Liouville-tétel (komplex változó)

A komplex elemzés , Liouville tétel eredménye vonatkozó integer funkciók ( Holomorf funkciók az egész komplex síkon). Míg a valós vonalon nagy számban vannak végtelenül differenciálható és korlátozott függvények, Liouville-tétel azt állítja, hogy bármely korlátozott egész függvény állandó.
Ez a tétel Cauchynak köszönhető. Ez az elterelés egy Liouville-i hallgató munkája, aki erről a tételről az utóbbi által olvasott tanfolyamokon értesült.

Államok

Liouville tételét a következőképpen fogalmazzák meg:

Liouville-tétel - Ha f egy meghatározott függvény, amely holomorf az egész komplex síkon, akkor f állandó, ha korlátos.

Ez a tétel javítható:

Tétel - Ha f olyan egész függvény, amelynek polinomi növekedése legfeljebb k fokú , abban az értelemben, hogy:

{\ displaystyle \ létezik (A, B) \ in (\ mathbb {R} _ {+}) ^ {2}, \ \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad | f (z) | \ leq A + B | z | ^ {k}}

akkor f egy k- nél kisebb vagy azzal egyenlő fokú polinomfüggvény .

Demonstráció

A javasolt bizonyíték, viszonylag rövid, a Cauchy-egyenlőtlenségen alapul . A többi lehetséges bizonyítás közvetetten Cauchy integrálképletén alapul .

Első megállapítás

Egy f integrális függvény , amely C-re van korlátozva . Ebben az esetben létezik az f modulus M felső határértéke . A Cauchy-egyenlőtlenség vonatkozik f-re és minden olyan lemezre, amelynek z középpontja és R sugara van ; ő ad :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad \ left | f '(z) \ right | \ leq {\ frac {M} {R}}}

Ha javítjuk az z értéket, és az R- t végtelenbe hajlítjuk, akkor ez következik:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f '(z) = 0}

Ezért az f deriváltja mindenhol nulla, tehát f állandó.

Második állítás

Feltételezzük, hogy az f teljes függvény polinomiális növekedéssel bír. A Cauchy-egyenlőtlenséget ismét alkalmazzuk a z középpontú és R sugarú lemezre :

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad {\ frac {\ left | f ^ {(k + 1)} (z) \ right |} {(k + 1)!}} \ leq {\ frac {\ sup \ {| f (w) |, | wz | = R \}} {R ^ {k + 1}}} \ leq {\ frac {A + B {\ balra (| z | + R \ jobbra)} ^ {k}} {R ^ {k + 1}}}}

Ismét azáltal, hogy R-t a végtelenség felé hajlik , akkor jön:

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C}, \ quad f ^ {(k + 1)} (z) = 0}

Az egymást követő primitivációk révén az f függvény polinomiális függvény z- ben, mértéke kisebb vagy egyenlő k-vel .

A tétel Cauchy integrálképletével bizonyítható, hogy az f komplex származéka azonos nulla, de Liouville nem ezt mutatta be; később pedig Cauchy vitatta az eredmény szerzőségét Liouville-lel. A történészek Úgy vélik azonban, hogy ez nem Stigler törvényének a megnyilvánulása : Cauchy könnyen bemutathatta volna Liouville előtt, de nem tette meg.

A tételt nagymértékben javítja Picard kis tétele , amely kimondja, hogy minden nem konstans egész függvény az összes komplex számot értékként veszi fel, legfeljebb egy pont kivételével.

Alkalmazások

D'Alembert-Gauss tétel

A d'Alembert-Gauss-tétel (vagy akár az algebra alaptétele) kimondja, hogy bármely nem állandó komplex polinom gyökeret enged be . Más szavakkal, a komplex számok mezője algebrailag bezárt . Ez a tétel elemző eszközökkel bizonyítható, és különösen Liouville fentebb említett tétele, lásd a bizonyítást a részletes cikkben.

Riemann-gömb tanulmány

Riemann-felület szempontjából a tétel a következőképpen általánosítható: ha $M$ egy parabolikus Riemann-felület ( például a komplex sík ), és ha $N$ hiperbolikus felület (például nyitott lemez), akkor bármely holomorf $f : M$ függvény $\to$ $N-$ nek állandónak kell lennie.

Elliptikus funkciók

Azt is használják annak megállapítására, hogy az elliptikus függvény pólusok nélkül szükségszerűen állandó; ezt eredetileg Liouville hozta létre.

Megjegyzések és hivatkozások

Boris Chabat , Bevezetés a komplex elemzésbe, I. kötet Egy változó funkciói , 1990, Éditions Mir , p. 104.
Lásd például a Rudinban adott oldalt. 254. , kissé más.