q - Pochhammer szimbólum

A kombinatorikai , a q -symbol a Pochhammer egy szimbólum, amely lehetővé teszi, hogy bizonyos termékek könnyen jegyezni. Ez a q -analógok alapeleme . Ez a Pochhammer szimbólum q- analógja , amelyet Leo Pochhammer határoz meg .

Definíció és jelölések

A q szimbólum Pochhammer:

(nál nél;q)nem=∏k=0nem-1(1-nál nélqk)=(1-nál nél)(1-nál nélq)(1-nál nélq2)⋯(1-nál nélqnem-1){\ displaystyle (a; q) _ {n} = \ prod _ {k = 0} ^ {n-1} (1-aq ^ {k}) = (1-a) (1-aq) (1- aq ^ {2}) \ cdots (1-aq ^ {n-1})}

val vel

(nál nél;q)0=1{\ displaystyle (a; q) _ {0} = 1}.

Kiterjeszthetjük a jelölést a végtelen termékekre:

(nál nél;q)∞=∏k=0∞(1-nál nélqk).{\ displaystyle (a; q) _ {\ infty} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} (1-aq ^ {k}).}

Néha megjegyezzük , amikor egyértelmű, hogy a változó q . (nál nél)nem=(nál nél;q)nem{\ displaystyle (a) _ {n} = (a; q) _ {n}}

Partíciógeneráló függvények

Ezekkel a szimbólumokkal nagyszámú generáló, partíciókat ábrázoló sorozat kompaktan kifejezhető. Például, hogy a szám p ( n ) a válaszfalak egész szám n felírható:

∑nem=0∞o(nem)qnem=∏nem=1∞11-qnem=1(q;q)∞{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} p (n) q ^ {n} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {1-q ^ {n}}} = {\ frac {1} {(q; q) _ {\ infty}}}}.

Vegye figyelembe, hogy itt találjuk az Euler függvény inverzét .

Identitás

Az egyik legegyszerűbb azonosság a q- binomiális tétel (itt a kompakt jelöléssel fejezzük ki):

∑nem∈NEM(nál nél)nem(q)nemznem=(nál nélz)∞(z)∞{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {(a) _ {n}} {(q) _ {n}}} z ^ {n} = {\ frac {(az ) _ {\ infty}} {(z) _ {\ infty}}}},

akinek konkrét esetei Euler két identitása:

(z)∞=∑nem∈NEMqnem(nem-1)/2(q)nem(-z)nemés1(z)∞=∑nem∈NEMznem(q)nem{\ displaystyle (z) _ {\ infty} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ frac {q ^ {n (n-1) / 2}} {(q) _ {n} }} (- z) ^ {n} \ quad {\ text {et}} \ quad {\ frac {1} {(z) _ {\ infty}}} = \ sum _ {n \ in \ mathbb {N }} {\ frac {z ^ {n}} {(q) _ {n}}}}.

Kivehető tételek, például az ötszögszámoké  : vagy Jacobi hármas szorzatáé . (q;q)∞=∑k∈Z(-1)kqk(3k-1)/2{\ displaystyle (q; q) _ {\ infty} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} (- 1) ^ {k} q ^ {k (3k-1) / 2}}

A q -sorozatra vonatkozó számítások lehetővé teszik a kombinatorikus objektumok közötti egyenlőség megtalálását anélkül, hogy kifejezetten bármilyen bijekcióra lenne szükség, ez például Rogers-Ramanujan azonosságokra vonatkozik .

Megjegyzések és hivatkozások

1. (in) Eric W. Weisstein , "  Q-sorozat  " a MathWorld- on
2. (in) George Gasper , "  Jegyzetek a bevezető minicourse q-sorozat  " a arxiv.org (Cornell University Library) ,1995( arXiv  math.CA/9509223 , hozzáférés : 2016. szeptember 26. ) ,p.  3
3. Lásd a bizonyítéka „ q- binomiális tétel és Euler identitás”, a leckét „Bevezetés a számelmélet” on Wikiversity .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">