Lotka-Volterra predációs egyenletek

A matematika , a Lotka-Volterra ragadozó egyenletek , más néven a „zsákmány-ragadozó modell”, egy pár az elsőrendű nemlineáris differenciálegyenletek , és általánosan használt, hogy leírja a dinamikáját. Biológiai rendszerek, amelyekben egy ragadozó és annak zsákmány kölcsönhatásba lépnek. Alfred James Lotka 1925-ben és Vito Volterra 1926- ban önállóan javasolta őket .

Ezt az egyenletrendszert hagyományosan modellként használják a hiúz és a mezei nyúl hó dinamikájához , ezért gyűjtött sok terepi adatot mindkét faj populációiról a Xud . Században a Hudson-öböl társasága . Allan Hobson a REM-alvásért felelős kolinerg idegsejtek és az ébrenléthez kapcsolódó aminerg idegsejtek közötti kapcsolatok leírására is felhasználta .

Egyenletek

Gyakran írják:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {ccc} {\ dfrac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} és = & x (t) \ {\ nagy (} \ alpha - \ beta y (t) {\ Nagy)} \\ {\ dfrac {\ mathrm {d} y (t)} {\ mathrm {d} t}} & = & y (t) \ { \ Big (} \ delta x (t) - \ gamma {\ Big)} \ end {tömb}} \ jobb.}

vagy

$t$ az idő ;
$x (t)$ a zsákmány száma az idő függvényében;
$y (t)$ a ragadozók száma az idő függvényében;
a származékok és a populációk időbeli változását jelentik. ${\ displaystyle \ mathrm {d} x (t) / \ mathrm {d} t}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} y (t) / \ mathrm {d} t}$

Az alábbi paraméterek jellemzik a két faj kölcsönhatását :

$\ alfa$ , a zsákmány belső reprodukciós sebessége (állandó, függetlenül a ragadozók számától);
$\ béta$ , Ragadozó halálozási arány miatt a ragadozók találkozott;
$\delta$ , a ragadozók szaporodási aránya a tapasztalt és elfogyasztott zsákmányok szerint;
$\gamma$ , a ragadozók belső halálozási aránya (állandó, függetlenül a zsákmányok számától);

Az egyenletek fizikai jelentése

A kifejlesztés után az egyenletek a fizikai értelmezés szempontjából hasznos formát öltenek.

Áldozat

A zsákmányegyenlet:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ alpha x (t) - \ beta x (t) y (t)}

Feltételezzük, hogy a zsákmányoknak korlátlan élelemforrása van, és exponenciálisan szaporodnak, ha semmilyen ragadozásnak nincs kitéve; ezt az exponenciális növekedést a fenti egyenlet képviseli a kifejezéssel . A ragadozók ragadozásának arányát feltételezzük, hogy arányos a ragadozók és a zsákmányok találkozásának gyakoriságával; fent ábrázolja . Ha bármelyik kifejezés vagy nulla, akkor nem lehet ragadozás. ${\ displaystyle \ alpha x (t)}$ ${\ displaystyle \ beta x (t) y (t)}$ $x (t)$ $y (t)$

Ezzel a két kifejezéssel az egyenlet ezután a következőképpen értelmezhető: a zsákmányok számának változását saját növekedése adja meg, mínusz a rájuk alkalmazott ragadozási arány.

Ragadozók

A ragadozóegyenlet:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ delta x (t) y (t) - \ gamma y (t)}

Ebben az egyenletben a ragadozó populáció növekedését jelenti. Vegye figyelembe a ragadozás mértékével való hasonlóságot; azonban egy másik állandót használnak, mert a ragadozó populáció növekedésének sebessége nem feltétlenül egyenlő azzal a sebességgel, amellyel a zsákmányt elfogyasztja. Ezenkívül a ragadozók természetes halálát jelenti; ez exponenciális csökkenés. Az egyenlet tehát a ragadozó populáció változását jelenti, mivel a populáció növekedése mínusz a természetes halálozások számával. ${\ displaystyle \ delta x (t) y (t)}$ ${\ displaystyle \ gamma y (t)}$

Az egyenlet megoldása

Globális viselkedés

Bizonyítjuk, hogy egy olyan kezdeti feltételhez, amely kielégíti, és az egyedi maximális megoldás minden valós t-re meg van határozva , és kielégíti $t_ {0}$ ${\ displaystyle x (t_ {0})> 0}$ ${\ displaystyle y (t_ {0})> 0}$

{\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R}, \ x (t)> 0, \ y (t)> 0}

A függvény ekkor a mozgás első integrálja: állandó. ${\ displaystyle F: (x, y) \ mapsto \ beta y + \ delta x- \ alfa \ ln y- \ gamma \ ln x}$ ${\ displaystyle t \ mapsto F (x (t), y (t))}$

A maximális megoldások periodikusak, és pályájuk zárt, határolt.

A megoldásoknak nincs egyszerű kifejezésük a szokásos trigonometrikus függvények használatával. Egy hozzávetőleges, linearizált megoldás azonban egyszerű harmonikus mozgást kínál, a ragadozó populáció 90 ° -kal (negyedperiódussal) a zsákmányé mögött.

Átlagos megoldások

Lehetséges azonban kiszámítani az átlagokat és a megoldásokat egy olyan időszakra, ahol az az időszak van. Nekünk van ${\ displaystyle \ langle x \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle y \ rangle}$ ${\ displaystyle [t, t + T]}$ ${\ displaystyle T> 0}$

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t} ^ {t + T} x (s) \, \ mathrm {d} s = {\ frac {\ gamma } {\ delta}}}

és

{\ displaystyle \ langle y \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t} ^ {t + T} y (s) \, \ mathrm {d} s = {\ frac {\ alfa } {\ beta}}.}

Ezért kiszámíthatóan láthatjuk, hogy ha növeljük a ragadozók mortalitását , az átlagos zsákmányállomány növekszik, és ha csökkentjük a ragadozók szaporodási arányát, akkor a ragadozók átlagos populációja csökken. Így, ha a két faj eltűnésének feltételeit (például halászat, vadászat stb. Miatt) hozzáadjuk az egyenletekhez, azaz $\gamma$ $\ alfa$

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {ccc} {\ dfrac {\ mathrm {d} x (t)} {\ mathrm {d} t}} és = & x (t) \ {\ nagy (} \ alpha - \ beta y (t) {\ Nagy)} - \ varepsilon x (t) \\ {\ dfrac {\ mathrm {d} y (t)} {\ mathrm {d} t}} & = & y (t) \ {\ Big (} \ delta x (t) - \ gamma {\ Big)} - \ phi y (t) \ end {tömb}} \ jobb.}

-val , akkor az eszközöket a és . ${\ displaystyle \ varepsilon, \ phi> 0}$ ${\ displaystyle \ langle x \ rangle = {\ frac {\ gamma + \ phi} {\ delta}}}$ ${\ displaystyle \ langle y \ rangle = {\ frac {\ alpha - \ varepsilon} {\ beta}}}$

Rendszerdinamika

Az alkalmazott modellben a ragadozók akkor fejlődnek, ha a zsákmány nagy, de végül kimerítik erőforrásaikat és hanyatlanak. Amikor a ragadozó populáció kellően csökkent, a szünetet élvező zsákmányok szaporodnak, és populációjuk ismét megnő. Ez a dinamika a növekedés és a hanyatlás ciklusában folytatódik.

A népesség egyensúlya

A populáció egyensúlyi állapota akkor figyelhető meg, amikor a két jelenlévő populáció közül egyik sem alakul ki, vagyis amikor a megfelelő származékok nullaak, ami egyenletrendszert eredményez:

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {tömb} {lcl} x (t) (\ alpha - \ beta y (t)) & = & 0 \\ - y (t) (\ gamma - \ delta x ( t)) & = & 0 \ end {tömb}} \ jobb.}

amely a megoldásokra vonatkozik:

{\ displaystyle \ left \ {y (t) = 0, x (t) = 0 \ right \} \ quad \ mathrm {vagy} \ quad \ left \ {y (t) = {\ frac {\ alpha} { \ beta}}, x (t) = {\ frac {\ gamma} {\ delta}} \ jobb \}}

Az első alternatíva megfelel egy végső kihalás mindkét faj, a második értékek függ négy paraméter , , és amelyhez a két populáció stabil marad a végtelenségig. $\ alfa$ $\ béta$ $\gamma$ $\delta$

Fixpontos stabilitás

A rögzített pontok stabilitása a részleges differenciálrendszer linearizálásával határozható meg. A rendszer jakob mátrixa az

{\ displaystyle J (x (t), y (t)) = {\ begin {bmatrix} \ alpha - \ beta y (t) & - \ beta x (t) \\\ delta y (t) & \ delta x (t) - \ gamma \\\ end {bmatrix}}}

Első rögzített pont

Az első rögzített pontnál ez a mátrix veszi fel az értéket: $(0.0)$

{\ displaystyle J (0,0) = {\ kezdete {bmatrix} \ alpha & 0 \\ 0 & - \ gamma \\\ end {bmatrix}},}

amelynek sajátértékei vannak :

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = \ alfa, \ quad \ lambda _ {2} = - \ gamma.}

Ezek a sajátértékek mindig ellentétes előjelűek, ami azt mutatja, hogy ez a rögzített pont egy oszlop . Ezért ez nem egy stabil rögzített pont, ami különösen azt mutatja, hogy e modell szerint a két játékban élő faj kihalása nehezen elérhető.

Második rögzített pont

A jakob mátrix második fix ponton történő értékelésével a következő értéket kapjuk:

{\ displaystyle J \ bal ({\ frac {\ gamma} {\ delta}}, {\ frac {\ alpha} {\ beta}} \ right) = {\ begin {bmatrix} 0 & - {\ frac {\ beta \ gamma} {\ delta}} \\ {\ frac {\ alpha \ delta} {\ beta}} és 0 \\\ end {bmatrix}}}

és sajátértékei:

{\ displaystyle \ lambda _ {1} = i {\ sqrt {\ alpha \ gamma}}, \ quad \ lambda _ {2} = - i {\ sqrt {\ alpha \ gamma}}}

Ez a rögzített pont tehát egy fókusz, pontosabban egy központ, ami azt jelenti, hogy a ragadozók és a ragadozók populációi ebben a rögzített pontban ingadoznak az értékeik körül.

Megjegyzések és hivatkozások

(a) Alfred J. Lotka, a Fizikai Biology , Williams & Wilkins Company,1925, 460 p.
(in) V. Volterra , " Matematikailag tekintett fajok számának ingadozása " , Nature , n o 118,1926, P. 558-60
J. Allan Hobson, " Az idegálmodó ", Science et Avenir Hors-Série "Le Rêve" ,1996 december( online olvasás )
demonstrációját lásd a linkre az oldal alján a Wikiversity .

Függelékek

Bibliográfia

Vito Volterra és Marcel Brelot , az élet küzdelmének matematikai elmélete , Párizs, Éditions Gauthier-Villars,1931( újranyomás. fakszimile 1990. - szerk. Gabay J.), 216 p. ( ISBN 2-87647-066-7 )
Nicolas Bacaër , Matematika és populációk története , Párizs, Éditions Cassini, koll. "Só és vas",2008, 212 p. ( ISBN 978-2-84225-101-7 ) , "Lotka és a" fizikai biológia "/ Volterra és az" életért folytatott harc matematikai elmélete ".
ER Leigh (1968) Az ökológiai szerepe Volterra egyenletek, az bizonyos matematikai problémák biológia - a modern beszélgetés segítségével Hudson-öböl Társaság adatai hiúz és a nyulak a Kanada a következőtől: 1847-ben , hogy 1903-as .
A nemlineáris dinamika megértése . Daniel Kaplan és Leon Glass.
V. Volterra . Az együtt élő állatfajok egyedszámának változásai és ingadozásai. Az állatökológiában . McGraw-Hill, 1931. Az 1928-as kiadásból fordította: RN Chapman.

Kapcsolódó cikkek

Külső linkek

Lotka-Volterra zsákmány-ragadozó szimuláció multi-ágens rendszerként.
Lotka-Volterra ragadozó-zsákmány modellje , Elmer G. Wiens
Lotka-Volterra modell
A ragadozó-ragadozó modellekről az ökológiában. Rövid történelem és interaktív digitális élmények