11-es piramis

A 11-es piramis Pascal háromszögének egy változata . Ez lehetővé teszi a 11 vagy a hatvány pontosan kiszámítását . A különbség Pascal háromszögével az, hogy az áthelyezés megjelenése megegyezik az összeadással . NÁL NÉL×11.nem{\ displaystyle A \ alkalommal 11 ^ {n}}

Szabályok

A 11-es piramis lehetővé teszi a természetes szám szorzatának szorzása nélküli, 11-es hatványú szorzásával történő kiszámítását. Ezt úgy kapjuk meg, hogy egymás után párban adjuk meg jobbról balra, egy számjegy ugrásával az egymást követő számjegyeket, amelyek alkotja a teljes természetes számot (amelyet meg akarunk szorozni 11-es hatványával): az első sor a szóban forgó számé, a következő sor az ezzel a számítással kapott pár, és így tovább a következő soroknál. Az első sor valójában megfelel a 11-et szorzó számnak a 0 hatványának, a második a számnak, amely a 11-et szorozza az 1 hatványára, és így tovább, az (n + 1). Sor a kezdő szám szorzatának eredménye 11 az n teljesítményre. Vegyük például a 2156478 számot 11-es hatványszorzóként, és számoljuk ki a következő sorban megjelenő számot, amely ennek a számnak a szorzata lesz 11-gyel. A szabály alkalmazásához kezdő szám: "02156478,0", egy "virtuális" nulla hozzáadásával a szám mindkét oldalára. Az egymást követő párokban balról jobbra a kiegészítések a következők lesznek: "8 + 0" (mert a 2156478 = 2156478,0 szám), "7 + 8", "4 + 7", "6 + 4", "6 + 5 "," 5 + 1 "," 2 + 1 "és" 0 + 2 "(a kapott szám befejezéséhez, mert 2156478 = 02156478). Ha ezeknek az összeadásoknak az eredménye nagyobb vagy egyenlő, mint 10, akkor az eredményt alkotó utolsó számjegyet vesszük, és megtartjuk az 1 értéket, amelyet a bal oldali következő párhoz adunk. Mindezen kiegészítések lehetséges eredményei ehhez az intervallumhoz tartoznak:

S=[0,19.]{\ displaystyle S = [0,19]}

Nulla eredmény valóban lehetséges, ha a számnak több egymást követő 0-ja van, például 2006.

A kezdetektől fogva véve a 2156478 eredményét 11 (valójában 11 1. kitevő) szorzatával:

2156478 23721258

Ehelyett részletezzük a számítást:

• 8 + 0 = 8, először a 8-at tesszük
• 8 + 7 = 15, az 5-öt a 8 elé tesszük, és az 1-et megtartjuk a következő összeadáshoz
• 7 + 4 + 1 = 12, a 2-et az 5 elé tesszük, és az 1-et megtartjuk a következõ összeadáshoz
• 6 + 4 + 1 = 11, az 1-et a 2 elé tesszük, és az 1-et megtartjuk a következő összeadáshoz
• 6 + 5 + 1 = 12, a 2-t az 1 elé tesszük, és az 1-et megtartjuk a következő összeadáshoz
• 5 + 1 + 1 = 7, a 7-et 2 elé tesszük
• 2 + 1 = 3, a 3-at a 7 elé tesszük
• 2 + 0 = 2, a 2-et a 3 elé tesszük.

Ez az utolsó művelet, mert elértük az első számjegyet, amely a számolandó számot alkotja. Ugyanezt a műveletet hajtjuk végre a kiszámításhoz kapott 23721258 ábrán . 2156478×11.2{\ displaystyle 2156478 \ alkalommal 11 ^ {2}}

Az "n" ( ) teljesítményt az első sor után végrehajtott vonalak száma határozza meg, amely megfelel az 11 n szorzószámának. Például a "31" számot kapjuk, és kiszámoljuk a következőket: 10 sor, minden sorra alkalmazva a szabályt. Legyen A az első sorban szereplő szám, n egész szám, p az első írott sor második számjegye (jobbra indulva) és q az utolsó sor második (jobbra kezdődő) számjegye. nem∈NEM{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}31×11.10.{\ displaystyle 31 \ alkalommal 11 ^ {10}}

NÁL NÉL×10.nem{\ displaystyle A \ szorozza meg 10 ^ {n}}(hol )nem=q-o{\ displaystyle n = qp}

Ez a képlet nem működik, ha a sorok száma meghaladja a 10-et.

Demonstráció

Bármelyik számmal próbálkozhat, a 11-es technika piramisa folyamatosan működik. Hogyan bizonyíthatjuk, hogy egy ilyen módszer működhet?

Próbáljuk meg kiszámolni ezt a műveletet: 118221×11.=?{\ displaystyle 118221 \ times 11 =?}

Legyen a szorzás a következő:

118221 x 11 ------- =118221 1182210 ------- 1300431

Ne feledje, hogy ha egy számot megszorozunk 11-gyel, az összeadja a szomszédos számok kettőjének az összegét. Ezért a szorzás megkérése nélkül könnyebb közvetlenül a 11-es piramis módszeréhez menni

118221 1300431

Példák

1-gyel kezdő számként

1 11. 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171

Itt : 11.7=19487171{\ displaystyle 11 ^ {7} = 19487171}

Vegyük a piramisban alkalmazott számítási szabályban idézett példát, számoljunk 31×11.9.{\ displaystyle 31 \ alkalommal 11 ^ {9}}

31 341 3751 41261 453871 4992581 54918391 604102301 6645125311 73096378421

Ebből kifolyólag : 31×11.9.=73096378421{\ displaystyle 31 \ alkalommal 11 ^ {9} = 73096378421}

Kölcsönös

A 11-es piramis fordítottja érdekesebb, de sokkal nehezebb alkalmazni.

Példák

11-vel osztható szám esete

Mutassa meg, hogy 1816474 a 11 többszöröse

Azt tervezzük, hogy megkérdezzük az 1816474 számot, és keressük a lehetséges kivonásokat ehhez a számhoz.

1 816 474,0

Az első kivonás (jobbról) nyilvánvaló, mert 4-0 = 4.

18164 7 4 xxxxx 4
(x számot jelöl )

7 esetén az előző szám második számjegyének előzőleg 3-nak kell lennie, mert 7-4 = 3 Nem lehet 14, mert ez a szám 2 számjegyből áll

1816474 xxxx34

Ekkor levonással az előző szám harmadik számjegye 1, mert 4-3 = 1

1816474 xxx134

Stb :

• 6-1 = 5
• 11-5 = 6 (nem tehetünk 1-5-öt, mert különben az eredmény tartozik )Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}
• 8-6-1 = 2-1 = 1

Tehát megkapjuk

1816474 165134

Arra a következtetésre juthatunk, hogy: 1816474=165134×11.{\ displaystyle 1816474 = 165134 \ -szer 11}

11-vel nem osztható szám esete

Mutassa meg, hogy 18225 nem osztható 11-gyel

Annak bemutatására, hogy 18225 nem osztható 11-gyel, be kell mutatnunk, hogy a 11-es piramis reciproka nem működik. Vagyis a reciprok eredményének összeadása nem működik az utolsó számjegy megadásához.

18225 xxx5

Először is, hogy megkapja a reciprok eredmény első számjegyét, egyszerűen meg kell tennie 5-0 = 5 értéket. Ezután a második számot úgy kapjuk meg, hogy 12-5 (és nem 2-5, mert az eredmény negatív szám). 7-et kapunk és 1-et megtartunk.

18225 xx75

A következő kivonások a következők:

• 12.-1-7=4{\ displaystyle 12-1-7 = 4}
• 8.-1-4=3{\ displaystyle 8-1-4 = 3}

A reciprok eredménye 3475 lenne, de ezért a reciprok nem működik, és ezért arra következtethetünk, hogy 18225 nem osztható 11-gyel. 3+0≠1{\ displaystyle 3 + 0 \ neq 1}

Szervezés táblázat szerint

Ez egy másik módszer a kölcsönös eredményt alkotó számjegyek megkeresésére. Vegyük például a 37250615421. számot. Szeretnénk tudni, hogy osztható-e 11-vel. Felhívjuk azokat a számokat, amelyek az első számot és a reciprok eredményét alkotják. Rnem{\ displaystyle R_ {n}}Tnem{\ displaystyle T_ {n}}

37250615421 xxxxxxxxxx

A viszonosság eredményét egy táblázattal rendezzük, amely az elvégzendő műveleteket csoportosítja:

	R{\ displaystyle R}	T1{\ displaystyle T_ {1}}	Ret.	T2{\ displaystyle T_ {2}}
1	1	0	0	1
2	2	1	0	1
3	4	1	0	3
4	5.	3	0	2
5.	11.	2	0	9.
6.	16.	9.	1	6.
7	10.	6.	1	3
8.	5.	3	1	1
9.	2	1	0	1
10.	7	1	0	6.
11.	6.	0	0	6.

Mivel a szám nem osztható 11-gyel 6.+0≠3{\ displaystyle 6 + 0 \ neq 3}

A táblázat működésének és visszatartásának magyarázata

Először 11-ben számoljuk meg a számjegyek számát abban a számban, ahol az oszthatóságot keressük. A táblázatban annyi sor lesz, ahány számjegy. A fejlécsorban négy oszlop található: R (az első sorban lévő számjegye ) ,, jobbról az első számjegy; Ret. hova tesszük a visszatartásokat és a számított sor második számjegyét. T1{\ displaystyle T_ {1}}T2{\ displaystyle T_ {2}}

A megtaláláshoz meg kell tennie a kivonást . Az első sornál mindig 0-val egyenlő. Azt is észrevehetjük, hogy az első sor mindig egyenlő . A sorok számozásával könnyebb eligazodni. R-t az n-edik számjegy határozza meg, amelyet ki akarunk számolni. T2{\ displaystyle T_ {2}}R-T2{\ displaystyle R-T_ {2}}T1{\ displaystyle T_ {1}}T2{\ displaystyle T_ {2}}T1{\ displaystyle T_ {1}}

Ha R értéke kisebb , akkor 10-et kell hozzáadni az R-hez, de a következő sorban 1-et le kell vonni a végeredményből. T1{\ displaystyle T_ {1}}

Általánosítás

Írjunk két számot:

NEM1=qnemrnem-1rnem-2...r1r0¯10.{\ displaystyle N_ {1} = {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}} ^ {10}} vagy NEM1=qnem×10.nem+rnem-1×10.nem-1+rnem-2×10.nem-2...r1×10.+r0{\ displaystyle N_ {1} = q_ {n} \ szor 10 ^ {n} + r_ {n-1} \ szor 10 ^ {n-1} + r_ {n-2} \ szor 10 ^ {n-2 } \ ldots r_ {1} \ 10-szerese + r_ {0}} NEM2=snem-1tnem-2tnem-3...t1t0¯10.{\ displaystyle N_ {2} = {\ overline {s_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3} \ ldots t_ {1} t_ {0}}} ^ {10}} vagy NEM2=snem×10.nem+tnem-1×10.nem-1+tnem-2×10.nem-2...t1×10.+t0{\ displaystyle N_ {2} = s_ {n} \ szor 10 ^ {n} + t_ {n-1} \ szor 10 ^ {n-1} + t_ {n-2} \ szor 10 ^ {n-2 } \ ldots t_ {1} \ 10-szer + t_ {0}}

Meg akarjuk mutatni ennek a számnak a 11-vel való oszthatóságát a 11-es piramis inverzének alkalmazásával. Ehhez be kell mutatnunk, hogy létezik egy második szám ( ), amely: NEM2{\ displaystyle N_ {2}}

• t0=r0-0{\ displaystyle t_ {0} = r_ {0} -0}
• t1=r1-t0{\ displaystyle t_ {1} = r_ {1} -t_ {0}}
• t2=r2-t1{\ displaystyle t_ {2} = r_ {2} -t_ {1}}

vagy általánosabban .rnem=rnem-1-tnem-1{\ displaystyle r_ {n} = r_ {n-1} -t_ {n-1}}

A következő konstrukciónk van:

qnemrnem-1rnem-2...r1r0¯{\ displaystyle {\ overline {q_ {n} r_ {n-1} r_ {n-2} \ ldots r_ {1} r_ {0}}}} xxx...t2t1t0¯{\ displaystyle {\ overline {xxx \ ldots t_ {2} t_ {1} t_ {0}}}}

Tehát hozzáadhatunk 10-et . De ehhez meg kell adnod ezt a kivonástrnem≠rnem-1-tnem-1{\ displaystyle r_ {n} \ neq r_ {n-1} -t_ {n-1}}rnem-1{\ displaystyle r_ {n-1}}rnem+1=rnem-1-tnem{\ displaystyle r_ {n + 1} = r_ {n} -1-t_ {n}}

Általánosítás

A 11-ből álló piramis a 10-es bázisban működik. Ugyanezt megtehetjük az n bázisban is, az n + 1 számra. Nem szabad megfeledkeznünk a számok 10-ből való átalakításáról és a sorok n maximális számának tiszteletben tartásáról.

Példák

5 ^ n esetén a 4. alapban:

5 ^ n	11-es piramis	5-ös piramis
5.0{\ displaystyle 5 ^ {0}}	1	1
5.1{\ displaystyle 5 ^ {1}}	11.	5.
5.2{\ displaystyle 5 ^ {2}}	121	25
5.3{\ displaystyle 5 ^ {3}}	1331	125

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">