A matematikában a Ramanujan prímszám olyan prímszám, amely kielégíti a Srinivasa Ramanujan által a prímszámok számlálási függvényével kapcsolatban bemutatott eredményt .
A 1919 , Ramanujannak közzétett egy új bemutató a Bertrand posztulátum , amely azt mondja, először bizonyítja Csebisov . A két publikált oldal végén Ramanujan általánosított eredményre vezetett le, amely a következő:
≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... az OEIS bármely x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... bármelyikének ≥10 ,ahol (x) a prímszám számláló függvény , amely az x- nél kisebb vagy azzal egyenlő prímszámok száma .
Ennek az eredménynek a kifejezése Ramanujan meghatározása a prímszámokról, a 2, 11, 17, 29, 41 számok pedig a definíciónak megfelelő prímszámok. Más szavakkal :
Az n- edik első Ramanujan jelentése egész szám, R n , amely a kisebb , hogy megfelel a feltételt ≥ n , minden x esetén ≥ ≥ R n .Az eredmény megadásának másik módja:
A prímszám Ramanujan az egész számok R n , amelyek a legkisebb , hogy garantálja, hogy vannak az n prímszám közötti x és x / 2 minden x ≥ R n .Mivel R n a legkisebb szám, amely megfelel ezeknek a feltételeknek, elsődlegesnek kell lennie: és ezért meg kell nőnie egy másik x = R n prímszám megszerzésével . Mivel legalább 1-gyel nőhet,
R n R n .A Ramanujan prímszám-sorozat első elemei:
2. , 11. , 17., 29., 41., 47., 59., 67., 71., 97., 101., 107., 127., 149., 151., 167., 179., 181., 227., 229., 233., 239., 241., 263., 269., 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491 stb.
Minden n ≥ 1 esetén
2 n ln 2 n < R n <4 n ln 4 nHa n > 1, akkor
p 2n < R n < p 3n ,ahol p n az n- edik prímszám.
Ha n tart végtelenbe, R n jelentése megegyezik a 2 n- edik első, azaz,
R n ~ p 2n ,és ezért a prímszámtétel ,
R n ~ 2 n ln n .Mindezeket az eredményeket a " Ramanujan primes és Bertrand posztulátuma " könyv mutatja be , kivéve a fenti R n < p 3n egyenlőtlenséget , amelyet Jonathan Sondow sejtett és Shanta Laishram mutatott be.