Átlós sorozat
A matematika , a diagonális sorozat egy sorozat egyváltozós, formális vagy konvergens nyert többváltozós sor kivonást átlós együtthatók.
Meghatározás
Legyen f formális sorozat a változókban :
x1,...,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}
f=∑én1,...,énnem⩾0nál nélén1,...,énnemx1én1⋯xneménnem.{\ displaystyle f = \ sum _ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n} \ geqslant 0} a_ {i_ {1}, \ dotsc, i_ {n}} x_ {1} ^ {i_ {1} } \ dotsm x_ {n} ^ {i_ {n}}.}A diagonális a F , megjegyezte , az egyváltozós sorozat által meghatározott
átló(f){\ displaystyle \ kezelőnév {átló} (f)}
átló(f)=∑én⩾0nál nélén,...,éntén.{\ displaystyle \ kezelőnév {diag} (f) = \ sum _ {i \ geqslant 0} a_ {i, \ dotsc, i} t ^ {i}.}Példa
Ha f a sorozat sorozatbővítésének megfelelő sorozat , akkor a sorozat
11-x2-x3-x1x2-x1x3{\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-x_ {2} -x_ {3} -x_ {1} x_ {2} -x_ {1} x_ {3}}}}átló(f){\ displaystyle \ kezelőnév {átló} (f)}
átló(f)=∑nem=0∞(2nemnem)2tnem=2πK(4t),{\ displaystyle \ kezelőnév {diag} (f) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ binom {2n} {n}} ^ {2} t ^ {n} = {\ frac {2 } {\ pi}} K (4 {\ sqrt {t}}),}ahol K a teljes elliptikus integrál az első ilyen.
Tulajdonságok
Differenciál tulajdonságok
Legyen f formális sorozat a változókban . Lipshitz tétel kimondja, hogy ha f jelentése differenciáltan véges (en) , akkor túl. Különösen, ha f racionális sorozat, akkor kielégít egy lineáris differenciálegyenletet polinomi együtthatókkal.
x1,...,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}} átló(f){\ displaystyle \ kezelőnév {átló} (f)}átló(f){\ displaystyle \ kezelőnév {átló} (f)}
Fürstenberg tételei
1967-ben Hillel Furstenberg számos eredményt mutatott be a racionális törtek átlói és az algebrai sorok közötti összefüggésben .
Egy véges , az átlók racionális frakciók algebrai.
Legyen f racionális tört a változókban , együtthatóval egy véges mezőben, egész sorozatban kifejlesztve.
x1,...,xnem{\ displaystyle x_ {1}, \ dotsc, x_ {n}}
Ekkor f átlója algebrai függvény.
Például, ha figyelembe vesszük az 5 modulo átlóját , akkor ezt kiszámoljuk
11-x2-x3-x1x2-x1x3{\ displaystyle {\ tfrac {1} {1-x_ {2} -x_ {3} -x_ {1} x_ {2} -x_ {1} x_ {3}}}}
∑nem=0∞(2nemnem)2tnem≡1(1-t+t2)1/4mod5.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ binom {2n} {n}} ^ {2} t ^ {n} \ equiv {\ frac {1} {(1-t + t ^ {2}) ^ {1/4}}} \ mod 5.}Így a racionális együtthatókkal rendelkező racionális frakciók átlóinak figyelemreméltó tulajdonsága, hogy algebraiak, ha a modulo a prímszámot csökkentik (kivéve talán egy véges számot, ha a frakció csökkentése lehetetlen), még akkor is, ha nem algebrai over felett.
A ℚ , átlóinak bi- változatos racionális frakciók pontosan egyváltozós algebrai sorozat.
Hivatkozások
-
(in) L. Lipshitz , " A D-véges hatványsor átlója D-véges " , J. Algebra , Vol. 113, n o 21988, P. 373-378 ( DOI 10.1016 / 0021-8693 (88) 90166-4 ).
-
(a) Harry Fürstenberg, " algebrai funkciók véges testek felett " , J. algebra , n o 7,1967, P. 271-277 ( DOI 10.1016 / 0021-8693 (67) 90061-0 ).
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">