Hazugság superalgebra

A Lie superalgebra kiterjesztése a fogalom a Lie-algebra hozzáadásával ℤ 2 -graduation . Ez az osztás szétválasztja a szuperalgebrát egy páros és egy páratlan rész közvetlen összegére . Ezt a szerkezetet használják az elméleti fizikában a szuperszimmetria leírására . Az algebra elemei differenciál operátorokkal ábrázolhatók . Ezen elméletek többségében a páros elemek a bozonoknak , a páratlan elemek pedig a fermionoknak felelnek meg .

Meghatározás

A Lie superalgebra egy nem asszociatív superalgebra egy K gyűrűn (általában R vagy C ). ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {A}} _ {0} \ oplus {\ mathcal {A}} _ {1}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {0}}$ megfelel a szuperalgebra páros és páratlan részének. Elemeiről azt mondják , hogy fokuk homogén . Ezzel ellentétben a páros és a páratlan részből álló elemeket nem homogénnek mondjuk . Így, definiáljuk a műveletet , mint jelölésére fokú homogén elem. ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} _ {1}}$ ${\ mathcal {A}} _ {i}$ $én$ ${\ displaystyle | \ cdot |: {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ - \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle | x | \ mapsto {\ begin {cases} 0 \ quad {\ text {si}} \ quad x \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \\ 1 \ quad {\ text {si }} \ quad x \ itt: {\ mathcal {A}} _ {1} \ end {esetben}}}$
A bilineáris belső terméket egy Lie superalgebra jelöli , és hívják Lie szuper horog vagy szuper kapcsolót . Meg kell felelnie a következő két feltételnek: [⋅,⋅]:NÁL NÉL×NÁL NÉL→NÁL NÉL{\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathcal {A}} \ szorzat {\ mathcal {A}} \ - {\ mathcal {A}}} ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathcal {A}} \ szorzat {\ mathcal {A}} \ - {\ mathcal {A}}}$
- Szuper szimmetria :
  ${\ displaystyle \ forall x, y \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad [x, y] = - (- 1) ^ {| x || y |} [y, x]}$
- Jacobi szuper kapcsolat
  ${\ displaystyle \ forall x, y, z \ in {\ mathcal {A}} _ {0} \ cup {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad (-1) ^ {| x || z | } [x, [y, z]] + (- 1) ^ {| y || x |} [y, [z, x]] + (- 1) ^ {| z || y |} [z, [x, y]] = 0}$

Tulajdonságok

${\ displaystyle \ forall x \ itt: {\ mathcal {A}} _ {0} \ quad [x, x] = 0}$
${\ displaystyle \ forall x \ in {\ mathcal {A}} _ {1} \ quad [[x, x], x] = 0}$
${\ displaystyle | [x, y] | = | x | + | y | \ mod 2}$

Példák

${\ displaystyle {\ mathfrak {osp}} (1 | 2)}$

Hagyja , és olyat, hogy: ${\ displaystyle J_ {0} \ in {\ mathcal {A}} _ {0}}$ ${\ displaystyle J _ {+} \ itt: {\ mathcal {A}} _ {1}}$ ${\ displaystyle J _ {-} \ in {\ mathcal {A}} _ {1}}$

${\ displaystyle [J_ {0}, J _ {+}] = J _ {+}}$
${\ displaystyle [J_ {0}, J _ {-}] = - J _ {-}}$
${\ displaystyle [J _ {+}, J _ {-}] = 2J_ {0}}$

Ekkor a beállított , látva a Lie szuper horog által meghatározott bilinearity és a termékek , és ez képezi a Lie superalgebra . ${\ displaystyle \ {a \ cdot J_ {0} + b \ cdot J _ {+} + c \ cdot J _ {-} | a, b, c \ in \ mathbb {C} \}}$ ${\ displaystyle J_ {0}}$ ${\ displaystyle J _ {+}}$ ${\ displaystyle J _ {-}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {osp}} (1 | 2)}$

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

(fr) Ez a cikk részben vagy teljes egészében kivett angol Wikipedia cikket „ Lie superalgebra ” ( lásd a szerzők listáját ) .

Hivatkozások

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

A Lie superalgebra ábrázolása (en)
Superalgebra (en)
Diplomás algebra
Hazugság algebra
Jacobi-kapcsolat

Külső linkek