R0-mátrix

A matematika , a Mátrix egy valós négyzetes mátrix , amely különösen tulajdonságokat lineáris komplementaritás problémákat . Ezeket a néhány szóban nehezen kifejezhető tulajdonságokat az alábbiakban megadott definíció ismerteti. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Definíciók

Az egyenértékű tulajdonságok, amelyek a -mátrixok meghatározásaként szolgálhatnak, néhány fogalom felidézését igénylik. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Egy vektor esetében a jelölés azt jelenti, hogy a vektor összes komponense pozitív. Négyzet alakú valós mátrix és vektor esetén egy lineáris komplementaritási probléma abból áll, hogy olyan vektort találunk , amely , és , amelyet rövidítve írunk az alábbiak szerint: $v \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $v \ geqslant 0$ $v_ {i}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ szor n}}$ $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ $x \ geqslant 0$ $Mx + q \ geqslant 0$ $x ^ {\! \ top} (Mx + q) = 0$

${\ mbox {CL}} (M, q): \ qquad 0 \ leqslant x \ perp (Mx + q) \ geqslant 0.$
A függvény a valós értékek azt mondják, hogy a kényszerítő ha megvan a készlet korlátos sublevels , ami annyit jelent, hogy inkább végtelen, ha . $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle \ | x \ | \ to \ infty}$

Most megadhatjuk az -mátrix definícióját . ${\ mathbf {R_ {0}}}$

${\ mathbf {R_ {0}}}$ -mátrix - Azt mondjuk, hogy egy valós négyzetmátrix egy -mátrix, ha a következő egyenértékű tulajdonságok egyike fennáll: ${\ displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {n \ szor n}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$

a probléma egyetlen megoldása a null megoldás, ${\ mbox {CL}} (M, 0)$
bármi , a funkció kényszerítő, $q \ in \ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx + q) \ |}$
a funkció kényszerítő. ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$

Bármely sorrend -mátrixok halmazát jelöljük . A matricát a mátrix azon tulajdonságának hívjuk, amelyhez tartozik ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ mathbf {R_ {0}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R_ {0}}.}$

A probléma és a függvény közötti kapcsolat abból a tényből fakad, hogy megoldás akkor és csak akkor, ha (az operátor komponensenként működik). ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | \ min (x, Mx) \ |}$ $x$ ${\ mbox {CL}} (M, 0)$ ${\ displaystyle \ min (x, Mx) = 0}$ $\ min$

Ingatlan

Kapcsolat a tulajdonjoggal

A szimmetrikus valós mátrix sajátértéke vagy Pareto-sajátértéke az optimalizálási probléma kritikus értéke ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $M \ in \ mathbb {R} ^ {{n \ szor n}}$

${\ displaystyle \ min _ {{x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ atop \ | x \ | = 1} \ atop x \ geqslant 0} \; x ^ {\! \ top} Mx,}$

vagyis a kritérium értéke ennek a problémának egy álló helyzetében , ami azt jelenti, hogy az alábbi lineáris komplementaritási problémának nem nulla megoldása van : ${\ displaystyle \ mu = x ^ {\! \ top} Mx}$ $x$

${\ displaystyle 0 \ leqslant x \ perp (M- \ mu I) x \ geqslant 0.}$

A -mátrix 1. definíciója szerint azt látjuk, hogy egy szimmetrikus mátrix esetében ez a fogalom azt jelenti, hogy a mátrixnak nincs nulla a megfelelő kovaluo. Hasznos lehet ezt a meghatározást közelebb hozni egy szimmetrikus mátrix sajátértékeinek meghatározásához , amelyet a Rayleigh-hányados kritikus értékeként lehet megkapni, az itt alkalmazott pozitivitási kényszer nélkül. ${\ mathbf {R_ {0}}}$

Függelékek

Kapcsolódó cikk

Lineáris komplementaritás

Bibliográfia

(en) RW Cottle, J.-S. Pang, RE Stone (2009). A lineáris komplementaritási probléma . Alkalmazott matematika klasszikusai 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.
(en) F. Facchinei, J.-S. Pang (2003). Véges-dimenziós variációs egyenlőtlenségek és komplementaritási problémák (2 kötet). Springer sorozat az operációkutatásban. Springer-Verlag, New York.