A matematikában a közönséges differenciálegyenlet (néha egyszerűen differenciálegyenletnek hívják , rövidítve ODE- ként ) olyan differenciálegyenlet, amelynek ismeretlen függvénye (i) csak egy változótól függenek; ezeknek az ismeretlen függvényeknek és egymást követő származékaiknak a kapcsolata formájában jelenik meg .
A szokásos kifejezést a részleges differenciálegyenlet (gyakrabban parciális differenciálegyenlet vagy PDE ) kifejezéssel szemben használjuk, ahol az ismeretlen függvény (ek) egynél több változótól függhetnek. A cikk további részében a differenciálegyenlet kifejezést a szokásos differenciálegyenlet jelentésére használjuk .
A differenciálegyenlet sorrendje annak a maximális levezetési foknak felel meg, amelynek az egyik ismeretlen függvényt alávetették. Van egyfajta hivatkozási forma, amelyre különféle matematikai módszerekkel próbáljuk visszahozni a közönséges differenciálegyenleteket:
,elsőrendű egyenlet, ahol X az ismeretlen függvény, és t annak változója.
A differenciálegyenletek egy elsődleges fontosságú vizsgálati objektumot jelentenek, mind a tiszta matematikában , mind az alkalmazott matematikában . A fizikai és biológiai evolúciós folyamatok matematikai modelljeinek felépítésére használják őket , például a radioaktivitás , az égi mechanika vagy a populációdinamika tanulmányozásához ... A t változó ekkor gyakran képviseli az időt, még akkor is, ha d más modellezési lehetőség is lehetséges.
A hétköznapi egyenletek elméletének fő célkitűzései a teljes explicit felbontás, amikor lehetséges, a hozzávetőleges felbontás numerikus analízis módszerével , vagy a megoldások kvalitatív vizsgálata. Ez az utolsó terület fokozatosan növekedett, és a kortárs matematika hatalmas ágának: a dinamikus rendszerek tanulmányozásának egyik fő összetevőjét alkotja .
Még ha nem is a tudományág szülte a differenciálegyenleteket, a népességdinamika egyszerűen szemlélteti a leginkább hozzáférhető példákat. Így egy izolált populáció vizsgálata bőséges táplálékot termelő környezetben a következő modellhez vezet a számhoz az idő függvényében :
,vagyis a népesség növekedése mindenkor arányos a népesség nagyságával . Ennek az egyenletnek a megoldásai az exponenciális növekedés jelenségét tárják fel .
Két összetettebb, zsákmányból és ragadozóból álló rendszer vezet a Lotka-Volterra egyenletekhez
A számos ragadozó , hogy a ragadozók . Visszatérünk az előző esetre, ha nulla. A mennyiség a találkozás valószínűsége, amely negatívan befolyásolja az egyik populációt (a zsákmányt), pozitívan a másikat (a ragadozókat). A jelen lévő populációk ismeretében bármikor leírhatjuk a tendenciát. Ez a két egyenlet összekapcsolódik, vagyis együtt kell őket megoldani. Matematikailag úgy kell felfogni őket, hogy a pár ismeretlen egyetlen egyenlete . Ha a kezdeti populáció nagysága ismert, a későbbi evolúció tökéletesen meghatározható. Az egyik ellentétesen bemutatott evolúciós görbe mentén történik, amely ciklikus viselkedést mutat.
Az egyik leghíresebb differenciálegyenlet a Newton dinamikájának alapvető kapcsolata : hol van egy részecske tömege, a rá kifejtett erő és az ebből adódó gyorsulás. Egyenes vonalú mozgás esetén, ha a megtett erő a helyzet függvénye (például rugó esetén ), akkor megkapjuk az alak egyenletét
Ezúttal a mozgás tökéletes meghatározása érdekében meg kell adnia magának a kezdeti helyzetet és sebességet.
A differenciálegyenlet által szabályozott dinamikus rendszer jellemzői a következők:
A differenciálegyenletek determinisztikus aspektusának különösen erős következményei vannak, és matematikailag a Cauchy-Lipschitz-tétel konkretizálja .
Hadd E lehet egy normalizált vektortér . A közönséges differenciálegyenlet (amelyet a cikk többi részében egyszerűen differenciálegyenletnek nevezünk ) a forma egyenlete
ahol F egy folytonos függvény egy ℝ × E n + 1 nyitott U- n , úgynevezett tartomány.
Ennek a differenciálegyenletnek a sorrendje az ott előforduló legmagasabb származék n sorrendje . Legyen y lehet függvénye x által meghatározott intervallum I a E és Y ' , Y " , ..., y ( n ) a egymást követő származékok a függvény y . Ez a funkció y nevezzük oldatot, ha az a C osztályú n és ha
A differenciálegyenlet megoldása az y megoldási függvények megkeresését jelenti . Például az y "+ y = 0 differenciálegyenletnek van egy általános megoldása: y ( x ) = A cos x + B sin x , ahol A, B komplex állandók (amelyek meghatározhatók, ha hozzáadunk kezdeti feltételeket ).
A differenciálegyenletben az y függvény lehet például egy véges dimenziós vektortérben lévő értékekkel , tehát ha y- nek van y 1 és y 2 komponense :
A fizika gyakorlata kapcsolt differenciálegyenletek rendszeréről szól. De a matematika gyümölcsöző nézőpontja az, hogy csak egy egyenletet látunk a vektorértékű függvényhez .
A definíciót még mindig kibővíthetjük, figyelembe véve a differenciálegyenleteket a differenciálcsatornákon .
Az n sorrendű differenciálegyenlet megoldott formába kerül, amikor a legerősebb deriváltat tudjuk kifejezni x és az előző származékok függvényében
Az n nagyságrendű differenciálegyenlet
olvasható első rendű egyenletként is, amelynek értéke E n , ismeretlen függvény v ( x ) = ( y 0 ( x ),…, y n - 1 ( x )). Az egyenletet valóban átírják, megjegyezve, hogy y = y 0 :
vagy újra, meghatározásával f által f ( x , v 0 , ..., V n - 1 , w 0 , ..., w n - 1 ) = ( w 0 - v 1 , ..., w n - 2 - V n - 1 , F ( x , v 0 ,…, v n - 1 , w n - 1 ):
Ha az n sorrend egyenlete megoldott formában lenne
az 1. sorrend egyenértékű egyenlete szintén a következő lesz:
A g ( x , v 0 , ..., V n - 1 ) = ( v 1 , ..., V n - 2 , G ( x , v 0 , ..., V n - 1 )).
Sőt, mindkét esetben (implicit forma vagy megoldott forma), ha az n sorrend egyenlete autonóm volt , az 1 sorrend egyenlete is autonóm lesz (vagyis ha F vagy G nem függ az x változótól, akkor f vagy g vagy) és ha az egyenlet lineáris volt , akkor az is marad. Például a 2. sorrend lineáris differenciálegyenlete , megoldott és autonóm
első rendű egyenletgé alakul át a ℝ 2 értékeivel : az új differenciálegyenlet ismeretlen függvénye ↦ 2 x ↦ v ( x ) = ( y ( x ), z ( x )) függvény and 2-ben és az egyenlet meg van írva:
Ha y az differenciálegyenlet megoldása az I intervallumon, akkor figyelembe vehetjük annak korlátozását az I. intervallumban szereplő J intervallumra. Ez marad a differenciálegyenlet megoldása. A megoldást integrálgörbének is nevezzük.
Gyakran ésszerű csak a maximális megoldásokat figyelembe venni, más néven maximális integrálgörbéket, vagyis azokat, amelyek nem korlátozzák másokat. A meghatározási intervallumot maximális intervallumnak nevezzük.
Nem szabad azonban azt hinni, hogy a maximális megoldásokat ℝ egész számra határozzuk meg. Nagyon is lehetséges, hogy a jövőben vagy a múltban véges élettartamuk lesz. Ez a helyzet például az y '= y 2 egyenlet megoldásaival .
Ha azonban a megoldás továbbra is egy kompakt tartományra korlátozódik , akkor annak végtelen élettartama van.
PéldaAz elsőrendű skaláris differenciálegyenlet megoldott formában: y '= G ( x , y ), egyszerű geometriai értelmezést enged meg a tengelyek ( Ox ), ( Oy ) koordinátarendszerre redukált síkban . Az x , y koordináták minden pontján rögzítve ábrázolhatjuk az 1. és a G ( x , y ) komponens vektorát, amely a sík vektorterét alkotja . A megoldási görbék az y = f ( x ) függvények grafikus ábrázolásai , folyamatosan differenciálhatók, amelyeknek az egyes pontjaiban az érintőjét a vektormező adja.
Megoldott forma és implicit formaA megoldott formában feltehető differenciálegyenletek jó elméleti tulajdonságokkal rendelkeznek, bizonyos feltételezések mellett a létezés és a megoldások egyediségének tétele: a Cauchy-Lipschitz-tétel .
Egyébként azt mondjuk, hogy a differenciálegyenlet implicit formában van. Megpróbáljuk a lehető legnagyobb területeken megoldani a differenciálegyenletet. Ezután össze kell kapcsolnunk a kapott megoldásokat. Az ilyen típusú differenciálegyenletek kezelését a cikk végén említjük.
Egy kezdeti állapot (vagy Cauchy állapot), egyenlet számára annak érdekében, n ismeretlen y az adat az érték x 0 és n vektorok Y 0 , ..., Y n -1 . A megoldásfüggvény kielégíti ezeket a kezdeti feltételeket y if
Cauchy-probléma egy differenciálegyenlet megadása a kezdeti feltételek halmazával.
A differenciálegyenlet kirakott formában , bizonyos rendszerességgel feltételezés ( helyben Lipschitzian karakter át x rögzített, tekintettel a blokk egyéb változók), a Cauchy-Lipschitz tétel kimondja, hogy minden egyes kezdeti feltétel:
Egy másik klasszikus probléma a határfeltételek , amelyekhez egy megoldásfüggvény értékeit több pontban írják elő, vagy akár egy megoldásfüggvény határainak értékeit a tartomány határainál. Tehát a probléma:
Egy ilyen problémának (amelyet néha Dirichlet-problémának hívnak ) nagyon nincs megoldása, vagy éppen ellenkezőleg, a megoldási funkciók végtelensége.
A megadott példában a megoldások az x ↦ k sin ( x ) alak függvényei , bármely k állandóra .
A kvadrátum szerinti felbontás, amely a differenciálegyenlet megoldásainak explicit formájának megszerzéséből áll, a szokásos függvények és a primitivációs operátor használatával, ritkán lehetséges. Kevés számú, bizonyos formájú egyenlet csökkenthető a változók egymást követő változtatásával a legegyszerűbb egyenletre: az egyenletre , amely egyszerű primitiváció.
Között a differenciálegyenletek, hogy lehet teljesen megoldott a skalár lineáris egyenletek sorrendben 1 , a külön változók egyenletekben , a homogén egyenletek az elsőrendű , a Bernoulli-egyenlet , vektor differenciálegyenletek állandó együtthatók.
Mások teljesen megoldhatók, ha ismert egy adott megoldás, például a 2. sorrend lineáris differenciálegyenlete , a Riccati differenciálegyenlet .
A kvadrátum szerinti felbontás hiányában néha lehetőség van a megoldások legalább lokális kifejezésére keresni, egész sorozat formájában . Ezt a megközelítést, amelyet szisztematikusan alkalmaznak a lineáris differenciálegyenletek bizonyos osztályain, Frobenius-módszernek nevezzük .
Az x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 kezdeti feltételek adatai egyedi megoldási függvényt határoznak meg, amelyet S ( x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 , x ) jelöléssel jelölhetünk . Így definiálunk egy globális S függvényt, amely az áramlás nevét veszi (néha áramlásnak vagy áramnak is nevezik), és amely figyelembe veszi, hogy a megoldások hogyan változnak a kezdeti feltételektől. Létterülete nyitott .
A Cauchy-Lipschitz-tétel hipotéziseinek elfogadásával a megoldások folyamatosan függenek a kiindulási feltételektől, vagyis hogy az S függvény a változóinak halmazának folyamatos függvénye.
Ha a rendszer folyamatosan függővé válik egy λ paramétertől, akkor az S folytonossága is fennáll ehhez a paraméterhez képest. Valójában egy paraméter hozzáadása csökkenthető a rendszer módosításával. Elég, ha egy component komponenst hozzáadunk a keresett függvényhez, és megkérjük, hogy ellenőrizze a Λ '= 0 egyenletet és a kezdeti feltételt Λ ( x 0 ) = λ.
Legyen y a differenciálegyenlet sajátos megoldása x 0 , Y 0 ,…, Y n –1 kezdeti feltételekkel . A folytonosság tulajdonsága lehetővé teszi a megoldások viselkedésének megadását a szomszédos kezdeti feltételeknek megfelelően.
Az (ℝ, 0) megoldás Az x '= f ( t , x ) differenciálegyenlet stabil, ha van Liapunov-függvény .
Az előző folytonossági tulajdonságokat körültekintően kell kezelni, mivel ezek nem szolgáltatnak számszerűsített információkat. A gyakorlatban számos rendszereknél extrém hosszú távú érzékenység a kis kezdeti változatok, a jelenség népszerűsítette Edward Lorenz , mint a pillangó hatás . A fizikai rendszer hosszú távú fejlődésének kielégítő számbavétele érdekében elképzelhetetlen pontosságra lenne szükség a kezdeti feltételek mérésére. Ezért nagyon hosszú távú meteorológiai előrejelzések számításába kell foglalni a pillangószárnyak veréséig.
A differenciálegyenletek által szabályozott rendszerek, bár elvileg determinisztikusak, rendkívül összetett viselkedést mutathatnak, és rendezetlenek, kaotikusak lehetnek. Henri Poincaré elsőként tisztázta ezt a determinisztikus káosz fogalmát . Elképzeléseit lassan fogják felhasználni, de most a dinamikus rendszerek elméletének alapjául szolgálnak .
Fontos konkrét eset, hogy ahol a változó nem jelenik meg a funkcionális egyenletben, akkor autonómnak minősül: így az y '= f ( y ) egyenlet .
A fizika törvényei általában az idő függvényeire vonatkoznak, és autonóm differenciálegyenletek formájában kerülnek bemutatásra, amely megmutatja e törvények változatlanságát időben. Tehát, ha egy autonóm rendszer egy T időintervallum után visszatér eredeti helyzetébe , ezért tudja a t időszak időszakos változását .
Az autonóm egyenletek vizsgálata ekvivalens a vektormezőkével . Az elsőrendű egyenlet szempontjából a megoldások olyan görbék családját alkotják, amelyek nem keresztezik egymást (a Cauchy-Lipschitz tétel szerint ), és amelyek kitöltik a teret. Minden pontban érintenek a vektormezőt.
Lásd még: „ Poincaré-Bendixson tétel ”.
A differenciálegyenlet akkor mondható lineárisnak, ha az egyenlet kifejezése lineáris (vagy általánosabban affin) a változók blokkjához viszonyítva . Az n nagyságrendű és ismeretlen y lineáris skaláris differenciálegyenlet formájú
hol vannak a numerikus függvények.
Egy vektor lineáris differenciálegyenlet rend n azonos aspektusa, helyettük lineáris térképek (vagy gyakran mátrixok) funkcióit x . Egy ilyen egyenletet néha lineáris differenciálrendszernek is neveznek .
A lineáris differenciálegyenletek megoldási formája:
A holomorf differenciálegyenlet egy komplex változó homológja egy közönséges differenciálegyenletnek. Az általános elmélet sokkal összetettebb.
A holomorf differenciálegyenlet megoldott formában kielégíti a Cauchy-Lipschitz-tétel analógját: a megoldásfüggvény lokális létezése és egyedisége, maga holomorf.
Továbbá, ha az egyenlet holomorf módon függ a paraméterektől, akkor a megoldás is. A kezdeti körülmények között van holomorf függőség is.
Egyetlen maximális megoldásnál azonban általában nincs kapcsolat.
Még a legegyszerűbb differenciálegyenletnél is vannak nehézségek: a primitívek kiszámítása . Például egy olyan funkció felépítése, mint a komplex logaritmus , nem egyértelmű. Megpróbálhatjuk a logaritmusfüggvény meghatározásait a lehető legnagyobb nyílásokra felépíteni: például osztott síkokra. Építhetünk egy primitívet is „egy út mentén”. Ekkor jelenik meg a monodromia jelensége : ha az út az origó körüli közvetlen irányba fordul, akkor az antidivatív konstans (2iπ) módosítja. A helyzet számbavétele érdekében be kell vonni a bevonat , a kapcsolódási pont fogalmait .
A teljesítményfüggvények egyszerű differenciálegyenletek megoldásai is, amelyek valószínűleg monodromiát mutatnak be. Így a z '= –z 3 egyenlet nem fogad el nulla nélküli holomorf megoldást, sőt a meromorfot sem az egész síkon.
A megoldott formában alkalmazott lineáris holomorf differenciálegyenletek elmélete nagyon hasonlít a valós változó egyenleteihez, mindaddig, amíg az ember egyszerűen kapcsolódó területeken marad . Egyébként ez elágazási pont típusú problémákat is felvet .
A differenciálegyenletek kvadratúrával történő megoldása (vagyis elemi műveletek és primitiváció alkalmazásával) csak nagyon korlátozott esetekben lehetséges. Például még a 2. rendű skaláris lineáris differenciálegyenletek sem ismerik el az ilyen általános megoldási képletet. Ezért elengedhetetlen a hozzávetőleges felbontási technikák használata.
Ez a legrégebbi és legegyszerűbb módszer elméleti érdeklődéssel is bír, mivel lehetővé teszi a megoldások létezésének eredményének bizonyítását a Cauchy-Lipschitz tételnél gyengébb hipotézisek mellett: ez a Cauchy- tétel - Peano-Arzela .
Első rendű differenciálegyenletet tekintünk megoldott alakban y '= f ( x , y ), az y ( x 0 ) = y 0 kezdeti feltétellel .
Az alapelv az, hogy az y megoldást [ a , b ] -nként darabos affin függvénnyel közelítjük meg , a paraméter diszkrétálásával:
hol a lépés.A darabonkénti affin függvény ezért csatlakozik a koordináta pontokat ( x i , y i ), és ez az a kérdés, javasolja egy algoritmust kell építeni az y i re y 0 . Minden intervallumon [ x i , x i +1 ] az affin szegmens meredekségét vesszük figyelembe, amelyet az egyenlet javasol: f ( x i , y i ).
A legklassikusabbak a Runge-Kutta módszerek , a Newmark módszerek , a véges különbségek módszere vagy a véges elem módszerek, amelyek jobban megfelelnek a PDE-k számára.
Legyen az implicit differenciálegyenlet
Ennek tanulmányozásához szabályozzuk a síkot : megkülönböztetjük azokat az értékeket ( x , y ), amelyekre az egyenlet 0, 1 vagy 2 megoldást enged meg. Három régiók kapunk U , V , W . Region V a parabola az egyenlet , régiók U és W a két nyitottak , hogy behatárolja.
Kezdjük azzal, hogy megvizsgáljuk azokat a megoldásokat, amelyek csak a három tartomány egyikén vannak ábrázolva
E két egyenlet mindegyike kielégíti a Cauchy-Lipschitz-tételt . Ha csak a nyitott W-re szorítkozunk , akkor pontosan két megoldás létezik minden kezdeti megoldás-párra. A szemközti ábrán kék színnel vannak rajzolva. Jelen esetben szintén egyenesekről, egyenletről van szó
Érintik az egyenlet paraboláját . Pontosabban, ábrázolt W megoldások ezek a vonalak, amelyeket W sorsától az érintő ponton állítottak meg .
Most a teljes síkon tanulmányozhatjuk a differenciálegyenletet. Ekkor vannak „hibrid” megoldások, amelyek egy C 1 módon összekötnek egy parabola ívet (zöld) a egyenes vonalakkal (kék). Tehát a piros színnel látható megoldás:
Ilyen összeköttetést meg lehet valósítani egy V ponttal . Az összes megoldás halmazának leírását az x 0 , y 0 kezdeti feltétel függvényében tárgyalva végezzük
Ennek a tanulmánynak az általánosításához háromdimenziós térbe kell helyezni önmagát ( x , y , p ) koordinátákkal . Társult a differenciálegyenlet a felülete egyenlet F ( x , y , p ) = 0 (a koordináta p használják, hogy képviselje y ' ). A megoldások a felületre rajzolt görbék. A felmerült nehézségek abból adódnak, hogy ezek a görbék az ( x , y ) síkra vetülnek . A vetítés alkalmazás tapasztalatai kritikus pont azokon a pontokon, ahol a gradiens a F a „vertikális”. Ezek a pontok vetülnek ki a zöld példabeszédbe.
Végül a keret tanul implicit differenciálegyenletek ugyanaz, mint a boríték elmélet . A parabola, a szinguláris megoldás itt a vonalak családjának borítéka, szabályos megoldások.