Medián (geometria)

A legáltalánosabb értelemben vett medián egy háromszögben egy vonalat jelöl, amely összeköti a háromszög három csúcsának egyikét a szemközti oldal közepén .

Tágabb, a síkgeometria , a medián egy négyszög a szegmensek összekötő a felezőpontja két ellentétes oldalán.

Végül a tér geometriájában a tetraéder mediánjai a tetraéder egyik csúcsán és a másik három izobarycenterén áthaladó vonalak .

Háromszög geometriája

Egy háromszög ABC , a medián a vertex A a vonal ( AI ), ahol I jelöli a középpontját a szegmens [ B , C ]. A medián kifejezés időnként az [ A , I ] szakaszt jelöli meg , nem a vonalat ( AI ).

Minden medián elválasztja az ABC háromszöget két egyenlő területű háromszögre: az ABI háromszög területe megegyezik az ACI háromszög területével .

Demonstráció

Tekintsük a két ABI és ACI háromszöget .

Hívjuk H ortogonális vetülete pont A vonalon ( BC ).

Mivel én vagyok a szegmens [ BC ] középpontja, BI = CI van . Egy háromszögben az egyik oldal mediánja az a vonal, amely átmegy az oldal közepén és a szög csúcsán.

Az ABI háromszög területe egyenlő . Az ACI háromszög területe egyenlő . Mivel BI = CI , ez a két terület egyenlő. Bén×NÁL NÉLH2{\ displaystyle {\ frac {BI \ times AH} {2}}}VSén×NÁL NÉLH2{\ displaystyle {\ frac {CI \ szor AH} {2}}}

Ugyanígy bizonyítjuk, hogy a B-től és C- től kapott mediánok igazolják ezt a tulajdonságot.

1. A bemutatás másik elemi módja az, ha észreveszi, hogy ez a két háromszög a közös oldal ( AI ) két paralelogrammájának a fele és egymástól lefordítva .

Medián tétel

Az ABC háromszögben , ha I a [ BC ] középpontja, akkor ez az egyenlőség következménye annak, hogy I- t meghatároztam B és C izobarycentrumaként (lásd a barycenterről szóló cikk „Redukció” §-át ). NÁL NÉLB→+NÁL NÉLVS→=2NÁL NÉLén→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} + {\ overrightarrow {AC}} = 2 {\ overrightarrow {AI}}.}

Az "  első medián tétel  " azt állítja

NÁL NÉLB2+NÁL NÉLVS2=12BVS2+2NÁL NÉLén2.{\ displaystyle AB ^ {2} + AC ^ {2} = {1 \ több mint 2} BC ^ {2} + 2AI ^ {2}.}

Ezt ejtette az Apollonius Virágpor és Thales .

Izobarycenter

A háromszög három mediánja egyidejű. Ezek a metszéspont a isobarycenter a három csúcsa, gyakran nevezik a „háromszög súlypontja”. Az egyes mediánok kétharmada a megfelelő csúcstól található. Ez a G izobarycenter kielégíti a vektor relációt:

GNÁL NÉL→+GB→+GVS→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Demonstráció

A [ B, C ] I középpontját a vektoregyenlet határozza meg:

Bén→+VSén→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {BI}} + {\ overrightarrow {CI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

A három A , B és C pont G izobarycenterét a vektoregyenlet határozza meg:

GNÁL NÉL→+GB→+GVS→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + {\ overrightarrow {GB}} + {\ overrightarrow {GC}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Ebből a két egyenletből következtethetünk:

GNÁL NÉL→+2Gén→=0→.{\ displaystyle {\ overrightarrow {GA}} + 2 {\ overrightarrow {GI}} = {\ overrightarrow {0}}.}

Ezért G , A és I egymáshoz igazodnak, más szóval G a mediánhoz ( AI ) tartozik. Megmutatjuk azt is, hogy a másik két mediánhoz tartozik. A három medián tehát nagyon egyidejű. (Ezt a tulajdonságot Ceva-tétel külön esetének is tekinthetjük .)

Van még egy bizonyíték, amely nem használ vektorismeretet.

Demonstráció

Bármely ABC háromszöget és az I , J és K pontokat , az [ AB ], [ AC ] és [ BC ] megfelelő középpontjait , valamint G a mediánok ( CI ) és ( AK ) metszéspontját tekintjük (egy abszurditással érvelve, hogy G jól definiálható, mert a három medián kettőt-kettőt keresztez).

Legyen D szimmetrikus G- vel az I-hez képest . Ekkor az AGBD egy paralelogramma, ezért a ( BD ) párhuzamos az ( AG ) -val , vagyis a ( KG ) -vel. Más szavakkal: G tartozik a párhuzamos ( BD ) áthaladó felezőpontja [ BC ]. Mivel a ( CD ) -hez is tartozik , Thales tételéből arra következtetünk , hogy G a [ CD ] középpontja . A D meghatározása szerint a G pont a [ CI ] -en található, kétharmada C-től .

Összefoglalva, a ( CI ) és ( AK ) metszéspontja a [ CI ] -en van, a kétharmada a C-től .

Ugyanezen érvelés szerint a ( CI ) és ( BJ ) metszéspontja ugyanazon a ponton van. A háromszög három mediánja ezért nagyon egyidejű.

1. Mi lehet beépíteni itt bizonyítja a konkrét esetben, amit használunk, vagyis a fordítottja a középpont tétel , amely helyreállítja az egyenlő szerepek két mediánok venni: legyen E az a szimmetrikus a G képest K . Ahogyan a ( BD ) - amint láttuk - párhuzamos az ( AG ) -val , a ( BE ) egyenes párhuzamos a ( CG ) -vel, más szavakkal: a négyszög BDGE ellentétes oldalai kettesével párhuzamosak. Ezért ez egy paralelogramma, tehát DG = BE = GC .

Sajátosságok

Mindegyik medián egy háromszög, eredő csúcs ( A például) formák a két szomszédos oldalán a háromszög, és a párhuzamos áthaladó, hogy az ellenkező oldalon egy harmonikus gerenda

Az a két vonal, amely a medián közepén csúcsot köt össze a másik két csúcstól, az ellenkező oldalt három egyenlő részre vágja.

A legnagyobb háromszögbe írt ellipszis ( Steiner ellipszise ) a mediánok lábánál érinti a háromszög oldalait.

Mindenesetre háromszög, a négyzetének összege a hossza a három medián , és egyenlő háromnegyede a négyzetének összege az oldalak: mNÁL NÉL{\ displaystyle m_ {A}}mB{\ displaystyle m_ {B}}mVS{\ displaystyle m_ {C}}

mNÁL NÉL2+mB2+mVS2=34(nál nél2+b2+vs.2){\ displaystyle m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2} = {\ frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ { 2} + c ^ {2})}. Demonstráció

A medián tétel háromszoros megírásával az egyes mediánok hosszára

2mNÁL NÉL2=b2+vs.2-12nál nél2{\ displaystyle 2m_ {A} ^ {2} = b ^ {2} + c ^ {2} - {\ frac {1} {2}} a ^ {2}}, 2mB2={\ displaystyle 2m_ {B} ^ {2} =} …, 2mVS2={\ displaystyle 2m_ {C} ^ {2} =} …,

az összeg ad . 2(mNÁL NÉL2+mB2+mVS2)=2(nál nél2+b2+vs.2)-12(nál nél2+b2+vs.2){\ displaystyle 2 (m_ {A} ^ {2} + m_ {B} ^ {2} + m_ {C} ^ {2}) = 2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ { 2}) - {\ frac {1} {2}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

2-vel osztva egyszerűsítéssel megtaláljuk a képletet.

Medián különösen a háromszögekben

Egy egyenlő szárú háromszögben a háromszög alapjához viszonyított medián a háromszög szimmetriatengelye. Szegmensként tekintve a másik két medián azonos hosszúságú. Ezzel szemben, ha egy háromszögben két medián azonos hosszúságú, a háromszög egyenlő szárú.

A derékszögű háromszögben a derékszög csúcsától kapott medián a hipotenusz felét méri. Ezzel szemben, ha egy háromszögben a medián hossza megegyezik a megfelelő oldal hosszának felével, akkor a háromszög derékszögű.

Egy háromszögben a B és C mediánok akkor és csak akkor derékszögűek, ha a háromszög oldalai között a következő összefüggés áll fenn: b 2 + c 2 = 5 a 2 .

Ha a medián AM = , akkor a másik két medián merőleges. 32nál nél{\ displaystyle {\ frac {3} {2}} a}

Mediánok négyszögben

A négyszög mediánjai az ellentétes oldalak középpontját összekötő szakaszok.

• A mediánok a Varignon-féle paralelogramma átlói , középpontjukban keresztezik egymást.
• A barycenterek asszociativitása lehetővé teszi annak igazolását is, hogy a mediánok középpontja a négyszög csúcsainak izobarycentere . A háromszög esetétől eltérően a csúcsok ez az izobari központja nem esik egybe a tömegközépponttal .

Geometria, az űrben

A tér geometriájában a tetraéder mediánjainak nevezzük a tetraéder egyik csúcsát és a három másik izobarycenterét összekötő vonalakat. Ezért négy medián van egy tetraéderben. Olyan pontban metszik egymást, amely a négy csúcs izobarycentruma (lásd Commandino tételét  (de) ). Ugyanez vonatkozik a három bimediánra (két ellentétes él középpontjainak összekapcsolása).

Mindezek a tulajdonságok (a háromszög, a négyszög és a tetraéder) speciális esetei a következő tételnek, a barysor asszociativitásának következményei:

Legyen S egy affin tér véges pontkészlete . Hívjuk medián S minden összekötő szakasz isobarycenters két nem üres rész S komplementer egymással. Tehát az összes medián S metszi az S izobarycentert .

(A két rész pontjainak hányadosa alapján megadhatjuk az izobarycenter helyzetét is a vizsgált szegmensen.)

Egy szabályos tetraéderben (amelynek minden arca egyenlő oldalú háromszög) a mediánok is a magasságok. Azt mondjuk, hogy ez a tetraéder ortocentrikus  (in) , mert a magassága egyidejű (ez általában nem így van egy tetraéderben, ellentétben egy háromszöggel).

A CH 4 metán molekula szemlélteti ezt az esetet: a csúcsokat hidrogénatomok foglalják el; a szénatom ott található, ahol a mediánok találkoznak.

Hivatkozások

1. Pierre-François Compagnon, A geometria elemei , Gauthier-Villars ,1868( online olvasható ) , p.  55-56, 121. §.
2. Az ekvivalencia medián tétel alkalmazásával való igazolásához lásd e dokumentum 4.42. Gyakorlatát .
3. (in) Maria Flavia Mammana, Biagio Micale és Mario Pennisi, "  A sokszögek és polihedrák centridáiról  " , Forum Geometricorum , vol.  8,2008, P.  121–130 ( online olvasás ).
4. (in) Robert B. Kirchner, "  A sokszögek medián tétele  " a Wolfram demonstrációs projektjén .