle C ^ {\ infty} (X)}

P=∑|α|≤kPα(x)∂∂xα{\ displaystyle P = \ sum _ {| \ alpha | \ leq k} P ^ {\ alpha} (x) {\ frac {\ partial} {\ részleges x ^ {\ alfa}}}}

ahol α több indexet jelöl . A P fő szimbóluma , amelyet σ P jelöl , a T ∗ X kotangens köteg függvénye, amelyet egy coordin i helyi koordinátarendszer határoz meg .

σP(x,ξ)=∑|α|=kPα(x)ξα{\ displaystyle \ sigma _ {P} (x, \ xi) = \ sum _ {| \ alpha | = k} P ^ {\ alpha} (x) \ xi _ {\ alpha}}

ahol a ξ i koordinátákat a d x i differenciálok indukálják . Ez lehetővé teszi, hogy σ P van jól definiált a csomagot.

A funkció σ P jelentése homogén fokú k a ξ. Ezek a nullák a T * X nulla szakaszán, a P jellemzői . Az F ( x ) =  c egyenlet által definiált X hiperfelületet akkor nevezzük az x karakterisztikus hiperfelületnek, ha

σP(x,dF(x))=0.{\ displaystyle \ sigma _ {P} (x, dF (x)) = 0.}

Állandó

A Riemann-invariánsok a parciális differenciálegyenletek jellegzetes görbéi mentén állandóak.