A primitívek táblázata

A számítást egy primitív egy függvény az egyik két alapvető műveleteit elemzés és mivel ez a művelet elvégzéséhez kényes, ellentétben a levezetés , táblázatok ismert primitívek gyakran hasznos.

Tudjuk, hogy egy intervallumon belüli folyamatos funkció a primitívek végtelen számát engedi meg, és ezek a primitívek állandóval különböznek egymástól; $C-vel$ jelölünk egy tetszőleges állandót, amelyet csak akkor lehet meghatározni, ha tudjuk a primitív értékét egy pontban.

${\ displaystyle \ int f (x) \, \ mathrm {d} x}$ - az úgynevezett határozatlan integrál az $f$ - kijelöli a sor minden primitívek egy függvény $f akár$ egy additív konstans.

Általános integrációs szabályok

Linearitás:
${\ displaystyle \ int \ left ({\ color {Blue} a} \, {\ color {Blue} f (x)} + {\ color {blue} b} \, {\ color {blue} g (x) } \ right) \ mathrm {d} x = {\ color {Blue} a} \ int {\ color {Blue} f (x)} \, \ mathrm {d} x + {\ color {Blue} b} \ int {\ color {Blue} g (x)} \, \ mathrm {d} x}$
Chasles kapcsolat : és különösen:
${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {a} ^ {\ color {blue} b} f (x) \, \ mathrm { d} x + \ int _ {\ color {kék} b} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle \ int _ {\ color {blue} a} ^ {\ color {blue} b} f (x) \, \ mathrm {d} x = {\ color {blue} -} \ int _ {\ color {kék} b} ^ {\ szín {kék} a} f (x) \, \ mathrm {d} x}$
integrálás : emlékeztető eszköz :
${\ displaystyle \ int {\ color {Blue} f (x)} \, {\ color {blue} g '(x)} \, \ mathrm {d} x = [{\ color {Blue} f (x) } \, {\ color {Blue} g (x)}] - \ int {\ color {Blue} f '(x)} \, {\ color {blue} g (x)} \, \ mathrm {d} x}$

${\ displaystyle \ int {\ color {Blue} u} {\ color {blue} v '} = [{\ color {Blue} u} {\ color {Blue} v}] \ - \ int {\ color {Blue } u '} {\ color {blue} v}}$

a és $d$ $x$ vélelmezett. ${\ displaystyle u = f (x), ~ u '= f' (x), ~ v = g (x), ~ v '= g' (x)}$

integráció helyettesítéssel (ha f és φ ' folyamatos) .
${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ({\ color {Blue} \ varphi (t)}) \, {\ color {Blue} \ varphi '(t)} \, \ mathrm {d} {\ color {Blue} t} = \ int _ {\ color {blue} \ varphi (a)} ^ {\ color {blue} \ varphi (b)} f ({\ color {Blue} x}) \, \ mathrm {d} {\ color {Blue} x}}$

Az egyszerű funkciók primitívjei

\ int \, {\ mathrm d} x = x + C \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}

A racionális funkciók primitívjei

{\ displaystyle \ int x ^ {n} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + C \ qquad {\ text {si}} n \ neq -1}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ ln \ bal | x \ jobb | + C \ qquad {\ text {si}} x \ neq 0}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {xa}} \, \ mathrm {d} x = \ ln | xa | + C \ qquad {\ text {si}} x \ neq a}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(xa) ^ {n}}} \, \ mathrm {d} x = - {\ frac {1} {(n-1) (xa) ^ {n- 1}}} + C \ qquad {\ text {si}} n \ neq 1 {\ text {és}} x \ neq a}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = \ kezelőnév {arctan} x + C \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R} }

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {a}} \ kezelőnév {arctan} { \ frac {x} {a}} + C \ qquad {\ text {si}} a \ neq 0}

{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ ln {\ balra | {\ frac { x + 1} {x-1}} \ right |} + C = {\ begin {cases} \ operátornév {artanh} x + C & {\ text {on}}] - 1,1 [\\\ operátor neve { arcoth} x + C és {\ text {on}}] - \ infty, -1 [{\ text {és on}}] 1, + \ infty [. \ end {esetek}}}

A logaritmikus függvények primitívjei

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

{\ displaystyle \ int \ ln x \, \ mathrm {d} x = x \ ln x-x + C}

Még általánosabban $n-edik$ primitív a következő: ${\ displaystyle \ ln}$

{\ displaystyle {\ frac {x ^ {n}} {n!}} \ balra (\ ln x- \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}} \ jobbra) }

Az exponenciális függvények primitívjei

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ int e ^ {ax} \, dx = {\ frac {1} {a}} e ^ {ax} + C}

{\ displaystyle \ int f '(x) e ^ {f (x)} \, dx = e ^ {f (x)} + C}

{\ displaystyle \ int a ^ {x} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {a ^ {x}} {\ ln a}} + C \ qquad {\ text {si}} a> 0}

és

a \neq 1,

mert

ln (1) = 0

Az irracionális funkciók primitívjei

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {- 1,1 \}}

{\ displaystyle \ int {1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ kezelőnév {arcsin} x + C}

{\ displaystyle \ int {-1 \ over {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x = \ kezelőnév {arccos} x + C}

\ int {x \ over {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} \, {\ mathrm d} x = {\ sqrt {x ^ {2} -1}} + C

A trigonometrikus függvények primitívjei

A hiperbolikus funkciók primitívjei

A reciprok körfunkciók primitívjei

A kölcsönös hiperbolikus funkciók primitívjei

Lásd is

Bibliográfia

(en) Alan Jeffrey és Daniel Zwillinger, Integrálok, sorozatok és termékek táblázata , Academic Press , 2007 ( ISBN 978-0123736376 )
(en) Milton Abramowitz és Irene Stegun , Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal [ kiadás részletei ] ( online )

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

Automatikus primitív számológép a Mathematica-tól