Egyenlet

A matematikában , és különösen az algebrában , az egyenlet egy probléma átalakítását jelöli, amely hétköznapi nyelven fejeződik ki, vagy a tudomány vagy a technika egy másik ágából származik, egyenletgé (vagy a kezdeti probléma összetettségétől függően több egyenletgé). Ez az átalakítás végül lehetővé teszi az egyenletelmélet módszereinek felhasználását a kezdeti probléma megoldására.

Tágabb értelemben az „egyenlőség” jelöli a jelenség bármilyen matematikáját, amely különböző típusú matematikai képletekhez vezet , például differenciálegyenletekhez vagy részleges származékokhoz . A jelenség egyenlete minden tudományban és technikában általában előfordul, és a modellezéshez kapcsolódik .

Franciaországban a hétköznapi egyenletbe való beavatkozást főiskolai szintről közelítik meg, és fontos szerepet játszik a középfokú oktatás matematikai programjában.

Az egyenlet négy szakasza

A kézikönyvek a probléma egyenletének négy szakaszát különböztetik meg:

1. Az ismeretlen (vagy ismeretlenek) megválasztása  : El kell dönteni, hogy a probléma állításában melyik mennyiséget ábrázolja egy algebrai szimbólum, és ismeretlenül használják. Egyszerű feladatok esetén közvetlenül azt a mennyiséget (vagy mennyiségeket) választjuk meg, amelynek problémája kéri az értéket. Bonyolultabb problémák esetén célszerű lehet másként választani az ismeretleneket, hogy egyszerűsítsük a megoldandó egyenleteket.
2.  Saját egyenlet : Ez a probléma összes releváns adatának az ismeretlen (vagy ismeretlenek) függvényében való kifejezéséből áll, egy vagy több egyenlet megszerzése érdekében.
3. Egyenletek megoldása  : Ez pusztán matematikai, abban az értelemben, hogy a vizsgált esetre az algebrai számítás szabályait és az általánosan megállapított felbontási eljárásokat kell alkalmazni.
4. Ellenőrzés  : a harmadik lépésben talált értékeknek (vagy az ebből adódó egyenlet (ek) nek, a probléma típusától függően), amelyeket szükség esetén a probléma nyelvére átírunk, a kiindulási probléma megoldásainak kell lenniük.

A folyamat előnyei

A megközelítés legfőbb előnye, hogy van egy hatékony eszköz, jelen esetben algebrai számítás, amely lehetővé teszi a megoldások keresésének szisztematikus megszervezését. Már nem szükséges minden egyes esetben reprodukálni a numerikus számítások haladását a probléma adataitól a megoldásig. Az első két szakasz, az egyenlet lehetővé teszi az adott probléma általános felbontási keretekké történő redukálását. Az egyenlet technika "az állítás adatainak strukturálásának egyik módját" hozza létre, és olyan technikaként írható le, amely "helyettünk gondolkodik".

Egy másik potenciális előny abban rejlik, hogy számos, nagyon változatos megjelenésű probléma egyenlet alapján csökkenthető ugyanarra az egyenletre. Ez lehetővé teszi bizonyos analógiák kiemelését, mint például a mechanika és az elektromosság között.

Példák

1. példa: Számtani probléma egyenlete

• Probléma: Az apa háromszorosa a lányának. A 10 éves ő lesz kétszerese. Hány éves a kettő?
• Első lépés: választhatunk például ismeretlen x a lány életkora.
• Második lépés (egyenlet): a feladat összes adata x függvényében van kifejezve . Az apa jelenlegi kora 3x , életkora 10 év alatt 3x + 10 , a lánya életkora 10 év alatt x + 10 . Tehát megvan a 3x + 10 = 2 (x + 10) egyenlet .
• Harmadik lépés: ezt az egyenletet algebrai számítással oldjuk meg. Van 3x-2x = 20-10 , vagy x = 10 .
• Negyedik lépés: ellenőrizzük, hogy a megtalált érték ad-e megoldást a problémára, a lánya 10 éves , az apa pedig 30 éves .

Megjegyzés: választhattuk volna az első életkorban ismeretlennek az apa életkorát, vagy választhatunk két ismeretlent (az apa és a lánya életkorát). A köztes egyenletek eltérőek lehetnek, de a végeredmény változatlan.

2. példa: Egy geometriai probléma egyenlete

• Probléma: Különböző A, B, C, D, E pontokat adunk úgy, hogy az ABCD négyzet , az ABE derékszögű háromszög A-ban és az AE hossza 3 cm. Meddig kell lennie az ABCD négyzet oldalának, hogy a négyzet és a háromszög területe megegyezzen?

• Első lépés: tudjuk választani például ismeretlen x mérési cm oldalán a tér.

• Második lépés: Egy egyenletbe tesszük, a probléma adatait x függvényében kifejezve . Az ABCD négyzet területe x 2 , az ABE háromszög területe (x.3) / 2. Ekkor a probléma az lesz, hogy x- et találunk úgy, hogy ez a két terület egyenlő, vagy pedig, hogy x kielégíti az x 2 -1,5 x = 0 egyenletet .

• Harmadik lépés: megoldjuk az egyenletet a standard algebrai számítás segítségével, két lehetséges értéket találunk: x = 0 vagy x = 1,5 .

• Negyedik lépés: visszatérünk a kezdeti formulához, hogy ellenőrizzük, a talált értékek megoldják-e a kiinduló problémát. Az x = 0 megoldás nem megfelelő, mert akkor az ABCD négyzet egyetlen pontra redukálódna, a feladat megoldása az 1,5 érték.

3. példa: Probléma egyenlete paraméterekkel

• Probléma: Egy keverék, amelynek m tömegét ismerjük , két alkotórészből áll. Ismerve a teljes keverék P árát , valamint az egyes alkotóelemek egységnyi tömegének árát, meg tudjuk-e határozni az egyes összetevők mennyiségét, amelyek belépnek a keverék összetételébe?
• Első lépés: x és y ismeretlenül választjuk meg az egyes alkotóelemek kívánt tömegmennyiségét tömegegységben kifejezve.
• Második lépés: az egyes komponensek hívásával és az állandó egységárakkal egyenletbe foglaljuk a problémát:P1{\ displaystyle P_ {1}}P2{\ displaystyle P_ {2}}

- az x + y összeg a keverék m tömegét fejezi ki .

- a termékek összege kifejezi a teljes keverék P árát . xP1+yP2{\ displaystyle xP_ {1} + yP_ {2}}

Az eredmény egy olyan rendszer két egyenletek 1 -jén  fok két ismeretlenes, paraméterekkel.

{x+y=mxP1+yP2=P{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x + y = m \\ xP_ {1} + yP_ {2} = P \ end {mátrix}} jobb.}

• Harmadik és negyedik lépés: ez a két egyenletből álló, két ismeretlen rendszer ezután az elemi algebra problémaként kezelhető, és a talált értékeket (a paramétereknek megfelelően és ) ellenőrizni tudja.P1{\ displaystyle P_ {1}}P2{\ displaystyle P_ {2}}

4. példa: Parallelepipedális tartály térfogatának optimalizálása

Probléma: Egy téglalap alakú blankból készült párhuzamos oldalú konténer méreteinek optimalizálása, amelynek hossza és szélessége ismert. Egy ilyen tálca elkészítéséhez ezért a nyersdarab minden sarkából ki kell vágni egy négyzetet, amelynek oldalának hossza megegyezik a tálca magasságával.

Első lépés: az ismeretlen x- et választjuk a tartály magasságának képviseletére.

Második lépés (egyenlet): ahol a = a blank hossza és b = a blank szélessége, a tartály térfogatának egyenletét x függvényében a képlet adja meg

V(x)=(nál nél-2x)(b-2x)x{\ displaystyle V (x) = (a-2x) (b-2x) x}.

Is

V(x)=4x3-2(nál nél+b)x2+nál nélbx{\ displaystyle V (x) = 4x ^ {3} -2 (a + b) x ^ {2} + abx}.

Harmadik lépés: a problémát a megfelelő matematikai eszközök segítségével kezeljük.

A térfogat akkor éri el a lokális optimumot, amikor a származék eltűnik és jelet vált: V′(x){\ displaystyle V '(x)}

V′(x)=3x2-(nál nél+b)x+14nál nélb=0{\ displaystyle V '(x) = 3x ^ {2} - (a + b) x + {\ frac {1} {4}} ab = 0}

Ez a derivált másodfokú egyenlet. Gyökerei a következők:

x1=nál nél+b+nál nél2-nál nélb+b26.ésx2=nál nél+b-nál nél2-nál nélb+b26.{\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {a + b + {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}} \ quad {\ text {and}} \ quad x_ {2} = {\ frac {a + b - {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}}}.

A kuka optimális magassága a két érték egyike

x1vagyx2.{\ displaystyle x_ {1} \ quad {\ text {vagy}} \ quad x_ {2}.}

Negyedik lépés: Ezután ellenőrizhetjük, hogy ezek az értékek megfelelőek-e.

5. példa: A kutya görbéje

Ezt a görbét, amelyet üldözési görbének is neveznek, leírja egy kutya, aki megpróbálja utolérni gazdáját, és mindig a pályáját irányítja felé. Ennek a problémának az egyenlete egy másodrendű differenciálegyenletet eredményez . Az 1–4. Példákkal ellentétben az eredményt nem számok, hanem útegyenlet formájában fejezik ki.

Egyenlet az oktatásban

Franciaországban a jelenlegi főiskolai program (2014) a következőket tartalmazza:

• osztály 4 -én , a „szó használata számítási egyenlet beállítására és különböző problémák megoldásában”, és a képesség, hogy „Equate és megoldani a problémát, ami az első fokú egyenlet egy ismeretlen”.
• A 3 rd osztály , szóló szakaszban egyenletek és egyenletrendszerek az első fokú, a tanulás, hogyan kell „egyenlőségjelet tesznek a probléma.”

Az algebra és az egyenlet azonban nem része a közös alapnak.

Az egyenlet tehát a problémamegoldáshoz kapcsolódik. Miután rendszeresen megjelent a tankönyvekben, ez az eljárás szinte teljesen eltűnt az úgynevezett modern matematikai reform során. A legújabb didaktikai megközelítések, amelyek ösztönzik a probléma-alapú tanulást, visszahozták a reflektorfénybe.

Ugyanakkor munkákat és munkacsoportokat szenteltek annak a sok nehézségnek, amelyekkel a tanulók találkoztak ennek a megközelítésnek az asszimilálásában. Számos tényezőt azonosítottak így: a hallgatók vonakodása az egyenleteken keresztül kitérőt tenni egy probléma megoldása érdekében, az a törés, amelyet ez a megközelítés közvetlenebb számtani megközelítésekből képvisel, az ismeretlenek megválasztásával és értelmezésével kapcsolatos kétség, a szimbolikus nyelv, az egyenlőség állapota, a kezdeti problémához való visszatérés bonyolultsága és a talált értékeknek megfelelő helyzet ábrázolása stb.

Egy Tunéziában végzett tanulmány rámutatott arra is, hogy beavatkoztak a különféle nyelvekbe (ebben az esetben az arab, a francia és az algebrai szimbolikába).

Megjegyzések és hivatkozások

1. Philippe Lombard , "  Palimpseste  ", Bulletin de l'APMEP , vol.  466,2006( online olvasás ).
2. Manuel Sésamath, 3. osztály, új program , 5. generáció, 2012, 276  p. , P.  40.
3. 2008. augusztus 28-i 6. hivatalos hivatalos közlemény, lásd: online http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf .
4. A kutatócsoport zárójelentése: „Segítség a nehéz helyzetben lévő tanulóknak az egyenletbe helyezésében”, GIR 79, Rennes IREM, 2007 .
5. a kutatócsoport zárójelentése: „Segítség a nehéz helyzetben lévő tanulók egyenletbe hozatalában”, GIR 79, Rennes IREM, 2005 .
6. R. Sutherland (szerk.) , Az algebra megközelítései, a kutatás és az oktatás perspektívái , Dordrecht, Kluwer,1996és J. Gascon : „  Az elemi algebra új modellje az általánosított számtan alternatívájaként  ”, Petit x , t .  37,1995, P.  43-63.
7. Lalina Coulange , "  Az egyenletbe hozható " konkrét "problémák a tanításban  ", Petit x , Grenoble, vol.  19,1997és Lilana Coulange, A tanári gyakorlatok tanulmányozása ökológiai és gazdasági szempontból. Eset az egyenletrendszerek és az egyenletbeállítás tanításáról harmadik osztályban , a Grenoble-i Egyetem tézisei, 2000.
8. Sonia Ben Nejma Az egyenlet beállítás 1 -jén évben a tunéziai középiskolai átmenet főiskola / gimnázium, diplomamunka a matematika, a University of Tunisz, 2004. Sonia Ben Nejma "  A nehézségek a algebrai felbontása első fokú problémák  ”, RADISMA , vol.  5,2010( online olvasás )

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

• Matematikai modell

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">