M-mátrix

A matematika , egy M-mátrixot egy valós négyzetes mátrix , amely egyszerre egy P- mátrixot és egy Z- mátrixot, amely azt jelenti, hogy annak minden főbb kiskorúak vannak szigorúan pozitív és extra-diagonális elemei negatív. Más jellemzések is használhatók, amelyek közül néhányat az alábbiakban adunk meg.

Ezek a mátrixok beavatkoznak a lineáris komplementaritás problémáinak tanulmányozásába és a differenciál operátorok bizonyos diszkrecetizálásaiba, különösen azokba, amelyek a maximális elvnek engedelmeskednek, mint a laplaci.

Úgy tűnik, hogy ezt a mátrixosztályt Alexander Ostrowski vezette be Hermann Minkowskira hivatkozva .

Definíciók

Az M- mátrix fogalma különböző módon határozható meg, természetesen ekvivalens. Az alábbiakban a Z- mátrix , a P- mátrix és az S- mátrix fogalmakat használjuk .

M Mátrix - Azt mondjuk, hogy egy valós négyzetes mátrix egy M Mátrix , ha ez egy Z Mátrix , és ha az alábbi egyenértékű tulajdonságokkal rendelkezik, azzal egyenértékű, feltételezve, hogy : $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ szor n}}$ $M \ in \ mathbf {Z}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {P}}$ ,
${\ displaystyle M \ in \ mathbf {S}}$ ,
$M$ megfordítható és (inverzének minden eleme pozitív), ${\ displaystyle M ^ {- 1} \ geqslant 0}$
az összes sajátértéknek szigorúan pozitív valós része van. $M$

Jelölje M halmaza M -matrices bármilyen sorrendben. Úgynevezett M -matricité tulajdonát mátrix tartozni M .

Tulajdonságok

Lineáris algebra

A LU tényezők egy M Mátrix létezik, és ki lehet számítani egy stabil módon, anélkül, hogy elforduló. Ez a tulajdonság a hiányos LU-faktorizációra is érvényes.

Lineáris komplementaritás

A lineáris komplementaritási probléma egy olyan vektor megtalálásából áll , amely és Ebben a definícióban az átültetésre kerül, és az egyenlőtlenségeket komponensenként kell érteni. Ezt a problémát néha tömören megjegyzik az alábbiak szerint ${\ displaystyle x \ geqslant 0,}$ $Mx + q \ geqslant 0$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!} (Mx + q) = 0.}$ ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ szor n},}$ ${\ displaystyle q \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle x ^ {\! \ top \!}}$ $x$

${\ displaystyle {\ mbox {CL}} (M, q) \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.}$

Az elfogadható sor ennek a problémának jegyezni

$\ mbox {Adm} (M, q): = \ {x \ in \ R ^ n: x \ geqslant 0, ~ Mx + q \ geqslant 0 \}.$

Az M- mátrixok fontossága a lineáris komplementaritási problémákban a következő eredményből származik.

M- mátrix és lineáris komplementaritási probléma - Egy mátrixesetében a következő tulajdonságok egyenértékűek: $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ szor n}}$

${\ displaystyle M \ in \ mathbf {M}}$ ,
minden , tartalmaz legalább (a sorrendben a ), amely az egyetlen megoldás az , $q$ $\ operátor neve {Adm} (M, q)$ $\ leqslant$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ operátor neve {CL} (M, q)$
az összes vektor , a megoldások , hogy ellenőrizze . ${\ displaystyle q ^ {1} \ leqslant q ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {i}}$ ${\ displaystyle \ kezelőnév {CL} (M, q ^ {i})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} ^ {1} \ geqslant {\ bar {x}} ^ {2}}$

Függelékek

Megjegyzések

(in) Bermon és Plemmons (1994) 134., 161. oldal (a 6. fejezet 2.3 és 6.1 osztályzási tétele).

Kapcsolódó cikkek

Bibliográfia

(en) A. Bermon, RJ Plemmons (1994). Nem negatív mátrixok a matematikai tudományokban . Ipari és Alkalmazott Matematikai Társaság, Philadelphia, USA. ( ISBN 0898713218 ) .
(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). A lineáris komplementaritási probléma . Alkalmazott matematika klasszikusai 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) RA Horn, Ch. R. Jonhson (1991). Témák a mátrixelemzésben . Cambridge University Press, New York, NY, USA.