Az érv elve
A komplex elemzése , az elve argumentum (néha az érvelés tétel ) tárgya a száma közötti különbség a nullák és pólusok egy Meromorf funkció tekintetében egy görbe vonalú szerves annak logaritmikus származék .
Államok
Hagy egy Meromorf funkció egy egyszerűen csatlakoztatható nyitott , amelynek darabjait a nullák és oszlopok véges. Tehát bármilyen csipke képhez ,
f{\ displaystyle f}
U⊂VS{\ displaystyle U \ subset \ mathbb {C}}
F{\ displaystyle F}
γ{\ displaystyle \ gamma}
U∖F{\ displaystyle U \ visszavonás F}![{\ displaystyle U \ visszavonás F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f369b72f60307817161355f39dafd1c690f389f6)
12énπ∫γf′(z)f(z) dz=∑zj∈Fvzj(f)énnemdγ(zj){\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {j} \ in F } v_ {z_ {j}} (f) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j})}![{\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {j} \ in F } v_ {z_ {j}} (f) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ec31e8b622c31dd7429da1a8f3e2ca0584995e)
ahol az értékelési az in , azaz a sorrendben , ha nulla, és az ellenkezője a sorrendben , ha ez egy pólus és az index a pont tekintetében az elfordulási.
vzj(f){\ displaystyle v_ {z_ {j}} (f)}
f{\ displaystyle f}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
énnemdγ(zj){\ displaystyle \ mathrm {Ind _ {\ gamma} (z_ {j})}}![{\ displaystyle \ mathrm {Ind _ {\ gamma} (z_ {j})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b75bb657685a711dec8cf04f172e5eaa212ac65e)
Ha egy pozitív orientált egyetlen csipke alkotó szélén egy kompakt , a fenti összefüggés átírása:
γ{\ displaystyle \ gamma}
∂K{\ displaystyle \ részleges K}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
12énπ∫γf′(z)f(z) dz=Zf,K-Pf,K{\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = Z_ {f, K} -P_ {f, K}}![{\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = Z_ {f, K} -P_ {f, K}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17013d172fda04569daffaa660c83f90a43139af)
ahol a és rendre megfelel nullák száma és pólusai az számít azok sokfélesége.
Zf,K{\ displaystyle Z_ {f, K}}
Pf,K{\ displaystyle P_ {f, K}}
f{\ displaystyle f}
K{\ displaystyle K}![K](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
Geometriai értelmezés
Az érvelés elv számolja a megtett körök számát végzett kép által az origó körül. Ezen a felfogáson alapul különösen Rouché tételének bizonyítása .
γ{\ displaystyle \ gamma}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
Vegyük fontolóra a kifejezést , és tegyük
fel, hogy feltételezhetjük, hogy ez a t paraméter
függvénye , 0 és 1 között változik. A curviline integrál definíciója szerint
E=12énπ∫γf′(z)f(z) dz{\ displaystyle E = {1 \ 2i felett \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ felett f (z)} ~ \ mathrm {d} z}
Γ(t)=f(γ(t)){\ displaystyle \ Gamma (t) = f (\ gamma (t))}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
E=12énπ∫01Γ′(t)Γ(t)dt{\ displaystyle E = {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {0} ^ {1} {\ Gamma '(t) \ over \ Gamma (t)} \ mathrm {d} t}![{\ displaystyle E = {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {0} ^ {1} {\ Gamma '(t) \ over \ Gamma (t)} \ mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad6e6ac72ff66a0c02fe6bb07f334068fa5756bf)
.
De ez a kifejezés pontosan meghatározza az index 0 tekintetében az utat , amely értelmezi a szám a „fordulat” végzi a lényeg 0 körüli, ha t változik 0 és 1 között van, vagy milyen mennyiségben, hogy az azonos, ha van "visszatért" a kiindulópontra.
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
Γ(t){\ displaystyle \ Gamma (t)}
Γ(t){\ displaystyle \ Gamma (t)}![\ Gamma (t)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0464d22d6badd61d1df66ce467e9ae7a8e877eb)
Így E az origó körül az f ( z ) által megtett fordulatok (algebrai) számát jelenti , amikor z halad az úton , amíg vissza nem tér a kiindulási pontjához.
γ{\ displaystyle \ gamma}![\gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Példák
Legyen az a függvény, amelynek két nullája van (ennek a két pontnak az értéke +1), és meghatározza:
f:VS→VS{\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}
z1,2=±én{\ displaystyle z_ {1,2} = \ pm i}![{\ displaystyle z_ {1,2} = \ pm i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6522e2c6a5772697cf881e12113251ecb31f1e)
f(z)=z2+1{\ displaystyle \ displaystyle {f (z) = z ^ {2} +1}}![{\ displaystyle \ displaystyle {f (z) = z ^ {2} +1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f6e8782eed46860e1625e8ff57b007e7740554)
.
Vegyük figyelembe a legegyszerűbb irányt: az eredetnél középpontú és sugarú kört két esetben kell figyelembe venni:
VS(0,r){\ displaystyle C (0, r)}
r>0{\ displaystyle r> 0}![{\ displaystyle r> 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452)
- először is, ha , akkor a két nulla indexe nulla, és a tengelykép nem forog az origó körül;r≤1{\ displaystyle r \ leq 1}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
- a másik eset:, akkor a két nulla indexe egyenlő 1-vel, és a ferde kép kétszer fordul az eredet körül:r>1{\ displaystyle r> 1}
f{\ displaystyle f}![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
vz1(f)énnemdVS(0,r)(z1)+vz2(f)énnemdVS(0,r)(z2)=2{\ displaystyle v_ {z_ {1}} (f) \ mathrm {Ind} _ {C (0, r)} (z_ {1}) + v_ {z_ {2}} (f) \ mathrm {Ind} _ {C (0, r)} (z_ {2}) = 2}![{\ displaystyle v_ {z_ {1}} (f) \ mathrm {Ind} _ {C (0, r)} (z_ {1}) + v_ {z_ {2}} (f) \ mathrm {Ind} _ {C (0, r)} (z_ {2}) = 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8289349907340756e5bd4f92b2b3941b28f2d1)
.
Vizsgáljuk meg most azt a függvényt , amelynek hármas pólusa van az origónál, és egyszerű nulla a (e két pont értékelése rendre és ), és ezt a következő határozza meg:
g:VS∗→VS{\ displaystyle g: \ mathbb {C} ^ {*} \ to \ mathbb {C}}
z2=-1{\ displaystyle z_ {2} = - 1}
-3{\ displaystyle -3}
+1{\ displaystyle +1}![+1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958)
g(z)=z+1z3{\ displaystyle \ displaystyle {g (z) = {z + 1 \ z ^ felett {3}}}}![{\ displaystyle \ displaystyle {g (z) = {z + 1 \ z ^ felett {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512eb82fe1b872b1dda7b3559f1568d7068a65f0)
.
A fenti kör figyelembevételével ismét két esetet kell megvizsgálnunk:
VS(0,r){\ displaystyle C (0, r)}![{\ displaystyle C (0, r)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1632912ceecc2f610356d8c87ee1be8ddbbdacb5)
- ha , akkor az index az egyszerű nulla nulla, és csak a hármas pólus kell még megvizsgálni, a kép a legyezési a függvény forog háromszor (háromszor az anti-trigonometrikus irányban ) az origó körül;r≤1{\ displaystyle r \ leq 1}
g{\ displaystyle g}
-{\ displaystyle -}![-](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36)
- ha , akkor figyelembe kell vennünk a nullát és a pólust, ezért a függvény által nyújtott ív képe kétszer fordul az origó körül.r>1{\ displaystyle r> 1}
g{\ displaystyle g}
-{\ displaystyle -}![-](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36)
Ezt a két esetet szemlélteti az 1. és 2. ábra.
Demonstráció
Hipotézis szerint és ezért holomorf ( ezért két holomorf funkció hányadosa) holomorf is .
f(z)≠0{\ displaystyle f (z) \ neq 0}
f{\ displaystyle f}
U∖F{\ displaystyle U \ visszavonás F}
f′/f{\ displaystyle f '/ f}
U∖F{\ displaystyle U \ visszavonás F}![{\ displaystyle U \ visszavonás F}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f369b72f60307817161355f39dafd1c690f389f6)
U{\ displaystyle U}
egyszerűen összekapcsolódik, így a hurok a befelé eső pontban homotóp ; így alkalmazhatjuk a maradék tételtγ{\ displaystyle \ gamma}
U{\ displaystyle U}![U](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458a728f53b9a0274f059cd695e067c430956025)
Mert a következők szomszédságában vagyunk :
zj∈F{\ displaystyle z_ {j} \ in F}
zj{\ displaystyle z_ {j}}![z_ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a06424b2eeb1f51d963bc33fb3bd5c3df5f49)
f(z)=(z-zj)nemjg(z){\ displaystyle f (z) = (z-z_ {j}) ^ {n_ {j}} g (z)}![{\ displaystyle f (z) = (z-z_ {j}) ^ {n_ {j}} g (z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6b3439809917ddf582aec294c2fe15dfd05bb9)
ahol az Holomorf és nem vész el, mint egy szomszédságában és az értékelési .
g{\ displaystyle g}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
nemj∈Z{\ displaystyle n_ {j} \ in \ mathbb {Z}}
zj{\ displaystyle z_ {j}}![{\ displaystyle z_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a06424b2eeb1f51d963bc33fb3bd5c3df5f49)
Tehát:
f′(z)=nemj(z-zj)nemj-1g(z)+(z-zj)nemjg′(z){\ displaystyle f '(z) = n_ {j} (z-z_ {j}) ^ {n_ {j} -1} g (z) + (z-z_ {j}) ^ {n_ {j}} g '(z)}![{\ displaystyle f '(z) = n_ {j} (z-z_ {j}) ^ {n_ {j} -1} g (z) + (z-z_ {j}) ^ {n_ {j}} g '(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4e584d3b9aa4ca53ed03d20e89f04a5918d680)
amiből merítünk:
f′(z)f(z)=nemj(z-zj)+g′(z)g(z){\ displaystyle {f '(z) \ over f (z)} = {n_ {j} \ over (z-z_ {j})} + {g' (z) \ over g (z)}}![{\ displaystyle {f '(z) \ over f (z)} = {n_ {j} \ over (z-z_ {j})} + {g' (z) \ over g (z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa93d2ba925a5b2ec767a3eeb55c73bdc2a29df0)
.
A fenti hányadosnak egyszerű pólusa van, mivel holomorf és nem tűnik el a szomszédságában . Most kiszámíthatjuk a maradékot :
zj{\ displaystyle z_ {j}}
g{\ displaystyle g}
zj{\ displaystyle z_ {j}}
zj{\ displaystyle z_ {j}}![{\ displaystyle z_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/412a06424b2eeb1f51d963bc33fb3bd5c3df5f49)
Res(f′f,zj)=limz→zj((z-zj)f′(z)f(z))=nemj{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ balra ({f '\ over f}, z_ {j} \ jobbra) = \ lim _ {z \ to z_ {j}} \ balra ((z-z_ {j}) {f '(z) \ felett f (z)} \ jobbra = n_ {j}}![{\ displaystyle \ mathrm {Res} \ balra ({f '\ over f}, z_ {j} \ jobbra) = \ lim _ {z \ to z_ {j}} \ balra ((z-z_ {j}) {f '(z) \ felett f (z)} \ jobbra = n_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bdde95801a550cf5de52f6728d2ab366450e8bd)
,
a . Az utolsó eredmény beillesztésével az első egyenletbe végül a következőket kapjuk:
nemj=vzj(f){\ displaystyle n_ {j} = v_ {z_ {j}} (f)}![{\ displaystyle n_ {j} = v_ {z_ {j}} (f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d15c11c3b9fdcab79b9e9308b64f0e222cff5a)
12énπ∫γf′(z)f(z) dz=∑zj∈Fvzj(f)énnemdγ(zj){\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {j} \ in F } v_ {z_ {j}} (f) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j})}![{\ displaystyle {1 \ over 2i \ pi} \ int _ {\ gamma} {f '(z) \ over f (z)} ~ \ mathrm {d} z = \ sum _ {z_ {j} \ in F } v_ {z_ {j}} (f) \ mathrm {Ind} _ {\ gamma} (z_ {j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ec31e8b622c31dd7429da1a8f3e2ca0584995e)
.
Alkalmazások
Az automatikus használatú művek gyakran ezt az elvet használják a Nyquist-stabilitási kritérium elméleti alapjaként . Harry Nyquist eredeti 1932-es tézise meglehetősen ügyetlen és primitív megközelítést alkalmaz a stabilitás kritériumának kidolgozásához. Szakdolgozatában H. Nyquist nem említette az érvelés elvét. Ezt követően Leroy MacColl és Hendrik Bode az érvelés elvéből kiindulva határozták meg a stabilitási kritériumot, ezt a megközelítést jelenleg számos komplex elemzésű vagy automatikus műben alkalmazzák .
Hivatkozások
-
Murray R. Spiegel, Komplex változók , McGraw-Hill , 1973 ( ISBN 978-2-7042-0020-7 ) .
-
Walter Rudin , valós és komplex elemzés [ a kiadások részlete ], th.10.29, th.10.30, 208. o, és th.13.13, p.249-251.
-
(in) H. Nyquist, " Regenerációs elmélet ", Bell System Technical Journal , 1. évf. 1932. 11., p. 126-147.
-
(in) Leroy MacColl, alapvető elmélete Szervomechanizmusok 1945.
-
(in) Hendrik Bode, Network Analysis and Feedback erősítő tervezése , 1945.
Lásd is
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">