Szünet

A valószínűségelméletben , különösen a sztochasztikus folyamatok tanulmányozása során , a megállási idő (más néven opcionális megállási idő , és megfelel egy Markov- időnek vagy egy meghatározott Markov-pillanatnak ) egy véletlen változó, amelynek értékét úgy értelmezik, mint azt a pillanatot, amikor a egy adott sztochasztikus folyamat érdekes lehet. Az állásidőt gyakran egy leállítási szabály határozza meg, egy mechanizmus annak eldöntésére, hogy folytatni kell-e vagy le kell állítani egy folyamatot az aktuális helyzet és a múltbeli események alapján.

Ez a megállási idő lehet például az a pillanat, amikor egy sztochasztikus folyamat véget ér, vagy egy Poisson- folyamatban és más , független álló helyzetű növekedéssel járó Lévy-folyamatokban az inkrementális „ugrás” pillanata.

Ez a leállás, amely semmilyen jövőbeli eseményre nem támaszkodik, szorosan összefügg a Markov-folyamatok erős tulajdonságával .

A megállási idők fontos szerepet játszanak a döntéselméletben, a martingálokban pedig Doob stop tétele (vagy opcionális stop tétele) szabályozza őket.

Definíciók

Definíció  -  A véletlen változó egy megállási idő tekintetében a szűrés , ha T:Ω→NEM∪{∞}{\ displaystyle T: \ Omega \ rightarrow \ mathbb {N} \ cup \ {\ infty \}} (Fnem)nem≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

∀nem∈NEM,{T=nem}∈Fnem,{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n},}

vagy azzal egyenértékű módon, ha

∀nem∈NEM,{T≤nem}∈Fnem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ quad \ {T \ leq n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Értelmezés

Képzeljük el, hogy itt jelöljük meg az utána generált törzset, és hogy a véletlenszerű változók a játékos eredményeit reprezentálják a játék egymást követő részei során. Véletlen változók esetén, amelyek értéke véges vagy megszámlálható állapottérben , egy rész tartozik hogy akkor és csak akkor létezik olyan, hogy  Fnem {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (xk)0≤k≤nem, {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}, \}  xk {\ displaystyle \ scriptstyle \ X_ {k} \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} NÁL NÉL⊂Ω {\ displaystyle \ scriptstyle \ A \ alhalmaz \ Omega \} Fnem {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} B⊂Enem+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B \ E ^ {n + 1} \} részhalmaz

NÁL NÉL={(x0,x1,...,xnem)∈B}={ω∈Ω | (xk(ω))0≤k≤nem∈B}.{\ displaystyle {\ begin {aligned} A & = \ bal \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ pöttyök, X_ {n}) \ B-ben jobbra \} \\ & = \ bal \ { \ omega \ in \ Omega \ | \ \ left (X_ {k} (\ omega) \ right) _ {0 \ leq k \ leq n} \ in B \ right \}. \ end {igazított}}}

Tegyük fel, hogy ez annak a játéknak a számát jelenti, amely után a játékos úgy dönt, hogy abbahagyja a játékot: tehát akkor és csak akkor van időkorlát, ha a leállításról a játék idején már lejátszott játékok eredményei alapján születik döntés. azaz ha mindenre létezik olyan részhalmaz, mint például:  T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} nem {\ displaystyle \ scriptstyle \ n \} Bnem⊂Enem+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ B_ {n} \ E halmaz {0} {n + 1} \}

{T=nem}⇔{(x0,x1,...,xnem)∈Bnem}.{\ displaystyle \ {T = n \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {(X_ {0}, X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ B_ {n} \ right \}. }

Az a pillanat, amikor a játékos megáll, tehát időtúllépés, ha a megállás meghozatalakor a döntés nem veszi figyelembe a jövőbeli játékok eredményeit, tehát azzal a feltételezéssel, hogy a kettős látás és a csalás ajándéka kizárt.

Jelölések

• Legyen egy véletlen változó ( sztochasztikus folyamat ) és T egy leállási idő egy szűréshez képest . A T időpontban megfigyelt (vagy a T időpontban leállított ) folyamatot megjegyezzük és meghatározzuk(xnem)nem≥0 {\ displaystyle (X_ {n}) _ {n} \ geq 0 \} (Fnem)nem≥0{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}} xT(ω), {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega), \}

xT(ω)=xT(ω)(ω)=∑nem≥0xnem(ω)1T(ω)=nem.{\ displaystyle {\ begin {aligned} X_ {T} (\ omega) & = X_ {T (\ omega)} (\ omega) \\ & = \ sum _ {n \ geq 0} X_ {n} (\ omega) 1_ {T (\ omega) = n}. \ vég {igazítva}}} Összességében a definíció problematikus: a kétértelműséget de facto megszünteti a pózolás{ω∈Ω|T(ω)=+∞}, {\ displaystyle \ {\ omega \ in \ Omega \, | \, T (\ omega) = + \ infty \}, \} xT(ω) {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) \} xT(ω)=0. {\ displaystyle \ X_ {T} (\ omega) = 0. \}

• Vagy leállás, vagy bármelyikT{\ displaystyle T \,}NEM∈NEM:{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}:}
  • T∧NEM{\ displaystyle T \ ék N} az által definiált véletlen változó (T∧NEM)(ω)=min(T(ω),NEM);{\ displaystyle (T \ ék N) (\ omega) = \ min (T (\ omega), N) \,;}
  • T∨NEM{\ displaystyle T \ vee N}az által definiált véletlen változó .(T∨NEM)(ω)=max(T(ω),NEM){\ displaystyle (T \ vee N) (\ omega) = \ max (T (\ omega), N) \,}

Tulajdonságok

Vagyon  -  Vagy leállás, vagy . Tehát és leállás. T{\ displaystyle T \,}NEM∈NEM{\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}S: =T∧NEM, S′: =T∨NEM {\ displaystyle S: = T \ ék N, \ S ^ {\ prime}: = T \ vee N \} S′′: =T+NEM {\ displaystyle \ S ^ {\ prime \ prime}: = T + N \}

Demonstráció

Csak az első pontot fogjuk bizonyítani, a másik kettő hasonló:

{S=nem}={T∧NEM=nem}={T=nem,nem≤NEM}∪{nem=NEM,T≥NEM}.{\ displaystyle \ {S = n \} = \ {T \ ék N = n \} = \ {T = n, n \ leq N \} \ csésze \ {n = N, T \ geq N \}.}

Arany

{T=nem}∈Fnem  és {T≥NEM}={T≤NEM-1}vs.∈FNEM-1⊂FNEM.{\ displaystyle \ {T = n \} \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \ {\ text {és}} \ {T \ geq N \} = \ {T \ leq N-1 \} ^ {c} \ a {\ mathcal {F}} _ {N-1} \ alhalmazban {\ mathcal {F}} _ {N}.}

Tulajdon  -  Hasonlóképpen, ha leállás van, akkor az is. S et T{\ displaystyle S \ és \ T}S∧T{\ displaystyle S \ ék T}

Meghatározás és tulajdonság  -  Vagy leállás, és eseménynek hívják, mielőtt : T{\ displaystyle T \,}NÁL NÉL∈F∞ : NÁL NÉL{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty} \: \ A \,}T{\ displaystyle T \,}

∀nem∈NEM NÁL NÉL∩(T=nem)∈Fnem.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Mindezek az események az úgynevezett törzs egy al-törzsét képezik azelőtt és megjegyezveF∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}T{\ displaystyle T \,}FT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Demonstráció

• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} tartalmazza Ω{\ displaystyle \ Omega \,}
• FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}} megszámlálható unióval stabil
• Bármelyiket . Mi Holnem∈NEM{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}NÁL NÉL∩(T=nem)∈Fnem et (T=nem)∈Fnem. {\ displaystyle A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \ és \ (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}. \}

Fnem∋(T=nem)∩(NÁL NÉL∩(T=nem))vs.=(T=nem)∩(NÁL NÉLvs.∪(T≠nem)){\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} \ ni (T = n) \ cap (A \ cap (T = n)) ^ {c} = (T = n) \ cap (A ^ {c } \ csésze (T \ neq n))}

=((T=nem)∩NÁL NÉLvs.)∪((T=nem)∩(T≠nem))=((T=nem)∩NÁL NÉLvs.)∪∅=NÁL NÉLvs.∩(T=nem){\ displaystyle = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup ((T = n) \ cap (T \ neq n)) = ((T = n) \ cap A ^ {c}) \ cup \ emptyyset = A ^ {c} \ cap (T = n)},

és a komplementaritás révén stabil.FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Tétel  :  Legyen és legyen két megállási idő olyan, hogy ps. Akkor van . S{\ displaystyle S \,}T{\ displaystyle T \,}S≤T{\ displaystyle S \ leq T}FS⊂FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {S} \ subset {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstráció

Bármelyik , vagyis . Ahogy több ps . Ennek eredményeként NÁL NÉL∈FS{\ displaystyle A \ in {\ mathcal {F}} _ {S}}∀nem∈NEM , NÁL NÉL∩(S≤nem)∈Fnem{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \, \ A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}S≤T{\ displaystyle S \ leq T \,}(T≤nem)⊂(S≤nem){\ displaystyle (T \ leq n) \ részhalmaz (S \ leq n)}

NÁL NÉL∩(T≤nem)=NÁL NÉL∩(T≤nem)∩(S≤nem).{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) = A \ cap (T \ leq n) \ cap (S \ leq n).}

Az arany és mert leállás. Ebből kifolyólag NÁL NÉL∩(S≤nem)∈Fnem{\ displaystyle A \ cap (S \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}}(T≤nem)∈Fnem{\ displaystyle (T \ leq n) \ itt: {\ mathcal {F}} _ {n}}T{\ displaystyle T \,}

NÁL NÉL∩(T≤nem)∈Fnem.{\ displaystyle A \ cap (T \ leq n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Lemma  -  Legyen egy mérhető véletlen változó . is -mérhető iff is -mérhető. Z{\ displaystyle Z \,}F∞{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}∀nem , 1(T=nem)×Z{\ displaystyle \ összes n \, \ 1 _ {(T = n)} \ Z-szerFnem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

Demonstráció

⇒{\ displaystyle \ Rightarrow} :

Z{\ displaystyle Z \,}van mérhető. val velFT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}(1(T=nem)×Z)-1(x)=Z-1(x)∩(T=nem){\ displaystyle (1 _ {(T = n)} \ Z-szer] ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n)}Z-1(x)∈FT.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ itt: {\ mathcal {F}} _ {T}.}

Arany FT={NÁL NÉL∈F∞/∀nem NÁL NÉL∩(T=nem)∈Fnem}.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T} = \ {A \ in {\ mathcal {F}} _ {\ infty} / \ forall n \ A \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {n} \}.}

Ebből kifolyólag Z-1(x)∩(T=nem)∈Fnem.{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ itt: {\ mathcal {F}} _ {n}.}

Végül is mérhető. 1(T=nem)×Z{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ szorosa Z \,}Fnem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}

⇐{\ displaystyle \ Leftarrow} :

(1(T=nem)∗Z)-1(x)=Z-1(x)∩(T=nem)∈Fnem{\ displaystyle (1 _ {(T = n)} * Z) ^ {- 1} (x) = Z ^ {- 1} (x) \ cap (T = n) \ in {\ mathcal {F}} _ {not}}

többel . Ezért (a definíció szerint ). Tehát van mérhető. Z-1(x)∈F∞{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ itt: {\ mathcal {F}} _ {\ infty}}Z-1(x)∈FT{\ displaystyle Z ^ {- 1} (x) \ itt: {\ mathcal {F}} _ {T}}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}Z{\ displaystyle Z \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Javaslat  -  az -measurable. xT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Demonstráció xT=∑nem1(T=nem)xT+1(T=∞)x∞=∑nem1(T=nem)xnem+1(T=∞)x∞{\ displaystyle {\ begin {aligned} X_ {T} & = \ sum _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {T} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty } \\ & = \ összeg _ {n} 1 _ {(T = n)} X_ {n} +1 _ {(T = \ infty)} X _ {\ infty} \ end {igazítva}}}

A akiknek -measurable, ezért van -measurable. Az előző lemma van -measurable. 1(T=nem) et xnem{\ displaystyle 1 _ {(T = n)} \ és \ X_ {n}}Fnem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}xT×1(T=nem){\ displaystyle X_ {T} \ 1-szer _ {(T = n)} \,}Fnem{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n}}xT{\ displaystyle X_ {T} \,}FT{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {T}}

Példák és ellenpéldák

Vegyünk egy sor véletlen változót, értékekkel egy halmazban, és jegyezzük fel az utána generált törzset. Az alábbi véletlen változók a szűrés leállási ideje  :  x=(xk)k≥0 {\ displaystyle \ scriptstyle \ X = (X_ {k}) _ {k \ geq 0} \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} Fnem {\ displaystyle \ scriptstyle \ {\ mathcal {F}} _ {n} \} (xk)0≤k≤nem. {\ displaystyle \ scriptstyle \ (X_ {k}) _ {0 \ leq k \ leq n}. \} (Fnem)nem≥0{\ displaystyle \ scriptstyle \ ({\ mathcal {F}} _ {n}) _ {n \ geq 0}}

• Legyen egy eleme  ; az első visszatérési időt hívjuk meg, és az alább definiált véletlen változót jelöljük : j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E {\ displaystyle \ scriptstyle \ E \} j, {\ displaystyle \ scriptstyle \ j, \} Rj, {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {j}, \}

Rj={inf{nem>0|xnem=j}ha{nem>0|xnem=j}≠∅,+∞ha nem.{\ displaystyle R_ {j} = \ bal \ {{\ begin {tömb} {lll} \ inf \ bal \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ jobb \} && {\ textrm {si}} \ quad \ left \ {n> 0 \, \ vert \, X_ {n} = j \ right \} \ neq \ emptyyset, \\ + \ infty && {\ textrm {különben.}} \ end {tömb}} \ jobb.}

• Ugyanígy az a része, egy hívás ideje az első belépés a és egy jegyzetek véletlen változó jelentése a következő: VS {\ displaystyle \ scriptstyle \ C \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \} TVS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ T_ {C}, \}

TVS={inf{nem≥0|xnem∈VS}ha{nem≥0|xnem∈VS}≠∅,+∞ha nem.{\ displaystyle T_ {C} = \ left \ {{\ begin {array} {lll} \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} && { \ textrm {si}} \ quad \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} \ in C \ right \} \ neq \ tyhjyset, \\ + \ infty && {\ textrm {különben. }} \ end {tömb}} \ jobb.}

• Abban a pillanatban, a -dik hozam jegyezni , és meghatározott kiújulásának: k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} én, {\ displaystyle \ scriptstyle \ i, \} Rén(k) {\ displaystyle \ scriptstyle \ R_ {i} ^ {(k)} \}

Rén(k)={inf{nem>Rén(k-1)|xnem=én}ha{nem>Rén(k)|xnem=én}≠∅,+∞ha nem.,{\ displaystyle R_ {i} ^ {(k)} = \ bal \ {{\ begin {tömb} {lll} \ inf \ bal \ {n> R_ {i} ^ {(k-1)} \, \ zöld \, X_ {n} = i \ jobb \} && {\ textrm {si}} \ quad \ bal \ {n> R_ {i} ^ {(k)} \, \ zöld \, X_ {n} = i \ right \} \ neq \ tyhjyset, \\ + \ infty && {\ textrm {különben.}} \ end {tömb}} \ right.,} vagy ismét a -edik bejegyzés pillanata ta. k{\ displaystyle \ scriptstyle \ k} VS, {\ displaystyle \ scriptstyle \ C, \}

• Mert és a mi jelenthet tudjuk mutatni, hogy nem egy megállási idő, de arra, hogy a másik viszont, egy leállási időt. én {\ displaystyle \ scriptstyle \ i \} j {\ displaystyle \ scriptstyle \ j \} E, {\ displaystyle \ scriptstyle \ E, \} T=inf{nem≥0|xnem=én és xnem+1=j}. {\ displaystyle \ scriptstyle \ T = \ inf \ left \ {n \ geq 0 \, \ vert \, X_ {n} = i {\ text {and}} X_ {n + 1} = j \ right \}. \} T {\ displaystyle \ scriptstyle \ T \} T+1 {\ displaystyle \ scriptstyle \ T + 1 \}

Hivatkozások

1. (in) Michiel Hazewinkel , Matematika Enciklopédia , Springer Science & Business Media,1 st december 2013( ISBN  978-94-009-5991-0 , online olvasás ) , p.  100, 110.
2. (en) Geoffrey Grimmett és David Stirzaker , Valószínűségszámítás és véletlenszerű folyamatok , Oxford; New York: Oxford University Press,2001( ISBN  978-0-19-857223-7 és 978-0-19-857222-0 , online olvasás ) , p.  263, 264, 498, 499.

Kapcsolódó cikkek

• Titkárnő problémája

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">