A csirke száma és túlszáma

A számtani , a prímteszt jelenlegi páratlan számú n , hogy vizsgálatot, ha n oszt 2 n - 2: különben az contrapositive a kis Fermat-tétel , arra a következtetésre jutottunk, hogy n nem prím. Vannak azonban olyan összetett számok, amelyek sikeresen teljesítik ezt a tesztet: csirkeszámoknak hívják őket , Paul Poulet tiszteletére, aki 1926-ban felsorolt néhányat, vagy Sarrus- számokat , mert F. Sarrus 1819-ben fedezte fel e számok egy részét (például 341-et).

Az n összetett szám tehát csirke szám, ha n elosztja 2 n - 2 értéket, más szóval, ha gyengén álprím a 2. bázisban.
A csirke szuperszám olyan összetett szám, amelynek összesített osztói csirkeszámok (ezek az osztók ekkor csirkeszámszámok is), vagy megint: összetett számok, ahol minden d osztó osztja 2 d - 2.

Példák

A 341 egész szám a csirke szuperszáma, mert 2 10 - 1 osztható 341-gyel = 11 × 31, így 2 10 k - 1 is (minden pozitív k egész számra ) és 2 10 k +1 - 2 = 2 × (2 10 k - 1) különösen:

2 11 - 2 osztható 11-gyel;
2 31 - 2 osztható 31-gyel;
2 341 - 2 osztható 341-gyel.

A félig elsőszámú csirke számok csirke szuperszámok voltak, valójában elég volt a harmadik pont ellenőrzésére.

Csirke prímszámok és szuperszámok

A csirke prímszámát és szuperszámát, valamint bontását az alábbi táblázatok mutatják be:

Csirkeszámok

Szám	Bomlás
341	11 × 31
561	3 × 11 × 17
645	3 × 5 × 43
1105	5 × 13 × 17
1387	19 × 73
1729	7 × 13 × 19
1905	3 × 5 × 127
2047	23 × 89
2465	5 × 17 × 29
2701	37 × 73
2821	7 × 13 × 31

Csirke Supernumbers

Szám	Bomlás
341	11 × 31
1387	19 × 73
2047	23 × 89
2701	37 × 73
3277	29 × 113
4033	37 × 109
4369	17 × 257
4681	31 × 151
5461	43 × 127
7957	73 × 109
8321	53 × 157

Még a csirkeszámok is

Szám	Bomlás
161038	2 × 73 × 1103
215326	2 × 23 × 31 × 151
2568226	2 × 23 × 31 × 1801
3020626	2 × 7 × 359 × 601
7866046	2 × 23 × 271 × 631
9115426	2 × 31 × 233 × 631
49699666	2 × 311 × 79903
143742226	2 × 23 × 31 × 100801
161292286	2 × 127 × 199 × 3191
196116194	2 × 127 × 599 × 1289
209665666	2 × 7 × 89 × 197 × 881

Észrevehetjük, hogy az itt bemutatott csirke szuperszámok mind félig prímek.

Félig főszámú csirke

Bármely félig prím csirke szám pq (ahol p és q két prímszám, nem feltétlenül különböznek egymástól) csirke szuperszám. Valójában Fermat kis tétele szerint a további 2 p ≡ 2 mod p és 2 q ≡ 2 mod q feltételek automatikusan teljesülnek.

Másrészt, ha p és q két külön prímszám, akkor pq akkor és csak akkor egy csirke (szuper) szám, ha p osztja 2 q - 2 és q osztja 2 p - 2.

Demonstráció

Fermat kis tétele szerint 2 pq = (2 q ) p ≡ 2 q mod p és hasonlóan 2 pq ≡ 2 p mod q . A „2 q ≡ 2 mod p és 2 p ≡ 2 mod q ” feltétel tehát egyenértékű a „2 pq ≡ 2 mod p és 2 pq ≡ 2 mod q ” -val . Ezért a „2 pq ≡ 2 mod pq ” feltétel implikálja, sőt egyenértékű vele, ha p és q megkülönböztethetők a kínai maradék tétel szerint .

Egy félig-prímszám a forma p 2 egy csirke (szuper) száma, ha, és csak akkor, ha p jelentése wieferich-prímek száma (csak két ismert: p = 1,093 és p = 3.511 ).

Demonstráció

Ha 2 p 2 ≡ 2 mod p 2, akkor p ≠ 2 ezért (mod p 2 ) 2 invertálható, és szorzási sorrendje p 2 - 1 osztója . Azonban ( Euler-tétel ) osztója a p 2 - p-nek is . Ezért a p - 1 osztója .

Ellenben, ha 2 p –1 ≡ 1 mod p 2, akkor (mod p 2 ) 2 p 2 = 2 1+ ( p –1) ( p +1) ≡ 2 × 1 p +1 = 2.

(Szuper) csirke szám, több mint két fő tényezővel

A csirkeszámokat és a szuperszámokat több mint két fő tényezővel állíthatjuk össze az alábbiak szerint:

Legyen n 1 , n 2 ,…, n k prím, k ≥ 3-val. Ha az i ≠ j összes n i és minden n i n j csirkeszám vagy prím, akkor n 1 n 2 … n k szám csirkéből (tehát ugyanúgy, ha a „csirke száma (i)” helyébe a „csirke túlszáma (i)” lép).

Demonstráció

Indukcióval elegendő a $k = 3$ esetet figyelembe venni . Legyen tehát az $a$ , $b$ és $c$ három szám, amely megfelel ezeknek a feltételeknek. Hipotézis szerint

${\ displaystyle 2 \ equiv 2 ^ {a} \ mod a \ quad {\ rm {et}} \ quad 2 ^ {ab} \ equiv 2 \ mod {ab}.}$

Modulo $a$ , ezért rendelkezünk:

${\ displaystyle 2 ^ {b} \ equiv (2 ^ {a}) ^ {b} = 2 ^ {ab} \ equiv 2}$

és hasonlóan $2 c \equiv 2$ , tehát

${\ displaystyle 2 ^ {abc} = (2 ^ {b}) ^ {ca} \ equiv 2 ^ {ca} = (2 ^ {c}) ^ {a} \ equiv 2 ^ {a} \ equiv 2. }$

Hasonlóképpen, $2 abc \equiv 2$ modulo $b$ és $c$ , ezért modulo $abc,$ mivel $a$ , $b$ és $c$ koprime.

Például a fenti táblázatból könnyen leolvasható, hogy a 37, 73 és 109 prímszámok megfelelőek. Termékük: 294409 = 37 × 73 × 109 a Csirke szuperszáma.

Hét, nyolc elsődleges tényező és még sok más

A következő prímszámú családok lehetővé teszik a csirkeszámok megszerzését legfeljebb hét különféle prímtényezővel:

103, 307, 2143, 2857, 6529, 11119, 131071
709, 2833, 3541, 12037, 31153, 174877, 184081
1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301 (*)
6421, 12841, 51361, 57781, 115561, 192601, 205441

Ezek a családok akár nyolc különálló fő tényezőt is megengednek:

1861, 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102301, 316201 (*)
2383, 6353, 13499, 50023, 53993, 202471, 321571, 476401
2053, 8209, 16417, 57457, 246241, 262657, 279073, 525313
1801, 8101, 54001, 63901, 100801, 115201, 617401, 695701

Vegye figyelembe a fenti (*) jellel jelölt két vonal kapcsolatát! Ez a prímszámok listája valójában huszonkét külön prímszámig folytatható:

1861 5581, 11161, 26041, 37201, 87421, 102.301, 316.201, 4.242.661, 52.597.081, 364.831.561, 2903110321, 8973817381, 11292210661, 76712902561, 103.410.510.721.501, 29126056043168521, 3843336736934094661, 24865899693834809641, 57805828745692758010628581, 9767813704995838737083111101, 934679543354395459765322784642019625339542212601

Szögletes tényezők

Vannak olyan csirkeszámok is, amelyek négyzetes tényezőkkel rendelkeznek, például 1093 2 × 4733 .

Még a csirkeszámok is

Páros számú csirke ismert; közülük a legkisebbet, 161038 = 2 × 73 × 1103 Derrick Lehmer fedezte fel 1950-ben.

Azt is nagyon könnyű kimutatni, hogy nincsenek még csirkeszámok sem. Valójában egy ilyen szám megengedne egy osztót, amely a prím formából áll , amely egy csirke lesz. Arany $2p$ $o$

{\ displaystyle 2 ^ {2p} -2 = (2 ^ {p} -2) (2 ^ {p} +2) +2.}

Ha ez egy csirke, akkor osztható a következőkkel : erre következtetünk $2p$

$o$ Hasított ${\ displaystyle (2 ^ {p} -2) (2 ^ {p-1} +1) +1.}$

Most, Fermat kis tétele szerint , oszt . Ezután megosztottunk , ami abszurd. Ezért nincs csirke száma formában a prime, és még inkább nem, még Chicken supernumber. $o$ ${\ displaystyle (2 ^ {p} -2)}$ $o$ $1$ $2p$ $o$

Megjegyzések és hivatkozások

Jean-Paul Delahaye , csodálatos prímszámok ,2012, 2 nd ed. ( ISBN 978-2-84245-117-2 ) , p. 213.

Külső linkek

A teljes Sloane- lakosztályok elektronikus enciklopédiáján a következőket találjuk:

A csirke számának A001567 szekvenciája
Csirke szuperszámú csomag A050217
Páros csirkeszámok A006935 szekvenciája

Ez az oldal sok információt tartalmaz a csirke számokról és a szuperszámokról:

Álprimek (Gérard Michon)