Rendes határ

A matematikában és pontosabban a halmazelméletben a határérték egy nem nulla sorszám, amely nem utódrend .

Meghatározás

A fenti meghatározás szerint az α sorszám akkor és akkor korlátozott, ha kielégíti a következő egyenértékű javaslatok egyikét:

α ≠ 0 és ∀ β β + 1 ≠ α;
0 <α és ∀ β <α β + 1 <α;
α ≠ 0 és ∀ β <α ∃ γ β <γ <α;
α nem nulla, és megegyezik az összes szigorúan alacsonyabb rendű felső határával, amely szigorúan alacsonyabb nála (a β +1 utódjeggyel szigorúan alacsonyabb rendek halmazának nagyobb eleme van , a β sorszám);
mint rendes halmaz, az α nem üres, és nincs nagyobb eleme;
α ω · γ formában írható γ> 0 értékkel;
α a sorszámok osztályának felhalmozási pontja, amelyet a sorrend topológiájával látunk el .

Egyes tankönyvek 0-t is tartalmaznak a határrendek között.

Példák

A rendes számok osztálya rendezett , a határértékek kisebbek, mint az összes többi - jegyezte meg ω. Ez az ω sorszám a legkisebb végtelen sorszám, és a természetes számok felső határa . A következő határrend az ω + ω = ω · 2, majd ω · n következik , minden n természetes számra . A szakszervezet minden ω · n , megkapjuk ω · ω = ω². Ezt a folyamatot iterálva lehet előállítani:

\ omega ^ {3}, \ omega ^ {4}, \ ldots, \ omega ^ {\ omega}, \ omega ^ {{\ omega ^ {\ omega}}}, \ ldots, \ epsilon _ {0} = \ omega ^ {{\ omega ^ {{\ omega ^ {{~ \ cdot ^ {{~ \ cdot ^ {{~ ~ cdot}}}}}}}}}}}}}}, \ ldots

Mindezek a szokások megszámlálhatóak maradnak . Nincs azonban rekurzív módon megszámlálható módszer az egyháznál kisebb rendek következetes megnevezésére - a Kleene sorszám , ami maga is megszámlálható.

Az első megszámlálhatatlan sorszám általában ω 1 . Ez is egy határrend.

Folytatva a következő határrendeket határozhatjuk meg, amelyek megfelelnek a bíborosoknak :

\ omega _ {2}, \ omega _ {3}, \ ldots, \ omega _ {\ omega}, \ omega _ {{\ omega +1}}, \ ldots, \ omega _ {{\ omega _ {\ omega}}}, \ ldots

Általában egy határrendet kapunk, ha figyelembe vesszük a rendek halmazának egyesítését, amely nem enged be nagyobb elemet.

Az ω²α formájú közönséges értékek α> 0 esetén a határok határai stb.

Megjegyzések és hivatkozások

(in) Kenneth Kunen , Set Theory: An Introduction to Independence igazolásokat , Amsterdam / New York, Észak-Holland,1980, 313 p. ( ISBN 978-0-444-85401-8 ).
(in) Thomas Jech , Set Theory , Springer ( olvasható online ).
Formálisan a inal α bíboros definíció szerint ω α . Mint minden bíboros, ez is egy sorszám, amely nem egyenlő bármely szigorúan alacsonyabbrendű sorszámmal.

Kapcsolódó cikkek