Lindemann-Weierstrass tétel

A matematika , a Lindemann-Weierstrass-tétel kimondja, hogy ha algebrai számok $a- 1 , ..., α n$ vannak lineárisan független a területén Q a racionális számokat , akkor a exponenciálisok $e α 1 , ..., e α n$ jelentése algebrailag független a Q . Más szóval, a mellék Q $(e α 1 , ..., e α n )$ a Q jelentése transzcendens fokú $n$ .

A tétel ekvivalens megfogalmazása a következő: ha $α 0 ,\dots, α n$ különálló algebrai számok, akkor $e α 0 ,\dots, e α n$ lineárisan függetlenek az algebrai számok Q mezőjétől, azaz: ${\ displaystyle a_ {0} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {0}} + a_ {1} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {1}} + \ ldots + a_ { n} {\ rm {e}} ^ {\ alpha _ {n}} \ neq 0}$ az összes algebrai számra $a i$ nem minden nulla.

1882-ben ezt a tételt Ferdinand von Lindemann jelentette be az $n = 1$ speciális esetről szóló cikke végén , és azonnal bemutatta Karl Weierstrass , aki kéziratát terjesztette, de 1885-ig elhalasztotta annak közzétételét.

Az $n$ $= 1$ eset

1882-ben, Lindemann már felvázolt a bizonyíték arra, hogy bármilyen nem nulla algebrai $egy$ , a számot $e egy$ olyan transzcendens (ami ismét bebizonyította, hogy $e$ transzcendens és bebizonyította, hogy $π$ is). Ez a Weierstrass által bemutatott tétel $n = 1$ esete .

Valóban (az első megfogalmazással),

$a$ nem nulla egyenértékű: az ${ a }$ halmazlineárisan szabad Q-n , és
$e a$ transzcendens ekvivalens: a ${e a } halmaz$ algebrailag szabad Q- on

A második megfogalmazás segítségével átírhatjuk:

$a$ nem nulla egyenértékű: $0$ és $a$ különböznek egymástól, és
$e a$ transzcendentális ekvivalens: $e 0$ és $e van$ lineárisan független Q-tól .

$P$ -adikus sejtés

Az analóg $p$ -adic a Lindemann-Weierstrass tétel sejtés következők: „a [ $p$ egy prímszám , és] $β 1 , ..., β n$ a számok $p$ -adic algebrai [ Q -linéairement független] tartozó tartomány konvergencia a p -adikus exponenciális (en) $exp p$ . Ezután $n$ számok $exp p (β 1 ), ..., exp p (β n )$ algebrailag független Q . "

Megjegyzések és hivatkozások

(en) Ez a cikk részben vagy egészben a „ Lindemann - Weierstrass tétel ” című angol Wikipedia cikkből származik ( lásd a szerzők felsorolását ) .

(in) Alan Baker , Transzcendens számelmélet , Cambridge University Press,1990( 1 st szerk. 1975) ( ISBN 9780521397919 , olvasható online ) , CHAP. 1, 1.4. Tétel.
(en) David E. Rowe , „Történelmi események Hilbert hetedik párizsi problémájának hátterében ” , David E. Rowe és Wann-Sheng Horng, Delicate Balance: Global Perspectives on Innovation and Tradition in History Matematika , Birkhäuser ,2015, P. 211–244.
(től) KW Weierstrass, " Zu Lindemann Abhandlung:" Über die Ludolph'sche Zahl " " , Sitzungsber . Preuss. Akad. Wiss. , vol. 5,1885, P. 1067-1085 ( DOI 10.1007 / 978-1-4757-4217-6_23 ).
(in) Michel Waldschmidt , " Nyitott Diophantine problémák " , Moszkva Mathematical Journal , Vol. 4, n o 1,2004, P. 245-305 ( online olvasás ), Sejtés 3.11.

Lásd is

Kapcsolódó cikkek

Külső hivatkozás

(en) " A Lindemann-Weierstrass-tétel bizonyítéka, valamint hogy az e és a $π$ transzcendentális " ( Baker 1990-ből vettrészletes bemutatás), a PlanetMath oldalán.