Gerschgorin tétele

A numerikus analízis , Gerschgorin tétele olyan eredmény, amely lehetővé teszi, hogy kötött a priori az sajátértékei egy négyzetes mátrix . Semion Gerschgorin belorusz matematikus jelentette meg 1931-ben . Ezt az eredményt különösen a sztochasztikus mátrixok esetében alkalmazzák.

Tétel

Államok

Legyen A komplex n × n méretű mátrix , általános kifejezés ( a ij ). Minden 1 és n közötti i indexhez bevezetjük a megfelelő Gerschgorin lemezt

{\ displaystyle D_ {i} = \ bal \ {z \ in \ mathbb {C}, | a_ {ii} -z | \ leq \ sum _ {j \ neq i} | a_ {ij} | \ jobb \} = D (a_ {ii}, R_ {i}) ~,}

amely gyakorlatilag egy korongot alkot a komplex síkban, R i = Σ j ≠ i | a ij |.

Tétel : minden sajátértéke A közül legalább az egyik Gerschgorin lemezeket.

Alkalmazásával a tétel, hogy a ültették mátrix az A , új információ áll rendelkezésre a helyét a sajátértékek: ezek megtalálhatók az unió a Gerschgorin lemezek kapcsolódó oszlopok

{\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {j} = \ balra \ {z \ a \ mathbb {C}, | a_ {jj} -z | \ leq \ sum _ {i \ neq j} | a_ { ij} | \ right \} = D (a_ {jj}, {\ tilde {R}} _ {j}) ~.}

Demonstráció

Legyen λ lehet sajátérték a A és X = ( x 1 , ..., x n ) egy hozzá tartozó sajátvektor. Az i 1 és N , van

(\ lambda -a _ {{ii}}) x_ {i} = \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} x_ {j}

Válasszunk egy i indexet , amelyre az x i modulusa maximális. Mivel x sajátvektor, | x i | értéke nem nulla, és lehetséges a hányados kialakítása

| a _ {{ii}} - \ lambda | = \ balra | \ sum _ {{j \ neq i}} a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} \ right | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} {\ frac {x_ {j}} {x_ {i}}} | \ leq \ sum _ {{j \ neq i}} | a _ {{ij}} |

A bizonyítás egyik változata az, ha észrevesszük, hogy 0 a sajátértéke, és használjuk a Hadamard-lemmát . $A- \ lambda I_ {n}$

Megjegyzések és hivatkozások

Megjegyzések

Nevét többféle módon lehet átírni: Gershgorin, Geršgorin, Gerschgorin vagy Guerchgorine.

Hivatkozások

Patrick Lascaux és Raymond Théodor, Matrix numerikus elemzés a mérnöki művészetre , t. 1: Közvetlen módszerek [ a kiadások részletei ]
(de) S. Gerschgorin, „Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. "Izv. Akad. Nauk. Szovjetunió Otd. Fiz.-Mat. Nauk 7, 749-754, 1931
en) Richard S. Varga , Geršgorin és körei , Springer ,2004, 230 p. ( ISBN 978-3-540-21100-6 , online olvasás ), [ errata ]

Lásd is

Kapcsolódó cikk

Cassini ovális

Külső linkek

(en) Eric W. Weisstein , „ Gershgorin-körtétel ” , a MathWorld- on
Sajátértékek lokalizálása: a Gerschgorin lemezek , a Gerschgorin lemezeken található néhány tulajdonság.