Apéry tétele
Az 1978-ban esedékes apery tétel , Roger Apéry matematikus mondja ki a számot
ζ(3)=113+123+133+143+⋯,{\ displaystyle \ zeta (3) = {\ frac {1} {1 ^ {3}}} + {\ frac {1} {2 ^ {3}}} + {\ frac {1} {3 ^ {3 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {3}}} + \ cdots,}
ahol ζ a Riemann zeta függvény , irracionális . Ezt a számot Apéry állandójának is becézik .
Történelmi
Euler bebizonyította, hogy ha n pozitív egész szám, akkor
112nem+122nem+132nem+142nem+...=oqπ2nem{\ displaystyle {\ frac {1} {1 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2n}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2n}}} + \ ldots = {\ frac {p} {q}} \ pi ^ {2n}}egy bizonyos racionális p / q esetén . Pontosabban, megjegyezve a bal sum (2 n ) összeget (lásd a Function zeta cikket ), ezt megmutatta
ζ(2nem)=|B2nem|(2π)2nem2(2nem)!{\ displaystyle \ zeta (2n) = | B_ {2n} | {\ frac {(2 \ pi) ^ {2n}} {2 (2n)!}}}ahol a B n a Bernoulli-szám (amely könnyen racionálisnak bizonyítható). Miután bebizonyosodott, hogy a π n mindig irracionális, arra következtetünk, hogy ζ (2 n ) irracionális (sőt valójában transzcendens ) bármely pozitív n pozitív egész számra .
Nem ismerünk ilyen kifejezést, amely π-t használ ζ ( m ) értékeihez, amikor m páratlan pozitív egész szám; ráadásul sejteni lehet, hogy a hányadosok transzcendensek bármely n ≥ 1 egész számra . Ezért nem lehetett megmutatni, hogy a ζ (2 n +1) irracionális-e, bár azt sejtettük, hogy „ők is mind transzcendensek (egy sejtés, amely magában foglalja a két előzőt, hogy a π, ζ (3), ζ (5), ζ (7),… számok algebrailag függetlenek ℚ) -től.
ζ(2nem+1)π2nem+1{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2n + 1)} {\ pi ^ {2n + 1}}}}
Azonban 1978. június, Roger Apéry (62 éves) Sur l'irrationalité de entitled címmel tartott előadást (3) . Tette majd tüntetések a irracionalitásának ζ (3), valamint a ζ (2), olyan módszerekkel, amelyek nem használják az értéket π 2 /6 utóbbi állandó.
Ennek az eredménynek a váratlan megjelenése, valamint Apéry előadásának zaklatott és hozzávetőleges stílusa miatt a konferencián részt vevő sok matematikus úgy gondolta, hogy a bizonyítás téves. A nézők közül azonban három, Henri Cohen , Hendrik Lenstra és Alfred van der Poorten (in) úgy érezte, hogy ezt szigorúvá lehet tenni.
Két hónappal később sikerült nekik, és Augusztus 18, Henri Cohen részletesen beszámolt Apéry tüntetéséről; közvetlenül az előadás után Apéry maga is felment a platformra, hogy elmagyarázza megközelítésének heurisztikus motivációit .
Apéry tüntetése
Apéry igazolása az irracionalitás következő kritériumán alapul (Dirichlet miatt): ha létezik δ> 0 és q > 0 és p egész számok végtelenje olyan, hogy
0<|ξ-oq|<1q1+δ,{\ displaystyle 0 <\ left | \ xi - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {1+ \ delta}}},}
akkor ξ irracionális.
Apéry a ζ (3) sorozat szerinti ábrázolásából indul ki
ζ(3)=5.2∑nem=1∞(-1)nem-1nem3(2nemnem).{\ displaystyle \ zeta (3) = {\ frac {5} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {3} {\ binom {2n} {n}}}}.}Ezután meghatározza a c n, k szekvenciát , amely konvergál ζ (3) -hoz ugyanolyan sebességgel, mint ez a sorozat
vs.nem,k=∑m=1nem1m3+∑m=1k(-1)m-12m3(nemm)(nem+mm),{\ displaystyle c_ {n, k} = \ sum _ {m = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m ^ {3}}} + \ sum _ {m = 1} ^ {k} { \ frac {(-1) ^ {m-1}} {2m ^ {3} {\ binom {n} {m}} {\ binom {n + m} {m}}}},}majd két más szekvenciákat egy n és b n , amelynek (hozzávetőlegesen) a hányadosa c n, k által
nál nélnem=∑k=0nemvs.nem,k(nemk)2(nem+kk)2{\ displaystyle a_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {n, k} {\ binom {n} {k}} ^ {2} {\ binom {n + k} {k }} ^ {2}}és
bnem=∑k=0nem(nemk)2(nem+kk)2.{\ displaystyle b_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2} {\ binom {n + k} {k}} ^ {2} .}A szekvencia egy n / b n konvergál ζ (3) elég gyorsan ahhoz, hogy alkalmazni Dirichlet kritériumot, de a n nem egész szám, ha n > 2. Mindazonáltal, majomkodás azt mutatta, hogy még akkor is, miután szorozni egy n és b n által megfelelő egész számok, a konvergencia elég gyors marad ahhoz, hogy garantálja ζ (3) irracionalitását.
Egyéb bizonyítékok
A következő évben újabb bizonyítékot talált Frits Beukers (en) , az Apéry-sorozatot a Legendre polinomokat tartalmazó integrálokkal helyettesítve (lefordítva) . Egy reprezentációt használva, amelyet később általánosítanak a Hadjicostas-Chapman képlet megszerzéséhez , Beukers kimutatta, hogy
Pnem~(x)=Pnem(2x-1){\ displaystyle {\ tilde {P_ {n}}} (x) = {P_ {n}} (2x-1)}
∫01∫01-ln(xy)1-xyPnem~(x)Pnem~(y)dxdy=NÁL NÉLnem+Bnemζ(3)ppcm[1,...,nem]3{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {- \ ln (xy)} {1-xy}} {\ tilde {P_ {n}}} (x) {\ tilde {P_ {n}}} (y) dxdy = {\ frac {A_ {n} + B_ {n} \ zeta (3)} {\ operátor neve {ppcm} \ balra [1, \ ldots , n \ right] ^ {3}}}}bizonyos A n és B n egész számokra ( az OEIS A171484 és A171485 sorai ). Részekbe integrálva , feltételezve, hogy ζ (3) a racionális a / b , Beukers megkapja az egyenlőtlenséget
0<1b≤|NÁL NÉLnem+Bnemζ(3)|≤4(45.)nem,{\ displaystyle 0 <{\ frac {1} {b}} \ leq \ left | A_ {n} + B_ {n} \ zeta (3) \ right | \ leq 4 \ left ({\ frac {4} { 5}} \ jobbra) ^ {n},}ami abszurd, mivel a jobb kéz nulla, és így végül kisebb lesz, mint 1 / b .
Wadim Zudilin (en) és Jurij Nesterenko (en) újabb bizonyításai közelebb állnak Apéry elképzeléseihez, nulla felé hajló szekvenciákat készítenek , miközben 1 / b-vel csökkennek, ha ζ (3) a racionális a / b . Ezek a meglehetősen technikai bemutatók jelentős mértékben felhasználják a hipergeometrikus sorozatokat .
Általánosítások
Apéry és Beukers bizonyításai adaptálhatók (és leegyszerűsíthetők), hogy hasonló módon bemutassák ζ (2) irracionalitását a relációnak köszönhetően
ζ(2)=3∑nem=1∞1nem2(2nemnem).{\ displaystyle \ zeta (2) = 3 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}.}A módszer sikere felkeltette az ξ 5 szám iránti érdeklődést , hogy
ζ(5.)=ξ5.∑nem=1∞(-1)nem-1nem5.(2nemnem).{\ displaystyle \ zeta (5) = \ xi _ {5} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n ^ {5} { \ binom {2n} {n}}}}.}Ha ez az ξ 5 szám racionális, vagy akár egyszerűen algebrai lenne, arra következtethetnénk, hogy ζ (5) irracionális. Sajnos a kiterjedt (számítógépes) kutatás kudarcot vallott; ismert például, hogy ha ξ 5 egy algebrai a foka legfeljebb 25, együtthatói a minimális polinom nagyobbnak kell lennie, mint 10 383 ; ezért nem tűnik lehetségesnek Apéry eredményeinek kiterjesztése más of (2 n +1) értékekre .
Az ezen a területen dolgozó számos matematikus azonban jelentős előrelépésekre számít a közeljövőben. Valójában Wadim Zudilin (en) és Tanguy Rivoal legújabb eredményei azt mutatják, hogy a ζ (2 n + 1) alakú végtelen számú szám irracionális, sőt, a ζ (5), ζ ( 7.), ζ (9) és ζ (11). A zéta függvény értékeinek lineáris formáit és ezeknek a formáknak a becsléseit kötik le az ezen értékek által generált vektortér dimenziójára . A Zudilin listájának egyetlen számra való csökkentésének reményei nem valósultak meg, de ez a megközelítés továbbra is aktív kutatási irányt jelent (felvetődött, hogy ennek a kérdésnek gyakorlati alkalmazásai lehetnek: ezek az állandók beavatkoznak a fizikába, hogy leírják a Heisenberg-modell korrelációs függvényeit ) .
Megjegyzések és hivatkozások
(fr) Ez a cikk részben vagy egészben venni a Wikipedia cikket
angolul című
„ majomkodás tétele ” ( lásd a szerzők listáját ) .
-
Lásd: Bázeli probléma .
-
Ez Lindemann tétel következménye .
-
(in) Winfried Kohnen (de) , "A transzformációs sejtések a moduláris formák periódusairól és a racionális struktúrákról moduláris formák terei " , Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci. , vol. 99, n o 3, 1989, P. 231-233 ( DOI 10.1007 / BF02864395 ).
-
Roger Apéry, " A r2 és Ir3 irracionalitása " Asterisk , Francia Matematikai Társaság , 1. évf. 61,1979, P. 11–13 ( online olvasható ).
-
Alfred van der Poorten (en) , „ Bizonyíték arra, hogy Euler elmulasztotta - Apery bizonyítéka [...] - Informális jelentés ”, Math. Intelligencer , vol. 1, n o 4,1979, P. 195-203 ( online olvasható ). Reprint , 2005, 16 o.
-
R. majomkodás , " interpolációja lánctörtekkel és irracionalitás bizonyos állandók ", Bulletin of szakaszán tudományok CTHS III ,tizenkilenc nyolcvan egy, P. 37-53.
-
(in) F. Beukers , " Megjegyzés ζ (2) és ζ (3) irracionalitásáról " , Bull. London Math. Soc. , vol. 11, n o 3,1979, P. 268-272 ( DOI 10.1112 / blms / 11.3.268 ).
-
(in) Wadim Zudilin „ egy elemi bizonyítása majomkodás tétel ”2002( Bibcode 2002math ...... 2159Z , arXiv math / 0202159 ) .
-
(ru) Ю. В. Нестеренко, „ Некоторые замечания о ζ (3) ” , Матем. Заметки , vol. 59, n o 6,1996, P. 865-880 ( online olvasás ), fordítás: (en) Yu. V. Nesterenko, „ Néhány megjegyzés a ζ (3) -ról ” , Math. Notes , vol. 59, n o 6,1996, P. 625-636 ( DOI 10.1007 / BF02307212 ).
-
(in) DH Bailey , J. Borwein N. Calkin, R. Girgensohn, Luke R. és V. Moll, Kísérleti matematika cselekvésben , 2007; lásd még a Kísérleti matematika cikket .
-
(in) Jorn Steuding , Diophantine Analysis (Diszkrét matematika és alkalmazásai) , Boca Raton, Chapman & Hall / CRC,2005.
-
T. Rivoal , „ Riemann zétafunkciója végtelen számú irracionális értéket vesz fel páratlan egész számokból ”, Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , i. Matematika, vol. 331,2000, P. 267-270 ( DOI 10.1016 / S0764-4442 (00) 01624-4 , online olvasás ).
-
(in) W. Zudilin, " A ζ (5), ζ (7), ζ (9), ζ (11) számok egyike irracionális " , Russ. Math. Surv. , vol. 56, n o 4,2001, P. 774-776.
-
Lásd például: (a) HE Boos, VE Korepin (in) , Y. Nishiyama, Mr. Shiroishi, " Quantum korrelációk és Számelmélet " , Journal of Physics A , vol. 35,2002, P. 4443-4452.
Külső linkek
- Stéphane Fischler , „A zétaértékek iracionalitása ”, Séminaire Bourbaki , t. 45, 2002-2003, p. 27–62 ( online olvasás )
-
(en) Dirk Huylebrouck , „ Az irracionalitás igazolásának hasonlóságai a π, ln2, ζ (2) és ζ (3) esetében ” , Amer. Math. Havi , vol. 108,2001, P. 222-231 ( online olvasás )( MAA Writing Award 2002)
- (en) Stephen D. Miller : „ A ζ (3) ∉ Q megmutatásának egyszerűbb módja ” ,1998
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">