Hyperreal szám

A matematika , a rendezett test a hiperreális szám meghosszabbítását képező * ℝ a szokásos valós számok , amelyek lehetővé teszik, hogy egy szigorú értelmében a fogalmak végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy mennyiségben. Ezután elkerülhetjük a határátlépések és olyan kifejezések használatát, amelyek ε értéke „olyan kicsi, amennyit csak akarunk”. A halmaz * ℝ egyedisége nincs, de az adott kiterjesztés megválasztása a gyakorlatban csekély hatást gyakorol.

Ahogy a valós számok halmazát racionális számok sorozatából építhetjük fel, úgy a valós számok sorozatából felépíthetjük a hiperreal számok modelljét is. Technikailag használunk egy ultra-power építeni ezt a kiterjesztést. Ezzel egyenértékű módon meg lehet határozni a hiperreal számokat a valós számok nem szabványos modellje segítségével .

Bevezetés: miért a hiperreal?

A XVII .  Század "  végtelen kis  " elemzése , amelyet Leibniz , Johann Bernoulli , Euler és mások szisztematikusan kihasználtak, erős kritikát váltott ki , hasonlóan ahhoz, mint amit a " számok képzeletbeli  " negatív négyzetének bevezetése okozott  . De az utóbbival ellentétben a megfelelő technikai problémákat (például Archimédész axiómájának tagadását ) nem sikerült megoldani, ami a végtelenek fokozatos eltűnéséhez és azok cseréjéhez vezetett Bolzano , Cauchy és Weierstrass miatt, a modern határ , folytonosság stb.

Azonban továbbra is fontolóra vehetjük a valósághoz új objektumok hozzáadását, amelyek szigorú okfejtést tesznek lehetővé végtelenül kicsi felhasználásával, és különféle kísérleteket tettek ebbe az irányba (például Hadamard és du Bois-Reymond ), de ez nem sok sikerrel., Olyan okok miatt, amelyek csak a matematikai logikának világossá kell tennie.

Skolem munkája azonban már 1930-ban kimutatta, hogy a valóság kiterjesztése valós infinitezimális számítást tesz lehetővé. Valójában több ilyen kiterjesztés létezik, de az egyik pontos megválasztása nem jár nagy gyakorlati következménnyel (bár nem mindegyik izomorf); az egyik általában "hiperreal számokat" hív.

A hiperreal (nem reális) szám így jelenthet például egy "bármelyiknél nagyobb" mennyiséget (ezért "végtelenül nagy") vagy "kisebb, mint bármelyik egész inverzét" (ezért végtelenül kicsi), vagy akár egy mennyiséget is végtelenül közel 1, de szigorúan kisebb nála.

Történelmi

1948-ban Edwin Hewitt a valós funkciók gyűrűin végzett munkája részeként meghatározta az ezekkel a számokkal azonosítható tárgyakat, és a " hiper-valós  " nevet adta nekik  . Jerzy Łoś  (en) 1955-ben megmutatta, hogy ezek a testek minden tulajdonsággal rendelkeznek, mint a valóságok elemi kiterjesztése  (i) .

A hatvanas évek elején Abraham Robinsonnak a nem szabványos elemzéssel kapcsolatos munkája részeként meg kellett határoznia a hiperreális számokat, és meg kell adni nekik jelenlegi nevüket, kifejezetten hivatkozva Hewitt munkájára. Robinson csatlakozott Leibniz (és a XVII .  Század többi elemzője) aggályaihoz, és megpróbálta értelmezni a végtelenül kicsi és végtelenül nagy számokat, amelyekről úgy vélik, hogy a valódi hagyományos (vagy standard) összes tulajdonságának "majdnem" minden tulajdonsága megvan.

Robinson felépítése főként modellelméletet használt . Néhány évvel később fedezték fel az ultragyártmányokat tartalmazó kifejezettebb konstrukciót (és amely csatlakozott a Hewitt konstrukcióihoz), és itt fogják kitenni. Ezt követően a nem standard elemzés általánosabb axiomatikus megközelítését, a belső készletelméletet ( Internal Set Theory, IST) javasolta Edward Nelson  : a Zermelo-Fraenkel axiomatikán alapszik , amelyhez három új axióma kapcsolódik; ezen axiómák és következményeik részletes leírását a cikk tartalmazza: nem szabványos elemzés . Ebben az utolsó megközelítésben (amelynek ráadásul sokkal általánosabb alkalmazási területei vannak, mint a végtelen kis számok felépítése), szigorúan véve nem új valóságokat hozunk létre, hanem a valósok között megkülönböztetünk egy gyűjteményt (amely nem meghatározott), a valós standardokat, a többiek viselkednek ezekhez hasonlóan például végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy.

Építkezés

A cél egy olyan végkeret felépítése, amelynek végtelenül nagy és végtelenül kis száma van. Ez overbody kell maradnia teljesen rendezett és ellenőrizze, hogy bármennyi x azaz nem végtelenül nagy íródott x * + ε a x * valós szám ε infinitezimális számot.

Ez a konstrukció természetes módon valós számok sorozatát foglalja magában; így a szekvenciát végtelenül kis számként és ( n 2 ) végtelenül nagy számként értelmezzük. A valós számokat az állandó szekvenciák őrzik. A szekvenciák összeadása és szorzása jó alapot nyújt a testszerkezet megszerzéséhez. Sajnos a teljes sorrend hiányzik: nem világos, hogy az oszcilláló szekvenciának megfelelő hiperreal szám (1; -1; 1; -1; ...) szigorúan pozitív vagy szigorúan negatív. Megfigyeltük azt, hogy ha két valós szám-sorozatot kapunk, akkor az indexkészletek, ahol az egyik nagyobb, mint a másik, kiegészítik egymást. A hiperreal számok teljes sorrendjének kiválasztása tehát egyenértékű azzal, hogy minden egyes párpárban kiválasztjuk a ℕ egy részét (A; ℕ \ A). Ez az utolsó választás közvetlenül a ℕ ultraszűrő fogalmához vezet , amelyből az összes következő felépítés következik. (1/nem){\ displaystyle (1 / n)}

A hiperrealitások felépítése egy U ultraszűrőről ℕ-re történik, amely nem tartalmazza a ite véges részét (azt mondjuk, hogy ez egy ingyenes ultraszűrő ). Sajnos, nem tudjuk mutatnak ilyen ultraszűrőn U , amelynek létezését nyugszik a pontosítás a szűrő a részek közösen fejezte be ℕ által Zorn-lemma , és így végső soron a axióma a választás .

Mi konstrukció a készlet M sorozat a valós számok , beleértve a készlet indexek n , ahol egy eleme az ultraszűrő. Sűrítetten írhatunk . Egy ilyen szett M egy maximális ideális a kommutatív gyűrű sorozat a valós számok ℝ ℕ . Tehát a hányados gyűrű ℝ ℕ / M egy rendezett kommutatív mező , amely ℝ. Ez a halmaz (a hányados által kiváltott törvényekkel együtt) teljesen rendezett over felesleges része. Tartalmazza például a végtelenül kicsi értéket (1; 1/2; 1/3;…; 1 / n  ;…) (vagy pontosabban ennek a szekvenciának az ekvivalenciaosztályát). Másrészt elveszítjük a hiperreális számok felső határának tételét. (znem){\ displaystyle (z_ {n})}znem=0{\ displaystyle z_ {n} = 0}M={nál nél∈RNEM∣nál nél-1({0})∈U}{\ displaystyle M = \ {a \ in \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}} \ mid a ^ {- 1} (\ {0 \}) \ in U \}}

Megjegyezzük, hogy a * ℝ bíborosa az , ezért ez a halmaz egyenértékű a ℝ-vel; a kapott pontos halmaz azonban a választott ultraszűrőtől függ: az összes ilyen módon felépített hiperreal számrendszer nem feltétlenül izomorf egymással szemben. Izomorfak azonban, ha elfogadjuk a kontinuum hipotézist . 2ℵ0{\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}

Definíciók

Egy hiperreal x számot mondunk

• végtelenül kicsi vagy végtelenül kicsi ( IP ), ha | x | kevesebb, mint bármely szigorúan pozitív valós;
• végtelenül nagy ( IG ), ha 1 / x végtelenül kicsi;
• értékelhető ( AP ), ha se nem végtelenül kicsi, se nem végtelenül nagy.

Bármi is legyen a valós szám , szigorúan pozitív, x szigorúan pozitív végtelen kicsi és X végtelenül nagy pozitív, van: -X <-a <-x <0 <x <a <X .

Bármelyik észrevehető x esetében létezik egy egyedi valós, az x standard része (vagy árnyéka), amelyet x * jelöl, oly módon, hogy xx * végtelenül kicsi; bármely nem végtelenül nagy hiperreal szám x * + ε-be írása egy egyszerű dichotómiából származik (in-ben), amelyet a * ℝ teljes rendje engedélyezett. Valójában egy nem végtelenül nagy hiperreal szám szerepel egy szegmensben, valódi korlátokkal; ezt a szegmenst egymás után 2-re vágják, hogy a hiperreal számot egyre pontosabban keretezzék. A beágyazott szegmensek tételével így megkapjuk az x * egyedi valós számot .

Példa a felhasználásra

A korábbi definíciók, sok fogalma klasszikus analízis fejezzük egyszerűbben: így például, ha egy nem nulla elenyésző, a származék f át egy az árnyék (a szabvány része) a hiperreál  : minden úgy történik, mintha mi már nem kellett a határ fogalma. További példák (és ezen érvek érvényességének részletei) a cikk nem szabványos elemzésében találhatók . ε{\ displaystyle \ varepsilon}f(nál nél+ε)-f(nál nél)ε{\ displaystyle {\ frac {f (a + \ varepsilon) -f (a)} {\ varepsilon}}}

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A valóságban azt is megköveteljük, hogy a ℝ összes tulajdonsága megmaradjon, ami abszurdnak tűnhet (a ℝ valóban a legnagyobb archimédészi rendezett mező), de kissé módosítja az olyan tulajdonságok jelentését, mint a felső határé, ami az ezt követő konstrukciót jelenti teszi lehetővé a sikert, ahogy Robinson is megmutatta.
2. Mindazonáltal meg kell jegyezni, hogy sokkal egyszerűbb konstrukciók elegendőek a végtelen kis mennyiségű extensions kiterjesztéseinek megszerzéséhez, például a racionális törtek mezőjéhez X (X); de ezek a kiterjesztések nem teszik lehetővé a valódi, nem szabványos elemzést; így ℝ (X) -ben nincs exponenciális függvényünk ...

Hivatkozások

1. (in) Edwin Hewitt, gyűrűk Folyamatos valós értékű függvények .
2. Robinson ( Non-standard Analysis , 1966, 278. o.) A „  hiperreal mezők elméletéről (Hewitt [1948]) beszél, amely […] nem standard elemzési modellként szolgálhat  ” . Lásd még : H. Jerome Keisler : "A hiperreal vonal" , P. Ehrlich: Valódi számok, az ártalmak általánosításai és a Continua elméletei , Kluwer Academic Publishers,1994( online olvasható ) , p.  207-237.
3. André Pétry: "Séta nem szabványos elemzésben A. Robinson nyomdokain" .
4. Goldblatt 1998 , p.  33.
5. Ez egy modellelméleti érv könnyű következménye  ; lásd ezt a választ (in) a mathoverflow-n .

Függelékek

Bibliográfia

• (en) Robert Goldblatt , Előadások a hiperrealistákról: Bevezetés a nem szabványos elemzésbe , Springer Verlag , koll.  "  GTM  " ( n o  188)1998, 291  p. ( ISBN  978-0-387-98464-3 , online olvasás )

• Alain Robert, Nem szabványos elemzés , Presses politechniques et universitaire romandes,1985

• Francine Diener és Georges Reeb, nem szabványos elemzés , Párizs, Hermann ,1989

• Pierre Cartier, „  Nem szabványos elemzés: új végtelen kis módszerek az elemzésben. Alkalmazás a geometriára és a valószínűségre  ”, Az orvosok-matematikusok találkozói Strasbourgban - RCP25 , vol.  35,1985, P.  1-21 ( online olvasás )

• Samuel Nicolay, „  A hiperreal számok szerkesztése  ”, Quadrature , vol.  102,2016, P.  20–23

• André Petry, végtelen kis elemzés , Cefal,2015
• Jacques Bair és Valérie Henry, Végtelen elemzés, Az újra felfedezett számítás , az Academia Bruylant,2008, 22/194  p. ( ISBN  978-2-87209-919-1 , online olvasás )

Kapcsolódó cikkek

Szürreális szám