Bernoulli tétele

A Bernoulli-tétel , amelyet 1738- ban Daniel Bernoulli hozott létre , a Bernoulli-féle elv matematikai megfogalmazása, amely kimondja, hogy a folyadék áramlásában homogén és összenyomhatatlan, csak nyomáserőknek és gravitációnak van kitéve, a gyorsulás a nyomás csökkenésével egyidejűleg történik . Olyan folyadékáramlásban , amelynek viszkozitása nincs, és ezért a nyomáskülönbség az egyetlen gyorsító erő, a sebesség egyenértékű azzal, amelyet Newton mozgástörvényei adnak . Nagyon gyakori, hogy a Bernoulli-hatásra hivatkozva azt állítják, hogy a sebesség változása nyomásváltozást okoz; Bernoulli elve azonban nem hozza létre ezt a kapcsolatot, és nem is az.

Lerakta a folyadékdinamika és általánosabban a folyadékmechanika alapjait . Kezdetben a csőben keringő folyadékokhoz használták, fontos alkalmazási területet talált az aerodinamikában ( lift ).

Szokásos megfogalmazás

Áramláshoz

összenyomhatatlan (a sűrűség állandó marad),
Egy tökéletes folyadék ( viszkózus hatások elhanyagolhatók, csakúgy, mint a nyomásesés ).

Ezután, álló helyzetben, ha valaki figyelmen kívül hagyja az energia hő formájában történő átvitelét, a következő egyenlőséget ellenőrzi:

Az áram ugyanazon vonalán a Bernoulli mennyisége konzerválódik, nevezetesen:

{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + {\ frac {p} {\ rho}} = \ mathrm {konstans}}

vagy:

p

a nyomás egy pontban (Pa vagy N / m²);

ρ

a sűrűség egy pontban (kg / m³);

v

a folyadék sebessége egy pontban (m / s);

g

a gravitáció gyorsulása (N / kg vagy m / s²-ben kifejezve);

z

a figyelembe vett pont magassága (m-ben).

Az állandó az aktuálisan figyelembe vett vonaltól függ.

Ha ráadásul az áramlás irrotációs (a folyadék forgási sebessége nulla, ami nem kavargó áramlást és egy potenciálból származó sebességmezőt jelent ), akkor a Bernoulli-mennyiség a folyadék egészében konzerválódik. Az állandó tehát mindenütt azonos a folyadékban, de az utóbbi jellemzőitől, az áramlástól stb.

Az egyenlet második tagjába való állandó beavatkozás nem univerzális, hanem az áramlásra jellemző, az egész folyadékmező (irrotációs áramlás) mentén konstansként hat, úgynevezett terhelés .

Értelmezés

Ez az egyenlet valójában az energia egyenlegét fordítja le egy aktuális vonal mentén:

${\ displaystyle e_ {c} = {\ frac {{\ frac {1} {2}} \, m \, v ^ {2}} {V}} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}$ a kinetikus energia térfogatsűrűsége ( kinetikus energia térfogategységre vonatkoztatva, $m$ a folyadék V térfogatának tömege );
${\ displaystyle e_ {z} = {\ frac {m \, g \, z} {V}} = \ rho \, g \, z}$ a potenciális gravitációs energia térfogatsűrűsége ;
${\ displaystyle e_ {p} = {\ frac {p \, V} {V}} = p}$ az energia térfogatsűrűsége a nyomóerők munkája miatt.

Az egyensúlytörvény tehát meg van írva

e_ {c} + e_ {z} + e_ {p} = {\ mathrm {konstans}}

van

{\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2} + \ rho \, g \, z + p = \ mathrm {konstans}}

amely Bernouilli egyenletéhez vezet, ha ezt az egyenlőséget elosztjuk $ρ-vel$ .

Vegye figyelembe, hogy az így megfogalmazva az állandó már nem a terhelés, hanem az össznyomás , és hogy minden kifejezés valóban homogén a nyomással.

Kiterjesztett készítmények

Bernoulli tételének más megfogalmazásai is alkalmazhatók általánosabb összefüggésekben.

Összenyomható folyadékok esetén:

Amikor a folyadékban az összenyomhatóság hatása már nem elhanyagolható (a folyadék részecskék sebessége összehasonlítható a folyadék hangsebességével), szükségessé válik a folyadék rugalmas potenciális energiáját jellemző kifejezés korrekciója. Ideális gáz és adiabatikus folyamat ideális esetben :

{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + \ bal ({\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}} \ jobb) {\ frac {p} { \ rho}} = \ mathrm {konstans}}

ahol $γ$ az adiabatikus index, amelyet a folyadék hőkapacitásának arányaként határozunk meg: $C o / C v$ .

Termodinamikai készítmény:

{\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}} + g \, z + h = \ mathrm {konstans}}

ahol $h$ a specifikus entalpia (azaz tömegegységre vonatkoztatva). $h = u + o / ρ$ , ahol $u$ a folyadék fajlagos belső energiáját jelöli.

energiacsere:

Az A pontról a B pontra áramló energiacserével (szivattyú vagy turbina jelenléte) a következő kifejezés lesz:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v_ {A} ^ {2} + p_ {A} + \ rho \, g \, z_ {A} + {\ frac {P } {Q_ {V}}} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v_ {B} ^ {2} + p_ {B} + \ rho \, g \, z_ {B} }

ahol $Q V$ a folyadék térfogatáramát jelenti (köbméter / másodpercben), $P$ pedig a gép teljesítményét (wattban). Van $P > 0$ esetén a szivattyút (a teljesítmény megkapta a folyadék), és $P <0$ abban az esetben, egy turbina (a tápellátást a folyadék).

Tüntetések

Bernoulli egyenletének dimenzió nélküli változata

Egy olyan áramlásban, ahol a potenciális energia variációja elhanyagolható, ha a Bernoulli-egyenletet egy áramvonal két pontjára írjuk (a második pont a testtől távol van), akkor a következőket kapjuk:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2} + p = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2} + p _ {\ infty}}

Amiből meríthetünk:

{\ displaystyle p-p _ {\ infty} = {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}

Ha elosztjuk az áramlás dinamikus nyomásával , megkapjuk: ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2}}$

{\ displaystyle {p-p _ {\ infty} \ felett {\ frac {1} {2}} \, \ rho \, v _ {\ infty} ^ {2}} = 1 - {\ frac {v ^ {2 }} {v _ {\ infty} ^ {2}}}}

Ha most megkérdezzük:

{\ displaystyle C_ {p} = {p-p _ {\ infty} \ felett {\ frac {1} {2}} \, \ rho _ {\ infty} \, v _ {\ infty} ^ {2}} \ quad {\ text {et}} \ quad C_ {v} = {\ frac {v} {v _ {\ infty}}}}

$C p$ a nyomási együttható és $C v$ a sebességi együttható , Bernoulli-féle egyenlet:

{\ displaystyle C_ {p} = 1-C_ {v} ^ {2}}

Ez a nagyon egyszerű egyenlőség képezi Bernoulli egyenletének dimenzió nélküli változatát.

Ellentétben azzal, amit a viszonylagos összetettségét megfogalmazás azt sugallhatja, dimenziótlan nyomás és sebesség együtthatók $C p$ és $C v$ rendkívül intuitív és jól reprezentálja a keretében, vagy túlnyomással és a keretében, vagy a túl magas fordulatszámokat, amelyek érdekesek áramlástani; ez megmagyarázza, miért jelennek meg az összes szélcsatorna vizsgálati eredményben.

Bernoulli egyenletének dimenzió nélküli változata az áramlás minden pontján (a határrétegen kívül), tehát egyetlen ponton érvényes, ami ellentmondásosnak tűnhet azzal a ténnyel, hogy Bernoulli klasszikus egyenlete két pont jellemzőit hozza összefüggésbe ugyanazon az áramvonalon . Ennek a látszólagos logikai törésnek az a magyarázata, hogy a $C p$ és $C v$ megfogalmazásukban utalnak a felfelé (a testtől kellően távol) lévő végtelen pontok bizonyos jellemzőire. Ezért csak látszólagos liberalizmus létezik.

Alkalmazások

Nulla sebességnél ( v = 0) megtaláljuk a hidrosztatikai törvényt .
Venturi-hatás :
- Tegyük fel most, hogy a sebesség nem nulla, hanem mindig ugyanazon a magasságon maradunk ( z állandó).
- Ha egy folyadék folyik egy csőben, akkor mivel összenyomhatatlan, áramlási sebessége (a felületen időegységenként áthaladó térfogat) állandó. Ha a cső kiszélesedik, akkor a sebesség csökken (mivel az áramlás a szakasz szoros sebességének szorzata, a kettő fordítottan változik). Bernoulli tétele ekkor azt mondja, hogy a nyomás növekszik. Ellenben, ha a cső szűkül, a folyadék felgyorsul és nyomása csökken. Ezt a kísérleti eszközt Venturi csőnek hívják .
- Ez az eredmény nem túl intuitív, mert azt lehetne számítani, hogy a szakasz növekedésével a nyomás növekedni fog.

Magnus-effektus :
- Ha most a cső állandó szakaszon marad, de akadályt helyezünk el benne; az akadály csökkenti a szakaszt, így ugyanaz a hatásunk. Ha ez az akadály egy forgó henger, amelynek tengelye merőleges a cső tengelyére, akkor a súrlódás az egyik oldalon felgyorsítja a folyadékot, a másik oldalon pedig lassítja. Ezért az egyik oldalon csökken a nyomás, a másikon pedig növekszik, a henger erőn megy keresztül: ez a Magnus-effektus (gyakran a levegőben lévő Magnus-effektust vesszük figyelembe, amely összenyomható folyadék, de az általános elv megmarad) ugyanaz).
- Ha a csőnek állandó szakasza van, és nem jelent akadályt, akkor a sebesség állandó. Ha a magasság változik, akkor Bernoulli egyenlete elmondja, hogy a nyomás a magassággal ellentétesen változik.
- Tudjuk majd értékelni a dinamikus nyomás: . ${\ displaystyle q = {\ tfrac {1} {2}} \, \ rho \, v ^ {2}}$

Pitot cső :
- Ez a mérőeszköz lehetővé teszi a folyadék áramlási sebességének kiértékelését az áramlási vonallal összekapcsolt áramlás két A és B pontja közötti nyomáskülönbség mérésével. Az A pontban a folyadéknak állítólag (majdnem) nulla sebességen kell lennie, a sebességet B-ben keressük. A lényegében azonos magasságban levő pontok Bernoulli tételét szokásos formájában alkalmazhatjuk A és B között.

Történelemszemlélet

Bernoulli tételének első megfogalmazása Daniel Bernoulli Hydrodynamica - De viribus et motibus fluidorum commentarii című kiadványában jelenik meg (első kiadás 1738-ban). Mert d'Alembert , ez a szöveg az alapító munkáját hidrodinamika, mint a modern fizikai fegyelem.

Ezután átfogó makroszkopikus mérlegként és számítási módszerként fogalmazzák meg egy technikai probléma megoldása keretében: a nyílással ellátott edények ürítésének időtartamának meghatározása.

Az indoklás a potenciális emelkedés és a jelenlegi süllyedés egyenlőségében rejlik . Ez a mechanikában már ismert élő erők megőrzésének folyadékokba való átültetése , amely valójában az őse az energiamegmaradás elvének a klasszikus fizika területén.

A tétel csak 1755-ben, Euler munkájával jelent meg a korabeli megfogalmazásokhoz közelebb eső helyi értékelés formájában.

Megjegyzések és hivatkozások

Ez a cikk részben vagy egészben a „ Bernoulli-elv ” című cikkből származik (lásd a szerzők felsorolását ) .

" Fluid mechanics " , az ac-nancy-metz.fr webhelyen (hozzáférés : 2010. október 3. )
Bruhat, G., Mechanikus , 6 th kiadás, Masson 1967
(in) Clancy, LJ, aerodinamika , 3.11, Pitman Publishing, London, 1975
(a) Van Wylen, GJ, és Sonntag, RE, Fundamentals of Klasszikus termodinamika , a 5.9, a John Wiley and Sons Inc., New York 1965
(a) Abbott, von DOENHOFF, Stivers , adatok összefoglalása szárnyszelvény, NACA Report No. 824, Ira H. Abbott, Albert E. von DOENHOFF, és Louis S. Stivers Jr. , , NACA,194551
Danieli Bernoulli, Hydrodynamica , A strasbourgi egyetem könyvtárainak digitalizált örökségi gyűjteményei
Jean Le Rond d'Alembert, hidrodinamikai cikke a Encyclopédie (Tome VIII), 1765 Encyclopédie, vagy szótár Raisonné des Sciences, des Arts et des Métiers
fordítása Jean Peyroux 2004
Leonhard Euler, A folyékony mozgás általános alapelvei, 1755 [1]

Lásd is

Kapcsolódó cikkek