Rouché tétele
A komplex elemzés , Rouche tétel egy nyilatkozatot a nullák és az oszlopok a Meromorf funkciók . Eugène Rouché francia matematikus tiszteletére nevezték el .
Államok
Hagy lehet egy egyszerűen csatlakoztatható nyitott , legyen f és g lehet két Meromorf funkciók a véges halmaza nullák és oszlopok. Hadd γ lehet egy egyszerű csipke kép az alkotó él a kompakt . Igen
U⊂VS{\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}} U{\ displaystyle U}F{\ displaystyle F}U-F{\ displaystyle UF}∂K{\ displaystyle \ részleges K} K{\ displaystyle K}
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}bármely pont
z a
γ
így
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}ahol és hol vannak a nullák és pólusok száma (figyelembe véve azok sokaságát) .
Zf{\ displaystyle Z_ {f}}Pf{\ displaystyle P_ {f}}f{\ displaystyle f}K{\ displaystyle K}
Példa
Tekintsük a két f és g polinomfüggvényt, amelyeket az alábbiak határoznak meg:
f(z)=z8.-5.z3+z-2,g(z)=-5.z3{\ displaystyle f (z) = z ^ {8} -5z ^ {3} + z-2, \ quad g (z) = - 5z ^ {3}}és vegye figyelembe az ásítás körét . Ezt a csipkét ellenőrizzük:
VS(0,1): ={z∈VS∣|z|=1}{\ displaystyle C (0,1): = \ {z \ in \ mathbb {C} \ közepe | z | = 1 \}}
|f(z)-g(z)|=|z8.+z-2|≤|z|8.+|z|+2=4{\ displaystyle | f (z) -g (z) | = | z ^ {8} + z-2 | \ leq | z | ^ {8} + | z | + 2 = 4}és
|g(z)|=|-5.z3|=5.{\ displaystyle | g (z) | = | -5z ^ {3} | = 5}.
Ezért alkalmazhatjuk Rouché tételét:
Zf=Zg{\ displaystyle Z_ {f} = Z_ {g}}mivel f-nek és g- nek nincs pólusa. Másrészt g- nek hármas nulla van az origóban, ami azt mondja nekünk, hogy az f függvény három nullát enged be a nyitott lemezre .
D(0,1){\ displaystyle D (0,1)}
Demonstráció
Ha mindenképpen , akkor f és g nem tűnik el (különben a szigorú egyenlőtlenséget nem lehet ellenőrizni). Legyen h a meromorf funkció be van kapcsolva , holomorf és nem törlődik a következőképpen:
|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}z∈γ{\ displaystyle z \ gamma}γ{\ displaystyle \ gamma}U{\ displaystyle U}γ{\ displaystyle \ gamma}
h=fg{\ displaystyle h = {\ frac {f} {g}}}.
A bármely pontja Z a γ ,
|h(z)-1|=|f(z)-g(z)||g(z)|<1{\ displaystyle | h (z) -1 | = {\ frac {| f (z) -g (z) |} {| g (z) |}} <1}.
A par képe tehát az 1 sugarú és az 1 középsõ nyílt lemezen található , következésképpen nem forog az origó körül. Az érvelés elvének alkalmazásával tehát:
γ{\ displaystyle \ gamma}h{\ displaystyle h}D(1,1){\ displaystyle D (1,1)}
12πén∫γh′(z)h(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {h '(z)} {h (z)}} \ mathrm {d} z = 0}.
Másrészről,
h′(z)h(z)=f′(z)f(z)-g′(z)g(z){\ displaystyle {\ frac {h '(z)} {h (z)}} = {\ frac {f' (z)} {f (z)}} - {\ frac {g '(z)} { g (z)}}}.
Ebből kifolyólag,
12πén∫γf′(z)f(z)dz-12πén∫γg′(z)g(z)dz=0{\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {f '(z)} {f (z)}} \ mathrm {d} z - {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ gamma} {\ frac {g '(z)} {g (z)}} \ mathrm {d} z = 0}.
Végül az érvelés elvének újbóli felhasználásával megkapjuk
Zf-Pf=Zg-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -P_ {f} = Z_ {g} -P_ {g}}.
Alkalmazások
Legyen egy polinom, amelynek értékei a következőkben vannak meghatározva:
P{\ displaystyle P}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
P(z)=nál nél0+nál nél1z+⋯+nál nélnemznem{\ displaystyle P (z) = a_ {0} + a_ {1} z + \ cdots + a_ {n} z ^ {n}}feltételezve . Legyen elég nagy ahhoz, hogy mindenki számára (R sugarú kör) rendelkezzen:
nál nélnem≠0{\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}R>0{\ displaystyle R> 0}z∈VS(0,R){\ displaystyle z \ C-ben (0, R)}
|P(z)-nál nélnemznem|=|nál nél0+⋯+nál nélnem-1znem-1|<|nál nélnemznem|{\ displaystyle | P (z) -a_ {n} z ^ {n} | = | a_ {0} + \ cdots + a_ {n-1} z ^ {n-1} | <| a_ {n} z ^ {n} |}(pl. alkalmas).
R=1+max(|nál nél0|,...,|nál nélnem-1|)|nál nélnem|{\ displaystyle R = 1 + {\ frac {\ max (| a_ {0} |, \ ldots, | a_ {n-1} |)} {| a_ {n} |}}}
Mivel nulla sorrendet fogad el az origóban, nullákat kell beengednie a nyitott lemezre Rouché tételének alkalmazásával.
nál nélnemznem{\ displaystyle a_ {n} z ^ {n}}nem{\ displaystyle n}P{\ displaystyle P}nem{\ displaystyle n}D(0,R){\ displaystyle D (0, R)}
Általánosítások
Egy évszázaddal később Theodor Estermann gyengítette Rouché hipotézisét , és így kapott:|f(z)-g(z)|<|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| g (z) |}
Legyen f és g két meromorf függvény egy korrigálható γ egyetlen hurokban, és folytonos a határon, és olyan, hogy
|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)|{\ displaystyle | f (z) -g (z) | <| f (z) | + | g (z) |}bármely pont
z a
γ .
Tehát, mint fent ,
Zf-Zg=Pf-Pg{\ displaystyle Z_ {f} -Z_ {g} = P_ {f} -P_ {g}}.
Hivatkozások
-
Az École Polytechnique folyóirata , 1862, p. 217-218 .
-
(a) T. Estermann, Komplex számok és függvények , Athlone Press, London, 1962, p. 156.
-
(in) I-Hsiung Lin klasszikus komplex elemzés: A geometriai megközelítés , Vol. 1, World Scientific ,2011( ISBN 978-9-81426123-4 , online olvasás ) , p. 558.
Lásd is
Kapcsolódó cikk
Hurwitz-tétel a holomorf funkciók szekvenciáiról
Bibliográfia
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">