Szürreális szám

A matematika , a számok szürreális azok az elemek egy osztály, beleértve, hogy a tényleges és a sorszámok transzfinit , és amely úgy definiálható szerkezet teste  ; ez különösen azt jelenti, hogy meghatározzuk a transzfinit sorszámok inverzeit; ezek a rendesek és inverzeik nagyobbak és kisebbek, mint bármelyik pozitív valós szám. A szürrealizmusok a szokásos elmélet értelmében nem alkotnak egészet .

A szürreális számok alapján vezették be John Conway és népszerűsítette Donald Knuth az 1974 című könyvében Surreal számok: Hogyan Two Ex-hallgatók bekapcsolva Pure Mathematics and Found Összesen Happiness (szó szürreális számok: hogyan lehet két egykori diák kezdett tiszta matematika, és úgy találtuk teljes boldogság ).

A Knuth által is bevezetett pszeudo-valóságos számok a szürreális számok túllendülése, ezeknél gyengébb feltételekkel épülnek fel.

Szürreális számok

Bemutatás

A szürreális számok felépítése hasonló a valós számok Dedekind-vágásokkal történő felépítéséhez , de a transzfinit ismétlődés fogalmát használja . Új számok felépítésén alapul, amelyek két már összeállított számkészletnek köszönhetők, és ( balra és jobbra , balra és jobbra), esetleg üresek. Az így felépített és megjegyzett új szám nagyobb lesz, mint bármelyik szám, és kisebb lesz, mint bármelyik , egy később meghatározandó sorrendben. Ahhoz, hogy ez lehetséges legyen, korlátozást írunk elő a következőkre  : és az egyes számoknak kisebbnek kell lenniük, mint az egyes számok . L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}{L|R}{\ displaystyle \ bal \ {L | R \ jobb \}}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}

Meghatározás

Legyen és legyen két szürreális számkészlet, például: L{\ displaystyle L}R{\ displaystyle R}

• mindent , és mindent , (szigorú változata széles ahhoz képest meghatározottak szerint).x∈L{\ displaystyle x \ L-ben}y∈R{\ displaystyle y \ in R}x<y{\ displaystyle x <y}

Tehát egy szürreális szám. {L|R}{\ displaystyle \ bal \ {L | R \ jobb \}}

Adott egy szürreális számot hívjuk , és a bal oldali sor és a megfelelő sor , ill. x={xL|xR}{\ displaystyle X = \ bal \ {X_ {L} | X_ {R} \ jobb \}}xL{\ displaystyle X_ {L}}xR{\ displaystyle X_ {R}}x{\ displaystyle X}

A zárójelek felfújásának elkerülése érdekében az en , en és en rövidítéseket fogjuk végezni . {{xL1,xL2,⋯}|{xR1,xR2,⋯}}{\ displaystyle \ left \ {\ left \ {X_ {L_ {1}}, X_ {L_ {2}}, \ cdots \ right \} | \ left \ {X_ {R_ {1}}, X_ {R_ { 2}}, \ cdots \ right \} \ right \}}{xL1,xL2,⋯|xR1,xR2,⋯}{\ displaystyle \ left \ {X_ {L_ {1}}, X_ {L_ {2}}, \ cdots | X_ {R_ {1}}, X_ {R_ {2}}, \ cdots \ right \}}{{xL}|∅}{\ displaystyle \ left \ {\ left \ {X_ {L} \ right \} | \ emptyyset \ right \}}{xL|}{\ displaystyle \ bal \ {X_ {L} | \ jobb \}}{∅|{xR}}{\ displaystyle \ left \ {\ emptyyset | \ left \ {X_ {R} \ right \} \ right \}}{|xR}{\ displaystyle \ bal \ {| X_ {R} \ jobb \}}

Látjuk, hogy ez rekurzív definíció (vagy indukció útján ); ezt a pontot később elmagyarázzuk.

Rendelés

Ahhoz, hogy a fenti definíció jelentést nyerjen, meg kell határoznunk egy bináris relációt (amelyet megadunk ≤) a szürreális számokon.

Legyen két szürreális szám és . akkor és csak akkor, ha mindenért , soha nem találkozunk, és ha mindenért , soha nem találkoztunk . x={xL|xR}{\ displaystyle X = \ bal \ {X_ {L} | X_ {R} \ jobb \}}Y={YL|YR}{\ displaystyle Y = \ bal \ {Y_ {L} | Y_ {R} \ jobb \}}x≤Y{\ displaystyle X \ leq Y}x∈xL{\ displaystyle x \ in X_ {L}}Y≤x{\ displaystyle Y \ leq x}y∈YR{\ displaystyle y \ Y_-ben {R}}y≤x{\ displaystyle y \ leq X}

Ez a meghatározás itt is ismétlődő.

Ez a reláció csak azért határozza meg az előrendelést, mert nem antiszimmetrikus (rendelkezhetünk és anélkül is , ez a helyzet például a és esetében ). A probléma kiküszöbölése érdekében új összefüggést határozunk meg a szürreális számokon: x≤Y{\ displaystyle X \ leq Y}Y≤x{\ displaystyle Y \ leq X}x=Y{\ displaystyle X = Y}{|}{\ displaystyle \ bal \ {| \ jobb \}}{-1|1}{\ displaystyle \ bal \ {- 1 | 1 \ jobb \}}

x==Y⇔x≤Y∧Y≤x.{\ displaystyle X == Y \ Balra mutató nyíl X \ leq Y \ ék Y \ leq X.}

Ez ekvivalencia reláció, és az ≤ által indukált sorrend az ekvivalencia osztályokon teljes sorrend, ekvivalencia osztály ekkor egyedi számnak tekinthető.

Tevékenységek

• Két szürreális szám hozzáadását határozzuk meg:

x+Y={xL+Y∪x+YL|xR+Y∪x+YR}{\ displaystyle X + Y = \ bal \ {X_ {L} + Y \ csésze X + Y_ {L} | X_ {R} + Y \ csésze X + Y_ {R} \ jobb \}}A és .NÁL NÉL+Y={nál nél+Y/nál nél∈NÁL NÉL}{\ displaystyle A + Y = \ bal \ {a + Y / a \ -ban A \ jobb \}}x+B={x+b/b∈B}{\ displaystyle X + B = \ left \ {X + b / b \ in B \ right \}}

• A tárgyalás:

-x={-xR|-xL}{\ displaystyle -X = \ bal \ {- X_ {R} | -X_ {L} \ jobb \}}a .-NÁL NÉL={-nál nél/nál nél∈NÁL NÉL}{\ displaystyle -A = \ bal \ {- a / a \ -ban A \ jobb \}}

• Ami két szürreális szám szorzását illeti:

xY={(xLY+xYL-xLYL)∪(xRY+xYR-xRYR) |(xLY+xYR-xLYR)∪(xRY+xYL-xRYL)}{\ displaystyle {\ begin {mátrix} XY = & \ left \ {(X_ {L} Y + XY_ {L} -X_ {L} Y_ {L}) \ cup (X_ {R} Y + XY_ {R} -X_ {R} Y_ {R}) \ jobbra. \\\ & | \ balra. (X_ {L} Y + XY_ {R} -X_ {L} Y_ {R}) \ csésze (X_ {R} Y + XY_ {L} -X_ {R} Y_ {L}) \ right \} \ end {mátrix}}}a .NÁL NÉLB={nál nélb/nál nél∈NÁL NÉL∧b∈B}{\ displaystyle AB = \ bal \ {ab / a \ A-ban \ ék b \ B-ben \ jobb \}}

Megmutatható, hogy ezek a műveletek szürreális számokon jól körülhatárolhatók. Kétértelműség nélkül általánosíthatók a fent meghatározott egyenértékűségi osztályokhoz:

• Ha és akkor ,[x]=[x′]{\ displaystyle [X] = [X ']}[Y]=[Y′]{\ displaystyle [Y] = [Y ']}[x+Y]=[x′+Y′]{\ displaystyle [X + Y] = [X '+ Y']}
• [-x]=[-x′]{\ displaystyle [-X] = [- X ']} és
• [xY]=[x′Y′]{\ displaystyle [XY] = [X'Y ']}.

Végül megmutathatjuk, hogy ezek az ekvivalenciaosztályok műveletei rendezett mezőt határoznak meg , azzal a különbséggel, hogy nem halmazt , hanem megfelelő osztályt alkotnak . Meg lehet mutatni, hogy a legnagyobb rendezett testről van szó, vagyis bármely rendezett test belemerülhet (annak szerkezetét tiszteletben tartva); különösen ez a test valóban zárt .

Ezentúl már nem teszünk különbséget a szürreális szám és ekvivalenciaosztálya között, és közvetlenül ezt az utolsó szürreális számot fogjuk hívni.

Építkezés

Mint láttuk, a két korábbi definíció a megismétlődés elvét alkalmazza. Lehetséges a közönséges megismétlődés alkalmazása , de sokkal érdekesebb figyelembe venni a transzfinit megismétlődést .

Szükségesnek tűnhet szürreális szám létrehozása is a megismétlődés megindításához; megadható az üres halmaznak köszönhetően, és válaszol erre a funkcióra. {|}{\ displaystyle \ bal \ {| \ jobb \}}

Jelöljük , egy sorrendi , a készlet szürreális számok létre a színpadon megismétlődik, figyelembe . A legkisebb sorszámú szürreális szám születési dátuma, mint pl . NEMnem{\ displaystyle N_ {n}} nem{\ displaystyle n}nem{\ displaystyle n}NEM0={|}{\ displaystyle N_ {0} = \ bal \ {| \ jobb \}}x{\ displaystyle X}nem{\ displaystyle n}x∈NEMnem{\ displaystyle X \ in N_ {n}}

A véges számú lépésben létrehozott szürreális számokat (tehát rendes megismétlődési okfejtéssel) asszimiláljuk a diádikus logikákra (azaz olyan számokra, ahol p és n egész szám). o/2nem{\ displaystyle p / 2 ^ {n}}

Példák

Lépésről lépésre meghatározzuk:

• Az egész számok:

0={|}{\ displaystyle 0 = \ bal \ {| \ jobb \}} 1={0|}{\ displaystyle 1 = \ bal \ {0 | \ jobb \}} és -1={|0}{\ displaystyle -1 = \ bal \ {| 0 \ jobb \}} 2=1+1={{0,1}|}={1|}{\ displaystyle 2 = 1 + 1 = \ bal \ {\ bal \ {0,1 \ right \} | \ right \} = \ left \ {1 | \ right \}} és -2={|-1}{\ displaystyle -2 = \ bal \ {| -1 \ jobb \}} ⋯{\ displaystyle \ cdots} nem+1={{0,1,⋯,nem}|}={nem|}{\ displaystyle n + 1 = \ left \ {\ left \ {0,1, \ cdots, n \ right \} | \ right \} = \ left \ {n | \ right \}}.

• A diadikus számok  :

12={0|1}{\ displaystyle {1 \ over 2} = \ bal \ {0 | 1 \ jobb \}} 32={1|2}{\ displaystyle {3 \ over 2} = \ bal \ {1 | 2 \ jobb \}} 14={0|12}{\ displaystyle {1 \ over 4} = \ left \ {0 | {1 \ over 2} \ right \}} ⋯{\ displaystyle \ cdots} NEM2o={NEM-12o|NEM+12o}{\ displaystyle {\ frac {N} {2 ^ {p}}} = \ balra \ {{\ frac {N-1} {2 ^ {p}}} | {\ frac {N + 1} {2 ^ {p}}} \ jobb \}}a páratlan és egészNEM{\ displaystyle N}o{\ displaystyle p}⩾1{\ displaystyle \ geqslant 1}

• Más racionális számok, mint két dadiikus számhalmaz közötti törés , ugyanúgy, mint az irracionális számok, mint racionális számok közötti törések.
• Végtelenül nagyok, mint a rendesek  :

ω={{0,1,2,3,⋯}|}={NEM|}{\ displaystyle \ omega = \ left \ {\ left \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ right \} = \ left \ {\ mathbb {N} | \ right \}} amely nagyobb, mint bármelyik egész szám ω+1={ω|}{\ displaystyle \ omega + 1 = \ bal \ {\ omega | \ jobb \}} ω2={{ω,2ω,3ω,⋯}|}{\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ bal \ {\ bal \ {\ omega, 2 \ omega, 3 \ omega, \ cdots \ right \} | \ right \}} ωω={{ω,ω2,ω3,⋯}|}{\ displaystyle \ omega ^ {\ omega} = \ bal \ {\ left \ {\ omega, \ omega ^ {2}, \ omega ^ {3}, \ cdots \ right \} | \ right \}} és új, végtelenül nagy tárgyakat is, amelyek nem rendesek, mint pl ω-1={{0,1,2,3,⋯}|ω}{\ displaystyle \ omega -1 = \ bal \ {\ bal \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ omega \ right \}} ω-2={{0,1,2,3,⋯}|ω-1}{\ displaystyle \ omega -2 = \ left \ {\ left \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ omega -1 \ right \}} ω/2={{0,1,2,3,⋯}|{ω,ω-1,ω-2,⋯}}{\ displaystyle \ omega / 2 = \ bal \ {\ bal \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ left \ {\ omega, \ omega -1, \ omega -2, \ cdots \ jó jó \}} ω={{0,1,2,3,⋯}|{ω,ω2,ω3,⋯}}{\ displaystyle {\ sqrt {\ omega}} = \ bal \ {\ bal \ {0,1,2,3, \ cdots \ right \} | \ bal \ {\ omega, {\ frac {\ omega} { 2}}, {\ frac {\ omega} {3}}, \ cdots \ right \} \ right \}}

(Figyelmeztetés: a szürrealitásokra fent meghatározott műveletek nem a szokásos műveletek, ezért a rendes szorzás nem kommutatív, ellentétben a szürrealitásokéval).

• Végtelenül kicsi:

ϵ={0|{1,12,13,⋯}}{\ displaystyle \ epsilon = \ left \ {0 | \ left \ {1, {1 \ over 2}, {1 \ over 3}, \ cdots \ right \} \ right \}}amely szigorúan pozitív, de mindennél kevesebb a pozitív egész számra.1nem{\ displaystyle 1 \ n felett}nem{\ displaystyle n}

Megmutathatjuk ezt , vagyis ezt mondhatjuk . ϵ=1/ω{\ displaystyle \ epsilon = 1 / \ omega}ϵ×ω=1{\ displaystyle \ epsilon \ times \ omega = 1}

A végtelenül nagyhoz hasonlóan lehetséges az objektumokat úgy definiálni

ϵ={{ϵ,2ϵ,3ϵ,⋯}|{1,12,13,⋯}}{\ displaystyle {\ sqrt {\ epsilon}} = \ left \ {\ left \ {\ epsilon, 2 \ epsilon, 3 \ epsilon, \ cdots \ right \} | \ left \ {1, {1 \ over 2} , {1 \ 3 felett, \ cdots \ right \} \ right \}}

• De váratlanabb tárgyak is, mint például , ami végtelenül nagy, de kisebb, mint például.ω1/ω{\ displaystyle \ omega ^ {1 / \ omega}}ω{\ displaystyle {\ sqrt {\ omega}}}

Ál-valós számok

Ál-valós számokat ( Knuth terminológiájában ál-valós számokat ) kapunk szürreális számok helyett, ha eltávolítjuk azt a feltételt, hogy a jobboldali halmaz egyetlen eleme sem lehet kisebb vagy egyenlő az l 'bal halmaz bármely elemével. A szürreális számok az ál-valós számok egy alosztálya.

Ezek az ál-valós számok bizonyos játékok értékeként értelmezhetők . Ezek az alapja a John Conway által kezdeményezett kombinatorikus játékelméletnek .

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

1. A valóságban erre nincs szükség, ha az ember az üres halmaz definícióját helyesen alkalmazza; erről a témáról  további részletek a " Transfinite recurrence " című cikkben találhatók  .

Hivatkozások

1. Knuth 1974 .

Függelékek

Bibliográfia

• (en) Donald Ervin Knuth , Szürreális számok: Két ex-hallgató bekapcsolódott a tiszta matematikába és megtalálták a teljes boldogságot: Matematikai regény , Addison-Wesley Professional,1974, 119  p. ( ISBN  0-201-03812-9 ) ;
  • Daniel E. Loeb és Hélène Loeb, Les Nombres Surréels francia fordítása , vagy hogy két volt diák felfedezte a tiszta matematikát, és boldogan éltek. DE Knuth matematikai romantikája olvasható az interneten
• (en) John H. Conway , A számokról és játékokról , Natick, AK Peters,2001, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1976), 242  p. ( ISBN  1-56881-127-6 , OCLC  45024457 , LCCN  00046927 , online olvasás ).
• (en) Lionel Elie Mamane, Surreal Numbers in Coq , vol.  3839, Springer, koll.  "Előadásjegyzetek a számítástechnikában",2004( ISBN  3-540-31428-8 ) , p.  170-185

Kapcsolódó cikkek

• Szám
• Sorszáma
• Hyperreal szám
• Diadikus szám

Külső linkek

• Szürreális számok -Daniel E. Loeb és Hélène Loeb, 1997 Donald Knuth könyvének fordítása francia nyelvre [PDF]
• Jean-Paul Delahaye , „  Matematikai szürrealizmus  ”, Pour la Science , n o  372,2008. október.