Felület (analitikai geometria)
Az analitikai geometriában az egyik a felületeket ábrázolja , vagyis azokat a ponthalmazokat, amelyeken két valós koordináta segítségével lokálisan lehet elhelyezkedni , pontjaik koordinátái közötti kapcsolatokkal , amelyeket a felület egyenleteinek nevezünk,
vagy paraméterekkel. reprezentációk.
Ez a cikk azokat a felületek tulajdonságait tanulmányozza, amelyeket ez a megközelítés (gyakran külsőnek neveznek ) lehetővé tesz. Részletesebb eredményekért lásd: A felületek differenciális geometriája .
Affin tulajdonságok
A cikkben feltételezzük, hogy helyet biztosítottunk egy koordinátarendszerrel , amelyben az összes koordináta kifejeződik.
Parametrikus ábrázolás
A paraméterezett abrosz két változó három függvényének adata (nyitott lemezen, téglalapon vagy általában véve nyitott lemezen definiálva )
R2{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
x=f(u,v),y=g(u,v)z=h(u,v){\ displaystyle x = f (u, v), \, y = g (u, v) \, z = h (u, v)}.
amelyek egy M pont koordinátáit jelentik a koordinátarendszerhez képest(O,én→,j→,k→){\ displaystyle (O, {\ overrightarrow {i}}, {\ overrightarrow {j}}, {\ overrightarrow {k}})}
Azt akarjuk mondani, hogy egy felület egy paraméterezett terítő képe. De néhány óvintézkedésre szükség van: ha f ( u , v ) = u , g ( u , v ) = h ( u , v ) = 0 értéket veszünk fel, akkor van egy paraméterezett terítőnk, amelynek képe egyenes vonalú.
Injekciós esetben S bármelyik M pontja egyedi párost ( u , v ) enged meg az előzménynek.
F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
A paraméterezett réteg fontos sajátos esete két változó függvényének grafikonja: mikor . Ezután kapunk egy felületet, amelyet a derékszögű egyenlet képvisel .
x=u,y=v,z=h(u,v){\ displaystyle x = u, y = v, z = h (u, v)} z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}
Egy felület egyenlete
Adott három változó H függvénye, az M pontok halmaza, amelyek koordinátái a referenciakeretben, amelyet magunk adtunk meg, H (x, y, z) = 0 , egy felület. Amikor a környéken egy pont az S , az egyenlet megoldható z , mi hozta vissza, ezen a környéken, hogy a Descartes-egyenlet . Ez a helyzet, amikor .
(x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}H(x,y,z)=0{\ displaystyle H (x, y, z) = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}∂H∂z(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle {\ frac {\ részleges H} {\ részleges z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}
További részletek
Ha valaki megelégszik az ezt megelőző nézőpontokkal, példákat kap, amelyeket jobb lenne kizárni (vö. Az abrosz ). Ezenkívül a paraméterezéstől az egyenletig vagy fordítva nem könnyű áttérni.
(u,v)↦(u,0,0){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (u, 0,0)}
A paraméterezett abrosz szabályos, ha
F→=(f,g,h){\ displaystyle {\ overrightarrow {F}} = (f, g, h)}
-
F→{\ displaystyle {\ overrightarrow {F}}}az osztályVS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- a vektorok és mindenhol lineárisan függetlenek.∂F→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overrightarrow {F}}} {\ részben u}}}∂F→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ részleges {\ overrightarrow {F}}} {\ részleges v}}}
Példák
- A z = h ( x , y ) derékszögű egyenlet felületéhez társított paraméterezett terítő szabályos (ha h van )VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
- Ha F értéke van , és ha részleges deriváltjai nem törlődnek egyidejűleg , akkor az implicit függvénytétel szerint lokálisan gráf.VS1{\ displaystyle C ^ {1}}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}F-1(0){\ displaystyle F ^ {- 1} (0)}
Valójában az implicit függvénytétel speciális esete a következő eredmény.
Tétel - Részben a következő két tulajdonság egyenértékű:
S⊂R3{\ displaystyle S \ subset \ mathbb {R} ^ {3}}
- Mindenért létezik egy nyitott U az , hogy a kép a rendszeres paraméterezett terítő.M∈S{\ displaystyle M \ S-ben}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}U∩S{\ displaystyle U \ cap S}
- Ugyanis létezik nyitott V , amely bármelyik függvény grafikonjának bármelyike (ha szükséges, a koordináták cseréje után) .M∈S{\ displaystyle M \ S-ben}R3{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}V∩S{\ displaystyle V \ cap S}VS1{\ displaystyle C ^ {1}}
A gyakorlatban a vizsgált felületek leggyakrabban szabályos rétegek képtalálkozói. Ha ez nem így van, eseti alapon vizsgáljuk meg.
Példák
- Az O középpontú és 1 sugarú gömbön megvan az egyenlet . Fontolóra vehetjük a paraméterezett terítőt isx2+y2+z2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}
(u,v)↦(kötözősalátaukötözősalátav,bűnukötözősalátav,bűnv){\ displaystyle (u, v) \ mapsto (\ cos u \ cos v, \ sin u \ cos v, \ sin v)}
amely rendszeres és injekciós, de nem túlszaporító. Az u és v számok a földrajziak hosszúságának és szélességének felelnek meg. De a rendszeresség elvész . Mindenesetre lehetetlen az egész gömböt szabályos injekciós réteggel megvalósítani: egy ilyen réteg nyitott tervvel a gömb homeomorfizmusát adná .
[0,2π[×]-π2,π2[{\ displaystyle [0,2 \ pi [\ times] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} [}v=±π2{\ displaystyle v = \ pm {\ frac {\ pi} {2}}}
- az egyenlet az Oz tengellyel és a szöggel ellátott fordulat kúpját ábrázolja .z2=x2+y2{\ displaystyle z ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}}π4{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}
Ez a paraméterezett terítő képe
(r,θ)↦(rkötözősalátaθ,rbűnθ,r){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, r)}
ami ugyan rendszeres .
r≠0{\ displaystyle r \ not = 0}
- az Oz tengellyel rendelkező fordulatfelület előállítható a (with ) forma egyenletével vagy egy paraméterezett lap segítségével .F(r,z)=0{\ displaystyle F (r, z) = 0}r=x2+y2{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}(r,θ)↦(rkötözősalátaθ,rbűnθ,f(r)){\ displaystyle (r, \ theta) \ mapsto \ bal (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta, f (r) \ right)}
Összehangolt görbék
Legyen S a (konstans) által definiált felület , ezt az egyenletfelületet koordinátagörbének nevezzük .
OM→=F→(u,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v)}v=v0{\ displaystyle v = v_ {0}}OM→=F→(u,v0){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u, v_ {0})}VSv0{\ displaystyle C_ {v_ {0}}}
Ha az összes elfogadható értéken keresztül haladunk, akkor a görbék találkozása az S felület .
v0{\ displaystyle v_ {0}}v0,v1,v2,...vnem{\ displaystyle v_ {0}, v_ {1}, v_ {2}, ... v_ {n}}VSv0,VSv1,VSv2,...VSvnem,{\ displaystyle C_ {v_ {0}}, C_ {v_ {1}}, C_ {v_ {2}}, ... C_ {v_ {n}},}
Ugyanez a folyamat érvényes az egyenletgörbék meghatározására is .
VSu0{\ displaystyle C_ {u_ {0}}}OM→=F→(u0,v){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u_ {0}, v)}
Felületre rajzolt görbe
Egy alkalmazás határozza meg, és az összes M egyenletpontból áll:
t↦f(u,v){\ displaystyle t \ mapsto f (u, v)}
OM→=F→(u(t),v(t)){\ displaystyle {\ overrightarrow {OM}} = {\ overrightarrow {F}} (u (t), v (t))}Tartalmazza S és az említett rajzolt S .
Érintők és a felületet érintő sík
Az S felület érintőjét annak a pontnak hívjuk, amely az S-re rajzolt görbe érintőjét tartalmazza .
M0{\ displaystyle M_ {0}}M0{\ displaystyle M_ {0}}
Legyen függvény, és a szomszédságában a vektor és a folytonos parciális deriváltak .
f{\ displaystyle f}(u,v)↦OM→(u,v){\ displaystyle (u, v) \ mapsto {\ overrightarrow {OM}} (u, v)}u0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges v}}}u0,v0{\ displaystyle u_ {0}, v_ {0}}
Ha a vektorok és független (nem kollineáris), az összes vektor tangensét a görbék rajzolt és átmegy ezen a ponton az átmenő sík , és amely a két vektor. Definíció szerint ez a pont érintő síkja .
∂M→∂u{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges u}}}∂M→∂v{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges v}}}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}S{\ displaystyle S}M0{\ displaystyle M_ {0}}
Legyen egy érintő sík, amelyet a pont határoz meg , és két nem kollináris vektor:
M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}
∂M→∂u0=(∂x∂u0,∂y∂u0,∂z∂u0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges u_ {0}}} = \ balra ({\ frac {\ részleges x} {\ részleges u_ {0}}}, {\ frac { \ részleges y} {\ részleges u_ {0}}}, {\ frac {\ részleges z} {\ részleges u_ {0}}} \ jobb)}, és
∂M→∂v0=(∂x∂v0,∂y∂v0,∂z∂v0){\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges v_ {0}}} = \ balra ({\ frac {\ részleges x} {\ részleges v_ {0}}}, {\ frac { \ részleges y} {\ részleges v_ {0}}}, {\ frac {\ részleges z} {\ részleges v_ {0}}} \ jobb)}
Egyenlete:
|x-x0∂x∂u0∂x∂v0y-y0∂y∂u0∂y∂v0z-z0∂z∂u0∂z∂v0|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ részben x} {\ részleges u_ {0}}} és {\ frac {\ részleges x} {\ részleges v_ {0}} } \\ y-y_ {0} és {\ frac {\ részleges y} {\ részleges u_ {0}}} és {\ frac {\ részleges y} {\ részleges v_ {0}}} \\ z-z_ {0} & {\ frac {\ részben z} {\ részleges u_ {0}}} és {\ frac {\ részleges z} {\ részleges v_ {0}}} \ vég {vmatrix}} = 0 \,}Például, ha a (z) egyenlete formájú , akkor pózolva
és megvan:
S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}o=hx′(x0,y0),{\ displaystyle p = h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}q=hy′(x0,y0),{\ displaystyle q = h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}),}
z-z0=o(x-x0)+q(y-y0){\ displaystyle z-z_ {0} = p (x-x_ {0}) + q (y-y_ {0}) \,}
Ha az egyenlet implicit formában , és ha egy részleges származéka f a nem nulla, tudjuk csökkenteni, hogy a fenti esetben a implicit függvény tétel. Például, ha tudunk írni , és van is
S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z)=0{\ displaystyle f (x, y, z) = 0 \,}(x0,y0,z0){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}fz′(x0,y0,z0)≠0{\ displaystyle f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ not = 0}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y) \,}
hx′(x0,y0)=-fx′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0) et hy′(x0,y0)=-fy′(x0,y0,z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle h_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} )} {f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} \ \ mathrm {és} \ h_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}) = - {\ frac {f '_ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})} {f' _ {z} (x_ {0}, y_ {0} , z_ {0})}} \,}.
Ezután felírják az érintősík egyenletét
(x-x0)fx′(x0,y0,z0)+(y-y0)fy′(x0,y0,z0)+(z-z0)fz′(x0,y0,z0)=0{\ displaystyle (x-x_ {0}) f '_ {x} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (y-y_ {0}) f' _ {y} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) + (z-z_ {0}) f '_ {z} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) = 0},
vagy vektoros formában,
M0M→⋅grNak nekd f(M0)=0{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) = 0}.
Metrikus tulajdonságok
Normál egy felületre
A pont felületét érintő síkot a vektorok és .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges u_ {0}}}}∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges v_ {0}}}}
Egy felhívja felületre merőleges a ponton a szokásos a érintősík: ez így is elismeri irányítására vektor .
S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}∂M→∂u0∧∂M→∂v0{\ displaystyle {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges u_ {0}}} \ ék {\ frac {\ overrightarrow {\ részleges M}} {\ részleges v_ {0}}}}
Egyenletei a következők:
x-x0∂(y,z)∂(u0,v0)=y-y0∂(z,x)∂(u0,v0)=z-z0∂(x,y)∂(u0,v0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ részleges (y, z)} {\ részleges (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ részleges (z, x)} {\ részleges (u_ {0}, v_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ részleges (x, y)} {\ részleges (u_ {0}, v_ {0})}}}},
például a jakobival egyenlő .
∂(y,z)∂(u0,v0){\ displaystyle {\ frac {\ részleges (y, z)} {\ részleges (u_ {0}, v_ {0})}}}|∂y∂u0∂y∂v0∂z∂u0∂z∂v0|{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ részleges y} {\ részleges u_ {0}}} és {\ frac {\ részleges y} {\ részleges v_ {0}}} \\ {\ frac { \ részleges z} {\ részleges u_ {0}}} és {\ frac {\ részleges z} {\ részleges v_ {0}}} \ vég {vmatrix}}}
Abban az esetben, ha a felület határozza meg derékszögű egyenlet , az egyenlet a normál ponton adják
S{\ displaystyle S \,}z=h(x,y){\ displaystyle z = h (x, y)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
x-x0o=y-y0q=z-z0-1{\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {p}} = {\ frac {y-y_ {0}} {q}} = {\ frac {z-z_ {0}} {- 1} } \,}
Abban az esetben, ha a felületet implicit egyenlet határozza meg , a pontban lévő normálnak a vektor irányításához meg kell adnia az in gradienst , és az egyenletet felírják
S{\ displaystyle S \,}f(x,y,z){\ displaystyle f (x, y, z)}S{\ displaystyle S \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}f{\ displaystyle f \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}
(x-x0)fx′(x0,y0,z0)=(y-y0)fy′(x0,y0,z0)=(z-z0)fz′(x0,y0,z0){\ displaystyle {\ frac {(x-x_ {0})} {f_ {x} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {( y-y_ {0})} {f_ {y} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}} = {\ frac {(z-z_ {0})} {f_ {z} ^ {\ prime} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}},},
vagy vektoros formában:
M0M→=ρ⋅grNak nekd f(M0),ρ∈R{\ displaystyle {\ overrightarrow {M_ {0} M}} = \ rho \ cdot \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ rho \ in \ mathbb {R}}.
Két felület metszéspontja
Legyen a felületek görbéje , metszéspontja, és amelyek egyenletei:
VS{\ displaystyle C \,}S1{\ displaystyle S_ {1} \,}S2{\ displaystyle S_ {2} \,}
S1↦f(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {1} \ mapsto f (x, y, z) = 0}, és .
S2↦g(x,y,z)=0{\ displaystyle S_ {2} \ mapsto g (x, y, z) = 0}Ezek két felület minden bevallani egy érintő sík , illetve tudomásul veszi , és .
M0(x0,y0,z0){\ displaystyle M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}
A vonal metszéspontjában keletkező a síkok és a tangens a .
P1{\ displaystyle P_ {1} \,}P2{\ displaystyle P_ {2} \,}M0{\ displaystyle M_ {0}}VS{\ displaystyle C \,}
Vezető vektoraként elismeri:
W→=grNak nekd f(M0)∧grNak nekd g(M0){\ displaystyle {\ overrightarrow {W}} = \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}) \ wedge \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0})}
Legyen az egyenlet:
x-x0∂(f,g)∂(y0,z0)=y-y0∂(f,g)∂(z0,x0)=z-z0∂(f,g)∂(x0,y0){\ displaystyle {\ frac {x-x_ {0}} {\ frac {\ részleges (f, g)} {\ részleges (y_ {0}, z_ {0})}}} = {\ frac {y- y_ {0}} {\ frac {\ részleges (f, g)} {\ részleges (z_ {0}, x_ {0})}}} = {\ frac {z-z_ {0}} {\ frac { \ részleges (f, g)} {\ részleges (x_ {0}, y_ {0})}}}}
Az egyenlet a sík merőleges az A terv meghatározása ,
VS{\ displaystyle C \,}M0{\ displaystyle M_ {0} \,}M0,grNak nekd f(M0),grNak nekd g(M0){\ displaystyle M_ {0}, \ mathbf {grad} ~ f (M_ {0}), \ mathbf {grad} ~ g (M_ {0}) \,}
Egyenlete:
|x-x0∂f∂x(M0)∂g∂x(M0)y-y0∂f∂y(M0)∂g∂y(M0)z-z0∂f∂z(M0)∂g∂z(M0)|=0{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} x-x_ {0} & {\ frac {\ részleges f} {\ részleges x}} (M_ {0}) és {\ frac {\ részleges g} {\ részleges x} } (M_ {0}) \\ y-y_ {0} és {\ frac {\ részleges f} {\ részleges y}} (M_ {0}) és {\ frac {\ részleges g} {\ részleges y} } (M_ {0}) \\ z-z_ {0} és {\ frac {\ részleges f} {\ részleges z}} (M_ {0}) és {\ frac {\ részleges g} {\ részleges z} } (M_ {0}) \ end {vmatrix}} = 0 \,}Lásd is
Bibliográfia
Kapcsolódó cikkek
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">